Transcript 第五节

§9-5
傅里叶级数
主要内容：
1. 三角级数、三角函数系的正交性。
2. 周期为2π的函数展开成傅里叶级数。
3. 奇函数和偶函数的傅氏级数。
一、三角级数、三角函数系的正交性
定义
a0
级数


2
 ( a n cos
nx  b n sin nx )
(8-11)
n 1
称为三角级数。其中a0, an, bn (n=1,2,3, ···)都是常数。
三角函数系：1, cosx , sinx, cos2x, sin2x, ···, cosnx,
sinnx, ···在区间[-π,π]上正交，就是指其中任意两个函数
的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零。即当n, k是非负整数

(k≠n)时有：


-

sin kx  cos nxdx  0
-
但是


sin
-
2

1  cos nxdx  0
nxdx  


1  sin nxdx  0
-

cos kx  cos nxdx  0
-


cos
-
2
nxdx  


sin kx  sin nxdx  0
-
其中
n=1,2,3, ···
二、周期为2π的函数展开成傅里叶级数
设周期函数f (x)的周期为2π，且能展开为三角级数：
a0
f ( x) 


2
 ( a n cos
nx  b n sin nx )
(8 - 12)
n 1
利用三角函数系的正交性，可得：
a0 
bn 
1


 
1



an 
f ( x ) dx
f ( x ) sin nxdx
1



f ( x ) cos nxdx
( n = 1,2,3, ···)
(8-13)
公式(8-12)称为欧拉－傅立叶公式。由公式(8-13)计算出的
系数a0, an, bn (n=1,2,3, ···)称为函数f (x)的傅立叶系数，以a0, an,
bn (n=1,2,3, ···)为系数作出的三角级数:
a0
2


 ( a n cos
nx  b n sin nx )
n 1
称为函数的傅立叶级数，简称傅氏级数。
(8 - 14)
一个函数满足什么条件才能展开成傅氏级数呢？
收敛定理 设f (x)是周期为2π的周期函数，如果在一个周
期内f (x)满足：除有限个第一类间断点外是连续的，而且至
多只有有限个极值点，则f (x)的傅氏级数收敛，并且：
(1)当x0是f (x) 的连续点时，级数收敛于f (x0) ；
(2)当x0是f (x) 的间断点时，级数收敛于x0处的左右极限算
术平均值，即级数收敛于
1
2
[f (x0-0)+f (x0+0)]。
(3)当 x = ±π时，级数收敛于
1
2
[f (-π+0) +f (π-0)]。
一般地，工程技术中所遇到的周期函数都满足上述条
件，所以都能展开成傅氏级数。
例1 设 u ( t ) 是周期为 2 的函数，在 [   ,  ) 上的表达式为
  t  0
 1
u (t )  
 1
0t
将u(t)展开为傅氏级数。
解： 由傅氏系数公式(8-13)得
a0 
an 
bn 

1

1

1

1


 u ( t ) dt


 u ( t ) cos

 u ( t ) sin

0
1

[
0

(  1) dt 
ntdt 
ntdt 
1

1

[
0

[
0


 0 1dt ]  0
(  1) cos ntdt 
(  1) sin ntdt 

 0 1  cos

 0 1  sin
 0

sin ntdt 
(1  cos n  ) 
[1  (  1) ]   4
n
n

 n
2
2
ntdt ]  0
ntdt ]
当 n 为偶数
n
当 n 为奇数
所以函数u(t)的傅氏级数为:
4

[sin t 
1
sin 3 t 
3
1
sin 5 t   
5
1
2k  1
sin( 2 k  1) t   ]
由于函数 u(t) 在一个周期内满足收敛定理的条件，
所以上面的傅氏级数在 u(t) 的间断点t = kπ (k∈Z)处收敛
于
1
[1+(-1)]=0，在 u(t) 的连续点t ≠ kπ (k∈Z)处收敛于
2
u(t) ，于是有：
u (t ) 
4

[sin t 
1
3
sin 3 t 
1
5
sin 5 t   
1
2k  1
sin( 2 k  1) t   ]
(-∞< t <+∞，t ≠ kπ ，k∈Z)
由例1知，矩形波可分解为角频率不同的正弦波之和。
例 2 设 f ( t ) 是周期为 2 的函数，在 [   ,  ) 上的表达式为
  x  0
x
f (t )  
 0
0 x
将f (t)展开成傅氏级数。
a0 
解：由傅氏系数公式(8-13)得
an 
1


 
f ( x ) cos nxdx 
1

0
 
1



x cos nxdx 
 2

n
 2 (1  cos n  )  2 [1  (  1) ]   n 2 
n 
n 
 0
1
bn 
1


1

 
f ( x ) sin nxdx 
cos n 
n

(  1)
n
n 1
1

0
 
f ( x ) dx 
x sin nxdx 
1

0

xdx  

2
1 x sin nx cos nx 0
[

] 
2

n
n
当 n 为奇数
当 n 为偶数
1

[
x cos nx
n

sin nx
n
2
0
] 
于是得f (x)的傅氏级数为：



2
2

[cos x 
1
3
 [sin x 
1
2
sin 2 x 
2
cos 3 x   
1
1
( 2 k  1)
sin 3 x    (  1)
2
k 1
3
cos( 2 k  1) x   ]
1
sin kx   ]
k
由收敛定理知，在间断点x = (2k -1)π (k∈Z)处，级数收
敛于
1
 ，在连续点处收敛于f
2
f ( x)  

2

2

[cos x 
 [sin x 
1
3
1
2
2
sin 2 x 
(x)，于是有展开式为：
cos 3 x   
1
3
1
( 2 k  1)
sin 3 x    (  1)
2
k 1
cos( 2 k  1) x   ]
1
sin kx   ]
k
(-∞< x <+∞，x ≠ (2k -1)π ，k∈Z)
三、奇函数和偶函数的傅氏级数
设f (x)是以2π为周期的奇函数，则f (x)cosnx是奇函数，
f (x)sinnx是偶函数，根据奇(偶)函数在关于原点对称的区间
上的定积分性质，有
a0 
bn 
1

1





f ( x ) dx  0
an 
f ( x ) sin nxdx 
2


1



0
f ( x ) cos nxdx  0
f ( x ) sin nxdx
( n = 1,2,3, ···)

于是奇函数 f ( x )的傅氏级数是正弦级数
 b n sin
n 1
nx
设f (x)是以2π为周期的偶函数，则f (x)cosnx是偶函数，
f (x)sinnx是奇函数，于是有
a0 
an 
bn 
1

1

1







f ( x ) dx 
2

f ( x ) cos nxdx 

0
2

f ( x ) dx

0
f ( x ) cos nxdx
f ( x ) sin nxdx  0
( n = 1,2,3, ···)
于是偶函数 f ( x )的傅氏级数是余弦级数
a0
2


 a n cos
n 1
nx
例3 设f (x)是周期为2π的函数，它在[-π,π)上的表达
式为f (x) = x，将f (x)展开成傅氏级数。
解：这是一个周期为2π的奇函数，可展开成正弦级数
bn 
2



0
2
n
x sin nx dx  
[ x cos nx 
1
n
2
n

0
xd (cos nx )

2  (  1)
sin nx ] 0

n 1
n
( n = 1,2,3, ···)
所以f (x)的傅氏级数为：
f ( x )  2[sin x 
1
2
sin 2 x 
1
3
sin 3 x    (  1)
k 1
1
sin kx   ]
k
(-∞< x <+∞，x ≠ (2k -1)π ，k∈Z)
小结：
1.三角级数、三角函数系的正交性。
2.周期为2π的函数展开成傅里叶级数。
3.奇函数和偶函数的傅氏级数。
作业：
教材1,3