Transcript 学期小结 - 数学科学学院

学期总结
北京师范大学数学学院
授课教师：刘永平
总结
(1) L-测度；
(2) L-可测函数；
(3) L-积分 ；
(4) 一元函数性态（微分）.
(5) 小结.
L-测度
• L-测度以及可测集. 可测集全体为
一个  代数，L-测度的非负性、
完全可加性以及Caratheodory条件.
• L-可测集的结构(开集、闭集、F 型
集、G 型集可测，一个可测集是一
个 F 型集与一个零测度集合的并
集，一个可测集是一个 G 型集与一
个零测度集的差集).
L-可测函数
• 可测函数定义、性质
• 可测函数的结构：可用可测简单函数列逼近
，叶果洛夫定理(一致收敛与几乎处处收敛)
， Riesz定理(依测度收敛和几乎处处收敛)，
鲁津定理(几乎处处有限的可测函数与连续
函数).
L-积分的定义和性质
• L-积分：简单函数，非负可测函数，一
般可测函数.
• L-积分的性质：单调性、线性性、绝对
连续性、对可测集合的  可加性等.
• 勒维定理，法都定理，勒贝格定理；
• 重积分化累次积分（两个定理）；
• 积分的变量代换；
• R-积分和L-积分的关系.
单调函数
单调函数的可微性：单调函数几乎处
处有有限导数;
单增函数的导数与函数值的关系：

[ a ,b ]
f ( x) dx  f (b)  f (a)
有界变差函数
•
•
•
•
定义、性质；
BV[a,b]是线性空间；
可以表示成两个单调不减函数的差；
几乎处处有有限导数,导函数L-可积；
• 与其全变差函数的连续性、绝对连续
性相同
绝对连续函数
• 定义；
• 是有界变差且连续的函数；
• AC[a,b]是线性空间；
• 牛顿-莱布尼兹公式
.
康托集、康托函数
• 康托三分集是稀疏的、不可数的
、完全的零测集.
• 康托函数是不为常函数的、单调
增的、导数几乎处处为零的函数;
(奇异函数).
.
单增函数的勒贝格分解
跳跃（或0）+绝对连续+奇异（或0）.