Transcript 能量色散图
光与半导体作用 • 经典麦克斯韦光学无法解释一些实验现象 – 光电效应 • 半导体的光学属性是半导体与光作用的宏观表 现。 • 揭示半导体的光学属性的物理本质需要利用量 子力学来进行光子与电子作用的微观研究。 – 光与半导体作用的实质是光子与半导体中电子的作 用，该作用可以用散射理论来进行描述，在光子场 的散射作用下，电子从一个状态进入另一种状态。 • 一个电子的状态用该 电子波矢k来表示。 • 光子场导致半导体中 电子散射可以在 – 半导体导带内， – 价带内， – 带间发生。 • 电子在光子场的作用 过程的本质 – 电子带有电荷，受到光 子（电磁波）中电场与 磁场的作用。 • 电场力与磁场力 – 𝑒∙𝐸 – 洛伦兹力 𝑒∙𝑣×𝐵 𝑐 • 矢势𝐴与标势𝜙 –𝐸= 𝜕 − 𝐴 𝜕𝑡 – 𝐵 =𝛻×𝐴 − 𝛻𝜙 • 矢势𝐴与标势𝜙 并不唯一确定，还需要根据实际 情况附加条件。 • 在光与介质作用中，电荷密度为0，可得 • 𝛻∙𝐴=0 • 𝜙=0 • 库伦规范 • 电子在该场作用下，其动量与能量会改变 Δ𝑝 = 𝑒𝐴 𝑒𝐴 2 Δ𝐸 = 2𝑚0 • 光功率、电场强度、矢势的关系 • 在库伦规范下有 𝜕 𝐴 𝜕𝑡 𝐸=− 𝐵 =𝛻×𝐴 • 带入麦克斯韦方程，可得 1 2 𝛻 𝐴 𝜇0 𝜕2 𝐴 −𝜀 2 𝜕𝑡 =0 𝐴 𝑟, 𝑡 = 𝐴0 exp[𝑖 𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 ] • 该关于矢势𝐴的偏微分方程的试解为： 𝐴 𝑟, 𝑡 = 𝐴0 exp[𝑖(𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡)] 并且 𝜔 𝑘 = = 𝜔 𝜀 𝜇0 𝑐 • 相应的电场强度与磁感应强度为 𝐸 = −2𝜔0 𝐴0 sin(𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡) 𝐵 = −2𝑘 × 𝐴0 sin(𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡) • 光功率与电磁场的关系由Poynting矢量决定 𝑘𝜔 𝑆 =𝐸×𝐻 =𝑘∙4 𝐴0 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡) 𝜇0 • 时间平均的Poynting矢量表征单位面积上的光功率 𝑆 = 2𝑘𝜔2 𝜀 𝜇0 𝐴0 2 𝑊𝑚−2 【例题】一束波长为1.55微米，功率密度为 1uW/m2的光照射到接收器上，计算这束光的电 场强度。 思考：如果入射光波长为0.8微米，功率密度相 同，光的电场强度是否会发生变化？ 电子在光子场作用下能量的改变 基于微扰描述的光与电子作用的哈密顿量 1 𝐻= 𝑝 − 𝑒𝐴 2 + 𝑉 𝑟 2𝑚0 𝑝2 𝑒 𝑒𝐴 2 = − 𝑝∙𝐴+𝐴∙𝑝 + +𝑉 𝑟 2𝑚0 2𝑚0 2𝑚0 在库伦规范下，𝑝 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝑝，因此，有 𝐻 = 𝐻0 + 𝐻′ 𝐻′ 𝑖ℏ 𝛻 𝑚0 = 𝑒𝐴 ∙ 𝐻0 = ℏ2 − 𝛻2 2𝑚0 + 𝑉(𝑟) 相互作用哈密顿量 𝑒𝐴 ~10−5 𝑝 光子场对电子的散射几率 在光子的作用下，电子发生散射，由初始状态 𝑖 进入散射后 的状态，末态 𝑓 。量子力学的知识告诉我们这种状态改变的 几率由费米黄金定则求得： 2𝜋 𝑊 𝑖 = ℏ 𝑓 𝐻′ 𝑖 2 𝛿(𝐸 𝑓 − 𝐸𝑖 ∓ ℏ𝜔) 𝑓 这里的ℏ𝜔对应光子的能量，加减号表征电子对光子的吸收 或者发射。 𝐻′表示电子与光子场的相互作用哈密顿量，在矢势的表达式 下为 𝑖𝑒ℏ ′ 𝐻 = 𝐴∙𝛻 𝑚0 由费米黄金定则得到的电子状态改变的几率。这种状态改 变既可以表示电子对光子的吸收，也可以表示电子发射光 子。 可以证明一个具有能量为ℏ𝜔，动量为ℏ𝑘的光子被电子吸 收的速率可以表示为 𝑊𝑎𝑏𝑠 2𝜋 𝑒 2 = ℏ 𝑚0 2 ℏ𝑛𝑝ℎ 2𝜔𝜀 𝑘𝑓 = 𝑘𝑖 + 𝑘𝑝ℎ 𝐴 = 𝑎𝑒 𝑖𝑘𝑝ℎ 𝑟 2 𝜑𝑓 ∗ 𝑎 ∙ 𝑝 𝑒 −𝑖𝑘𝑝ℎ ∙𝑟 𝜑𝑖 𝑑3 𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒𝑠 ∙ 𝛿(𝐸𝑖 − 𝐸𝑓 + ℏ𝜔) 而光子的发射过程可以写受激发射与自发发射两个部分 𝑊𝑒𝑚 = 𝑊𝑠𝑡 + 𝑊𝑠𝑝𝑜𝑛 其中受激发射 2 𝑊𝑠𝑡 = 2𝜋 𝑒 ℏ 𝑚0 2 ℏ𝑛𝑝ℎ 2𝜔𝜀 2 𝜑𝑓 ∗ 𝑎 ∙ 𝑝 𝑒 −𝑖𝑘𝑝ℎ ∙𝑟 𝜑𝑖 𝑑3 𝑟 ∙ 𝛿(𝐸𝑖 − 𝐸𝑓 + ℏ𝜔) 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒𝑠 自发发射 2 𝑊𝑠𝑡 = 2𝜋 𝑒 ℏ 𝑚0 2 2 ℏ 2𝜔𝜀 𝜑𝑓 ∗ 𝑒 −𝑖𝑘𝑝ℎ ∙𝑟 𝜑𝑖 𝑑3 𝑟 ∙ 𝛿(𝐸𝑖 − 𝐸𝑓 − ℏ𝜔) 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒𝑠 受激发射是由于初始光子诱导电子系统发射光子，发射的 光子与初始光子保持相干性。而自发辐射是由于真空扰动 导致的电子系统发射光子，其发射的光子是非相干的。 【例题】对于一般的半导体光电子器件，与电 子作用的光子的能量为0.5-3电子伏特。分别计 算2个电子伏特能量变化的光子与电子的波矢 𝑘 。 相对于电子波矢的变化，光子的波矢几乎可以忽略不计。 电子在光子场的散射作用下，其能量的改变等于光子的能量， 其电子波矢改变量: 𝑘𝑓 = 𝑘𝑖 + 𝑘𝑝ℎ ≅ 𝑘𝑖 在能量与波矢关系图中：以波矢𝑘 为横坐标，能量𝐸为纵坐标，能量 发生变化，但波矢几乎不变的电 子状态改变往往发生在不同能级 （能带）之间，这种电子状态的 改变也被称为电子的跃迁。 𝐸 电子在光子场散射作用下的这种 跃迁被称谓垂直跃迁。 𝑘 能量色散图 半导体中的光跃迁 ℏ2 𝑘 2 1 1 ℏ2 𝑘 2 ℏ𝜔 − 𝐸𝑔 = + = 2 𝑚𝑒 ∗ 𝑚ℎ ∗ 2𝑚𝑟 ∗ 这里 m r 是电子空穴系统的reduced mass。 【例题】 1.6eV的光子被GaAs价带的电子吸收。如 果GaAs的带隙为1.41eV，计算光吸收产生的导带 电子的能量与价带空穴的能量。 半导体的光吸收 • 半导体中带间垂直跃迁导致的光吸收 2 𝑊𝑎𝑏𝑠 = 2𝜋 𝑒 ℏ 𝑚0 2 𝜋𝑒 2 ℏ𝑛𝑝ℎ = 𝑎∙𝑝 𝜀𝑚0 2 ℏ𝜔 ℏ𝑛𝑝ℎ 2𝜔𝜀 𝑐𝑣 2 𝜑𝑓 ∗ 𝑎 ∙ 𝑝 𝑒 −𝑖𝑘𝑝ℎ ∙𝑟 𝜑𝑖 𝑑 3 𝑟 ∙ 𝛿(𝐸𝑖 − 𝐸𝑓 + ℏ𝜔) 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒𝑠 2 𝑁 (ℏ𝜔) 𝑐𝑣 与有效质量相对应的状态密度为 𝑁𝑐𝑣 ℏ𝜔 = 2 3 ∗ 2 (𝑚𝑟 ) (ℏ𝜔 − 𝐸𝑔 )1/2 𝜋 2 ℏ3 单位为/J/𝑚3 讨论半导体的光吸收时，吸收系数比吸收几率更方便使用。 𝑛 𝑥 = 𝑛0 exp −𝛼𝑥 𝛼 为吸收系数，单位为𝑚−1 吸收系数与光子数没有关系 𝑊𝑎𝑏𝑠 𝛼= 𝑛𝑝ℎ ∙ 𝑐 2𝜀𝜔 𝐴 𝑛𝑝ℎ = ℏ 2 因此，吸收系数的公式(对任意偏转光)可以写成 𝜋𝑒 2 ℎ 2𝑝𝑐𝑣 2 1 2 𝛼 ℏ𝜔 = ( ) 𝑁𝑐𝑣 (ℏ𝜔) ∙ 2𝑛𝑟 𝑐𝜀0 𝑚0 𝑚0 ℏ𝜔 3 【例题】已知GaAs的约化质量𝑚𝑟 = 0.065𝑚0 ， 2 2𝑝𝑐𝑣 跃迁矩阵元 𝑚0 = 23𝑒𝑉，折射率为3.4，计算 GaAs以光子能量ℏ𝜔为函数的吸收系数。 半导体的光发射 一个具有相同波矢𝑘位置的电子与空穴的复合几率，就要把 所有可能在复合过程中发射的光子状态考虑进来 𝑊𝑒𝑚 𝜋𝑒 2 = (𝑛𝑝ℎ + 1) 𝑎 ∙ 𝑝 𝜀𝑚0 ℏ𝜔 2 𝑐𝑣 𝜌𝑎 (ℏ𝜔) 单位：/秒 当𝑛𝑝ℎ = 0时，计算的发射几率为光子自发辐射几率。自发 辐射几率的倒数为电子的自发辐射寿命𝜏0 = 于辐射复合而消失的平均寿命。 1 ，即电子由 𝑊𝑒𝑚 𝜌𝑎 是𝑎偏振的光子状态密度，单位：/能量/立方米 光子状态密度 一个空间内可以存在的光子状态必须满足谐振驻波条件， 不满足驻波条件的光子不能限制在该空间。而满足驻波条 件光子必然要求其波矢 𝑘𝑥 = 𝑙 2𝜋 , 𝐿 𝑘𝑦 = 𝑚 2𝜋 , 𝐿 每个状态占据的𝑘空间的体积为 𝑘𝑧 = 𝑛 2𝜋 3 𝐿 = 2𝜋 𝐿 8𝜋3 。 𝑉 在𝑘空间中，波矢由𝑘 → 𝑘 + 𝑑𝑘的球壳体积为4𝜋𝑘 2 𝑑𝑘 考虑每个𝑘波矢可以有两个垂直的偏振态，该球壳内总的 状态数为 4𝜋𝑘 2 𝑑𝑘 ∙ 2 8𝜋 3 𝑉 单位体积内的光子态密度为 𝑘 2 𝑑𝑘 𝑑𝑁 𝑘 = 2 𝜋 光子波矢𝑘与能量𝐸的关系 𝐸 = ℏ𝜔 = ℏ𝑐𝑘 1 dk = dE ℏ𝑐 (𝐸/ℏ𝑐)2 1 𝐸2 𝑑𝑁 𝐸 = 𝑑𝐸 = 2 3 3 𝑑𝐸 𝜋 2 ℏ𝑐 𝜋 ℏ 𝑐 单位体积单位能量的光子态密度为 𝐸2 ℏ2 𝜔 2 𝜔2 𝐷= 2 3 3= 2 3 3= 2 3 𝜋 ℏ 𝑐 𝜋 ℏ 𝑐 𝜋 ℏ𝑐 【例题】当GaAs导带的电子总可以找到一个价带 的空穴进行复合，计算这种情况时，GaAs的自发 辐射复合寿命。 𝑊𝑒𝑚 𝑒2 2𝑝𝑐𝑣 2 = ( )ℏ𝜔 6𝜋𝜀0 𝑚0 𝑐 3 ℏ𝜔 2 𝑚0 2𝑝𝑐𝑣 2 = 23eV 𝑚0