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第7章 电磁感应与电磁场
§7-1
§7-2
§7-3
§7-4
§7-5
电磁感应定律
动生电动势与感生电动势
自感应与互感应
磁场能量
麦克斯韦电磁场理论简介
磁悬浮列车
1
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前面所讨论的都是不随时间变化的稳恒场
静止电荷－－激发静电场
即
稳恒电流－－激发稳恒磁场，稳恒电场
我们现将研究随时间变化的磁场，电场，以进
一步揭示电与磁的联系。
稳恒－－ 不随时间变化，
注意区分
均匀－－ 不随位置变化，
非稳恒 场量是时间的函数
非均匀－场量是位置的函数
2
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§7-1 电磁感应定律
7.1.1
法拉第电磁感应定律
1、电磁感应现象：
两种情况：
S
N
N
v
S
回路某一部分相对磁场运
动或回路发生形变使回路
中磁通量变化而产生电流
回路静止而磁场变化
使回路中磁通量变化
而产生电流
3
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2、法拉第电磁感应定律
(１）感应电动势的概念
①从全电路欧姆定律出发——电路中有电流就必定
有电动势，故感应电流应源于感应电动势。
②从电磁感应本身来说：电磁感应直接激励的是感
应电动势。
如何定量计算感应电动势的大小？
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(２）法拉第电磁感应定律
不论何种原因使通过回路面积的磁通量发
生变化时，回路中产生的感应电动势的大小
与磁通量对时间的变化率成正比。即
d
K
dt
①在SI制中
K=1
②式中的负号是楞次定律的数学表示
③若为N 匝线圈，则
d
d
N
dt
dt
式中 N 称作磁通匝链数，简称磁链。
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(3）磁通计
如果闭合回路为纯电阻R 时，则回路中的感应电流为
1 d
I
R
R dt
那么t1 ～ t2 时间内通过导线上任一截面的感应电量大
小为
q
t2
t1
1 2
1
Idt d (1 2 )
R 1
R
式中 1， 2 是t1 , t2 时刻回路中的磁通。
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上式说明，在一段时间内，通过导线截面的电量
与这段时间内导线所围磁通的增量成正比。
＊：如果能测出导线中的感应电量，且回路中的电
阻为已知时，那么由上面公式，即可算出回路所围
面积内的磁通的变化量——磁通计就是根据这个原
理设计的。
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7.1.2
楞次定律
１、定律内容：
闭合回路中产生的感应电流的方向，总是使得这
感应电流在回路中所产生的磁通去补偿（或反抗）
引起感应电流的磁通的变化。
*：注意其“补偿”的是磁通的变化，而不是磁通
本身。
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2、感应电流方向的判断
确定外磁场方向→分析磁通量的增减△ m→
运用“反抗磁通量的变化”判断感应电流磁场的
方向→运用右手缧旋法则确定感应电流方向（即
感应电动势方向）。
原
S
感
N N
v
S
3、楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象上的
具体体现。
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例10.2 一根无限长的直导线载
有交流电流i＝I0sin ωt.旁边有一
共面矩形线圈abcd，如图10.3所
示.ab＝l1，bc＝l2，ab与直导线平
行且相距为d.求：线圈中的感应
电动势.
图10.3 矩形线圈中的
解 取矩形线圈沿顺时针abcda方
向为回路正绕向，则
B dS
S
d l2
d
感应电动势
0i
0il1 d l2
l1dx
ln
2 x
2
d
10
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所以，线圈中感应电动势
0l1
d l2
d
I 0 cos t ln
dt
2
d
可见，ε也是随时间作周期性变化的，ε＞0表示矩形
线圈中感应电动势沿顺时针方向，ε＜0表示它沿逆
时针方向.
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§7-2 动生电动势与感生电动势
感应电动势的非静电力实质？
d (m )
d (B S )
dB
dS
＝－
( S
B )
dt
dt
dt
dt
研究表明对应于磁通变化的两种方式，其产生电
动势的非静电力的实质是不同的。
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一是磁场不变,回路的一部分相对磁场运动或回
路面积发生变化致使回路中磁通量变化而产生的感
应电动势，谓之动生电动势。
另一种情况是回路面积不变,因磁场变化使回路
中磁通量变化而产生的感应电动势,谓之感生电动势。
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7.2.1
动生电动势
动生电动势的产生，可以用洛仑兹力来解释.
如图10.4所示，长为l的导体棒与导轨所构成的矩
形回路abcd平放在纸面内，均匀磁场B垂直向里.
当导体ab以速度v沿导轨向右滑动时，导体棒内的
自由电子也以速度v随之向右运动.电子受到的洛仑
兹力为
f ( e)v B
f的方向从b指向a.
图10.4 动生电动势
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在洛仑兹力作用下，自由电
子有向下的定向漂移运动.如果
导轨是导体，在回路中将产生沿
abcd方向的电流；如果导轨是绝
缘体，则洛仑兹力将使自由电子
在a端积累，使a端带负电而b端
带正电.在ab棒上产生自上而下
的静电场.静电场对电子的作用
力从a指向b，与电子所受洛仑兹
力方向相反.当静电力与洛仑兹
力达到平衡时，ab间的电势差达
到稳定值，b端电势比a端电势高.
图10.4 动生电动势
由此可见，
这段运动导体棒
相当于一个电源，
它的非静电力就
是洛仑兹力.
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电动势定义为把单位正电荷从负极通过电源内部移
到正极的过程中，非静电力做的功.在动生电动势的
情形中，作用在单位正电荷上的非静电力Ek是洛仑
兹力，即
f
Ek
vB
e
所以，动生电动势
b
a
ab E k dl (v B) dl
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一般而言，在任意的稳恒磁场中，一个任意形状的
导线L(闭合的或不闭合的)在运动或发生形变时，各
个线元dl的速度v的大小和方向都可能不同.这时，
在整个线圈L中所产生的动生电动势为
(v B) dl
L
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7.2.2
感生电动势
麦克斯韦提出：变化的磁场在其周围空间激发一种
新的电场，这种电场称为感生电场或涡旋电场，用
Er表示.
涡旋电场与静电场的共同之处在于，它们都是一种
客观存在的物质，它们对电荷都有作用力.涡旋电场
与静电场的不同之处在于，涡旋电场不是由电荷激
发，而是由变化的磁场激发的.
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它的电力线是闭合的，即 Er dl 0 .涡旋电场不
L
是保守场，而在回路中产生感生电动势的非静电力
正是这一涡旋电场力，即
d
Er dl
L
dt
因为对l围成的面积S，磁通量
S
B dS
所以感生电动势可表示为
d
Er dl B dS
L
dt S
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当闭合回路l不动时，可以把对时间的微商和对曲面
S的积分两个运算的顺序交换，得
B
L Er dl S t dS
这就是法拉第电磁感应定律的积分形式.负号表示Er
与 B 构成左手螺旋关系，是楞次定律的数学表示.
t
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如果同时存在静电场Ee，则总电场E等于涡旋电场Er
与静电场Ee之矢量和，并且有静电场环流定理
Ee dl 0 ，所以不难得到，对总电场E＝Er＋Ee
L
而言，有
B
L E dl S t dS
这是麦克斯韦方程组的基本方程之一.
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例10.5
如图10.8所示，半径为R的圆柱形空间内分
布有沿圆柱轴线方向的均匀磁场，磁场方向垂直纸
面向里，其变化率为 dB .试求：
dt
(1)圆柱形空间内、外涡旋电场Er的分布；
(2)若
dB
0
dt
，把长为L的导体
ab放在圆柱截面上，则εab等
于多少？
图10.8
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解
(1)根据磁场分布的轴对称性可知，空间的涡旋
电场的电力线应是围绕圆柱轴线且在圆柱截面上的
一系列同心圆.过圆柱体内任一点P在截面上作半径
为r的圆形回路l，并设l的回转方向与B的方向构成
右手螺旋关系，即设图中沿l的顺时针切线方向为Er
的正方向.由式(10.4)
B
L Er dl S t dS
并考虑l上各点Er沿l方向且大小相等，可得
dB 2
Er 2 r
r
dt
r dB
Er
2 dt
(r R)
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dB
当
0 时，Er＜0即沿逆时针方向；反之，Er＞0
dt
即沿顺时针方向.
同理，在圆柱外一点(r＞R)，涡旋场Er为
2
R dB
Er
2r dt
(r R )
(2)方法一：用电动势定义求解
dB
r dB
0 时，
由(1)结论知，在r＜R区域 Er
.当
dt
2 dt
Er为逆时针方向(见图10.8).所以
b
b
a
a
ab Er dl
L h dB
r dB
Lh dB
dl cos
dl
0
2 dt
2 dt
2 dt
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dB
0 ，所以εab＞0，即εab由a端指向b端.
因为
dt
方法二：用法拉第电磁感应定律求解
作闭合回路OabO，回路内感应电动势
d
dB
dB hL
i
dS cos
S dt
dt
dt 2
因为
εoa＝εbo＝0
所以
ab i oa bo
hL dB
2 dt
结果与方法一相同.
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§7-3
自感应与互感应
对于感应电动势因磁通变化方式不同而致产生
感应电动势的非静电力不同,分为
动生――洛仑兹力；感生――涡旋电场
磁通的变化方式还有自动和他动之分，与之对应有
自感电动势；互感电动势
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7.3.1
自感应
1、自感现象
通电线圈由于自
身电流的变化而引起
本线圈所围面积里磁
通的变化，并在回路
中激起感应电动势的
现象，叫自感现象。
L
ii
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2、自感系数
一个密绕的N匝线圈，每一匝可近似看成一条闭合
曲线,线圈中电流激发的穿过每匝的磁通近似相等，
叫自感磁通，记作Φ自
B
I
则通过N匝线圈的磁通为
自 N 自
式中称之为磁链
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(1)L的引入
设回路中电流为I，如果回路的几何形状及大小不变，
且回路中又无铁磁物质，则实验表明穿过该回路的
磁通
I
自
即
自 LI
式中比例系数L叫做自感系数.
回路几何形状，几何尺寸有关
且实验表明L与 线圈匝数有关－－故实际应为Ψ ＝NLI
与磁介质的磁导率有关
m
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对于铁磁质，除了与上述原因有关外，L 还与回路
中的电流有关.就是说，L 基本上反映的是自感线圈
自身性质的物理量。
（２)回路中的自感系数
等于回路中的电流为一个单位时，通过这个
回路所围面积的磁通(磁通链)
自
L
I
（３)在(SI)制中，L的单位
亨利(H)，1亨利=1韦伯/1安培
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3、自感电动势的计算
d
dLI
dI
dL
( L I )
自感电动势为 自
dt
dt
dt
dt
当回路的几何形状和大小不变，匝数不变，回
路中无铁磁质而其他磁介质均匀时，L为常数，则
有
d
dI
自
L
dt
dt
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１)式中负号是楞次定律的数学表示式——自感电动
势的方向总是阻碍回路电流的变化，即
当回路中电流增加时，ε自阻碍其增加，故ε自与I反向。
当回路中电流减少时，ε自阻碍其减少，故ε自与I同向。
２)上式表明回路中自感电动势的大小与回路中电流
的变化率成正比。
３)上式还表明 自 L ，自感系数表征了回路中的
“电磁惯性”。
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4、自感的利弊
自感现象在电工、电子技术中有广泛的应用。如日
光灯镇流器,自感与电容组成的谐振电路和滤波器等。
但过大的自感电动势也是造成回路短路的原因。
*计算自感系数的步骤
①先求自感线圈中的B值；
②再求通过 1 匝线圈的 m 及 N 匝的 m ；
③最后由定义求 L
m
。
I
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7.3.2
互感应
如图10.12，两个邻近的线圈(1)和线圈(2)分别通有电
流I1和I2.当其中一个线圈的电流发生变化时，在另一
个线圈中会产生感生电动势.这种因两个载流线圈中
的电流变化而相互在对方线圈中激起感应电动势的
现象叫互感应现象.
图10.12
互感现象
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在两线圈的形状、相互位置保持不变时，根据毕
奥—萨伐尔定律，由电流I1产生的空间各点磁感应
强度B1均与I1成正比.因而B1穿过另一线圈(2)的磁通
链Ψ21也与电流I1成正比.即
21 M 21 I1
同理
12 M12 I 2
式中M21和M12是两个比例系数.实验与理论均证明
M21＝M12，故用M表示，称为两线圈的互感系数，
简称互感.
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根据法拉第电磁感应定律，电流I1的变化在线圈(2)
中产生的互感电动势
21
dI1
M
dt
同理，电流I2的变化在线圈(1)中产生的互感电动势
12
dI 2
M
dt
互感系数的单位与自感系数相同.
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两个有互感耦合的线圈串联后等效于一个自感线圈，
但其等效自感系数不等于原来两线圈的自感系数之
和.见图10.14，其中图10.14(a)的联接方式叫顺接，
其联接后的等效自感L为
L L1 L2 2M
图10.14
自感线圈的串联
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图10.14(b)的联接方式叫逆接，其联接后的等效自
感L为
L L1 L2 2M
上两式中，M是两线圈的互感.
由上述关系可知，一个自感线圈截成相等的两部分
后，每一部分的自感均小于原线圈自感的二分之一.
在无磁漏的情况下可以证明 M
L.1 L2 .
在考虑磁漏的情况下 M K L1 L2 ，K≤1称为耦合
系数.
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§7-4
7.4.1
磁场能量
自感磁能
自感为L的线圈与电源接通，线圈中的电流i将要由
零增大至恒定值I.这一电流变化在线圈中所产生的
自感电动势与电流的方向相反，起着阻碍电流增大
的作用.
在建立电流I的整个过程中，外电源不仅要供给电
路中产生焦耳热的能量，而且还要反抗自感电动势
做功A，即
I
di
1 2
A dA ( )idt L idt Lidi LI
0
0
0
dt
2
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电源反抗自感电动势所做的功A转化为储存在线圈
中的能量，称为自感磁能.即
1 2
Wm LI
2
在图10.11(b)中，切断开关后，灯泡A不立即熄灭而
是猛然一亮，然后逐渐熄灭，就是线圈中所储存的
磁能通过自感电动势做功全部释放出来，变成灯泡
A在很短时间内所发的光能与热能.
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7.4.2
磁场能量
长直密绕螺线管的自感L＝μ0n2V，如果管内充满
均匀磁介质(非铁磁质)，则L＝μn2V，μ为磁介质
的磁导率.当螺线管通以电流I时，它所储存的磁能
为
1 2 1
W LI n 2VI 2
2
2
因为长直螺线管内H＝nI，B＝μnI.所以
1
1
W nInIV BHV
2
2
41
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V是螺线管内部空间体积，也就是磁场存在的空间
体积，并且螺线管内部是均匀磁场，所以
W 1
w
BH
V 2
w表示磁场中单位体积空间的能量，叫磁场能量密
度.
在普遍情况下，如果B与H的方向不同，则
1
w BH
2
42
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而总磁场能量等于磁能密度对磁场所占有的全部空
间的积分.即
1
W B HdV
V 2
对于一个载流线圈有
1 2
1
LI B HdV W
V 2
2
上式不仅为自感L提供了另一种计算方法，而且对
于有限横截面积的导体来说(即导线的横截面积不
能忽略时)，它还为自感提供了基本的定义，即磁
能法定义自感 L 2W2 .
I
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例10.7
求无限长圆柱形同轴电缆长为l的一段中磁
场的能量及自感.设内、外导体的截面半径分别为R1，
R2(R2＞R1)，电缆通有电流I，两导体之间磁介质的
磁导率假设为μ0.
解
作为传输超高频信号(如微波)的同轴电缆，由于
趋肤效应，磁场只存在于两导体之间，即R1＜r＜R2
的空间内.利用安培环路定理不难求得磁场分布为
H
I
2 r
0 I
B 0 H
2 r
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所以磁场能量密度
0 I
1
w BH 2 2
2
8 r
2
在长为l的一段同轴电缆内总的磁场能量为
W wdV
V
所以
R2
R1
0 I
0 I l R2
l 2 rdr
ln
2 2
8 r
4
R1
2
2
2W 0l R2
L 2
ln
I
2
R1
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而单位长度的圆柱形同轴电缆的自感为
0 R2
L0
ln
2 R1
只与电缆的结构及介质情况有关.
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