Transcript 同角三角比

1.倒数关系： 2.商数关系
1
sin  
sin 
csc  tg 
cos 
1
cos 
cos  
sec  ctg 
sin 
1
tg 
ctg
3.平方关系
sin2α+cos2α=1
2
2
tg α+1=sec α
2
2
ctg α+1=csc α
同角三角比的关系可用六角形
来记忆
cosα
sinα
tgα
ctgα
1
secα
cscα
倒数关系的三个公式可用过中心的三条对
角线来记忆，
sinα·cscα=1，cosα·secα=1，
tgα·ctgα=1．
2．平方关系的三个公式可用带阴影的三角
形来记忆，上边两个顶点处的三角比的平
方和等于下面顶点上的三角比的平方，
tg2α+1=sec2α；ctg2α+1=csc2α；
sin2α+cos2α=1．
3．商数关系，可用正六角形任何相邻三个
顶点处的三个三角比中得到：即中间的一
个是相邻两个的乘积，
sinα=cosα·tgα，
cosα=sinα·ctgα，
tgα=sinα/cosα,
．
1
例1.cosα=0.8,且α是第四象限角,
求:α的其余三角比.
解: cos α=0.8,
sec α=1.25
α是第四象限角
sin α= -0.6,
4
ctg  
3
tg α= -0.75
5
csc   
3
例2.cosα=0.8, 求α的其余三角比.
解:cos α=0.8
sec α=1.25
(1)α是第一象限角(2)α是第四象限角
sin α=0.6
sin α= -0.6
tg α=0.75
tg α= -0.75
4
ctg  
3
5
csc   
3
4
ctg 
3
5
csc  
3
例3.已知ctgα=a,求sinα、cosα.
  k , k  Z 
解: ctgα=a
2.α在x轴下方
1.α在x轴上方
csc  1  a
csc   1  a
2
1 a
sin  
2
1 a
1 a
sin   
2
1 a
2
a 1 a
cos  
2
1 a
2
2
2
a 1 a
cos   
2
1 a
2
例4.证明:
(1+tgα+secα)(1+ctgα-cscα)=2
证明:左=
cos   sin   1 sin   cos   1


cos 
sin 
(sin   cos  )  1

sin   cos 
2sin   cos 

=2=右
sin   cos 
2
例5.已知:tgα+sinα=m,tgαsinα=n,
4 mn
2 –
2-n2=
证明:左边=m2-n2=(tgα+sinα)
α是锐角.求证:m
(tgα2=4tgαsinα
sinα)
右边=4 mn  4 (tg  sin )(tg  sin )
2
sin

2
2
2
 4 tg   sin   4

sin

2
cos 
2
1

cos

2
2
2
 4 sin 

4
sin


tg
  4tg  sin 
2
cos 
 m  n  4 mn
2
2

例6.已知:tgα=3,
求:sin2α+sinα·cosα+2cos2α的
值.
解:sin 2α+sin αcos α+2cos 2α
sin   sin  cos   2cos 

2
2
sin   cos 
2
tg   tg  2

2
tg   1
2
3  3  2 14 7



2
10
3 1
5
2
2
3sin   2cos
2sin   cos
例7.已知 1  sin    cos
求:θ范围.
2
1  sin    cos
解:
2
 cos  0

3
 2k     2k 
(k  Z )
2
2
例8.已知:sin+cos α=0.2,0< α<1800,
求sin α和cos α的值.
解(1):sin α+cos α=0.2
两边平方,得:2sin αcos α=-0.96
(sin α-cos α)2=1.96
∵sin α>0,cosα<0
∴sin α-cos α=1.4
∴sin α=0.8,cos α=-0.6
例8.已知:sin+cos α=0.2,0< α<1800,
求sin α和 cos α的值.
解(2):sinα+cosα=0.2,
2sinαcosα=-0.96
sin   cos   0.2

sin   cos   0.48
sin   0

sin   cos   0.2
解(3)  2
2
sin   cos   1

sin   0
cos   0
例9.化简下列各式:
（）
1 sec  1  tg   tg csc   1
2
( 是第四象限角）
2
例10.证明恒等式：
（1）ctg2α（tg2α-sin2α）=sin2α；
（2）（1-sin2A）（sec2A-1）
=sin2A（csc2A-ctg2A）；
（4）tg3α+ctg3α
=sec3α·csc3α（1-3sin2α·cos2α）
3 sin   2cos
2 sin   cos
1  sin   cos 
6
6
1  sin   cos 
4
• 例4：求
4