Transcript 5.7 应用不变量化简二次曲线的方程

§5.7 应用不变量化简二次曲线的方程
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解析几何
1．不变量与半不变量
二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为
F ( x, y)  a11x2  2a12 xy  a22 y2  2a13 x  2a23 y  a33  0
 x  x cos   y sin  x0
直角坐标变换T： y  x sin  y cos  y
0

(1)
下
上式左端变为：F ( x, y)  a11 x2  2a12 xy  a22 y 2  2a13 x  2a23 y  a33
，
f，
如果经过直角坐标变换
定义5.7.1 设 F ( x, y) 的系数组成一个非常值函数
F ( x, y) 变为F ( x' , y ' ) 时，有
T ，
f (a11, a12 ,
 , a12
,
, a33 )  f (a11
)
, a33
那么这个函数f 叫做二次曲线（1）在直角坐标变换T 下的不变量．如果个
函数f的值只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线（1）在直角
坐标变换下的半不变量．
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解析几何
命题5.7.1 二次曲线（1）在直角坐标变换下，有三个不变量I1，I2，I3，
与一个半不变量K1：
I1  a11  a22 , I 2 
a11
a12
a12
a22
,
,
K1 
a11 a13
a13
a33

a22
a23
a23
a33
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a11
a12
a13
I 3  a12
a22
a23
a13
a23
a33
解析几何
证
先证明在移轴（5.7－1）下，I1，I2，I3 不变，而 K1 一般要改变．
由于在移轴下，二次曲线（1）的二次项系数不变，所以
1 ， K1 
0
0
0

a33


a22
0
0
 a33
  I1a33

 a22

a33

a11 a12 a13
 a23

I 3  a12 a22
 a33

a13 a23
a11
a12
a11 x0  a12 y0  a13
 a12
a22
a12 x0  a22 y0  a23
a11 x0  a12 y0  a13 a12 x0  a22 y0  a23
F ( x0 , y0 )
a11
a12
a13
a11
a12
a13
 a12
a22
a23
 a12
a22
a23  I 3
a13
a23
a33
a11 x0  a12 y0  a13 a12 x0  a22 y0  a23
a13 x0  a23 y0  a33
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解析几何
K1 在移轴下一般是要改变的，例如 F (x，y)≡2xy，它的 K1＝0，而通过移轴（5.7－1）
，
F (x，y) 变为 F ( x, y)  2xy  2 y0 x  2x0 y  2x0 y0 ，而这时
K1 
0
y0
y0
2 x0 y0

0
x0
x0
2 x0 y0
  ( x02  y02 ) ≢ 0
K1 ≠K1
故
现证明在转轴（5.7－3）下，I1，I2，I3 与 K1 都不变．对于 I1 与 I2 只要考虑方程的二次
项系数就够了，根据（3）
，在转轴下有：
a11  a11 cos2   2a12 sin  cos   a22 sin 2 

  a11 sin 2   2a12 sin  cos   a22 cos 2 
a22
 
2
2
a

(
a

a
)sin

cos


a
(cos


sin
)
12
22
11
12

(4)
利用三角函数关系
cos 2  
1  cos 2
1  cos 2
sin 2
sin 2  
sin   cos  
2
2
2
，
，
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解析几何
  a11  a22 a11  a22

cos 2  a12 sin 2
 a11 
2
2

a11  a22 a11  a22



cos 2  a12 sin 2
可将（4）化为：  a22 
2
2

a22  a11


a

sin 2  a12 cos 2
 12
2

(5)
  a22
  a11  a22  I1
I1  a11
 a12
a11
 a22
  a12
2
I 2 
 a11
 a22

a12
故
2
  a  a 

 a  a   a  a 
  11 22    11 22  cos 2  a12 sin 2    22 11  sin 2  a12 cos 2 
2
2
2

 


 

2
 a a   a a 
  11 22    11 22   a122
2  
2 

2
2
 a11a22  a122  I 2
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解析几何
2
现证 I3 在转轴下也不变．因为
 a13

a11 a12
a12 a13
a13 a11
a11
 a23
 ＝ a13



I 3  a12 a22
 a23
 a33
 a23

 a12
a22
a23
a12
 a33

a13 a23
而在转轴下，已证得 I 2 
a11
a12
a12
a22
a11
不变，即
a12
a12
a11


a22
a12

且在转轴下二次曲线方程的常数项不变，所以又有 a33
a12
a22
a12

a22
，
 a33 ，因此
a12 a13
a13 a11
a11 a12


I 3 ＝ a13
 a23
 a33




a22 a23
a23 a12
a12 a22
a12 a13
a12 a13
a12 a22
a11 a12
将（3）代入
，化简整理得
＝
cos  
sin 




a22 a23
a22 a23
a13 a23
a13 a23
a13 a11
a12 a22
a11 a12
同理可得
＝－
sin  
cos 
 a12
a23
a13 a23
a13 a23
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 a12 a22

a11 a12


I 3  a13 
cos  
sin  
a
a
a
a
13
23
 13 23

 a12 a22
a11
 a23  
sin  
a13
 a13 a23
a12 a22

(a13 cos   a23 sin  ) 
a13 a23
 a13
a12 a22
a13 a23
 a23
a11 a12
a13 a23

a11 a12
cos    a33
a23
a12 a22

a11 a12
a11 a12
(a13 sin   a23 cos  )  a33
a13 a23
a12 a22
a12
 a33
a11 a12
a12 a22
a11 a12 a13
 a12 a22 a23
a13 a23 a33
 I3
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解析几何
最后证明 K1 在转轴下也是不变的．因为
K1 
a11
a13
a13
a33

a22
a23
a23
a33
2
 (a11  a22 )a33  (a132  a23
)
 和 a23
 的
而 I1  a11  a22 和二次曲线（1）的常数项 a33 在转轴下都是不变的，由（3）中 a13
表达式直接计算可得
2
2  a23
2  a132  a23
a13
所以

a11 a13
a22
K1 




a13 a33
a23

a11 a13
a13
a33


a23
2
 )a33
  (a13
2  a23
2 )  (a11  a22 )a33  (a132  a23
 (a11  a22
)

a33
a22
a23
a23
a33
 K1
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命题 5.9.2 当二次曲线（1）为线心曲线时，K1是直角坐标
变换下的不变量．
证 首先证明当线心曲线的方程具有简化方程
（III）
a22 y 2  a33  0
时，K1 在直角坐标变换下不变．因 K1 是半不变量，所以只要证明它在移轴下不变即可．
（III）的左端变为
在移轴（5.7－1）下，
此时
而
故
a22 ( y  y0 )2  a33  a22 y2  2a22 y0 y  a22 y02  a33
a22 y0
a22
0
0
 a22 a33

K1 
2
2
0 a22 y0  a33
a22 y0 a22 y0  a33
K1 
0
0
0
a33

a22
0
0
a33
 a22 a33
K1 ＝ K1
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其次，如果 F (x，y) = 0 经过移轴（5.7－1）变成（III）
，则反过来（III）经过
移轴（5.7－2）就变成 F (x，y) = 0，所以当线心二次曲线通过移轴其方程能化
成（III）时，K1 不变．现设线心二次曲线 F (x，y) = 0 经过任意的直角坐标变换
t 变成 F (x'，y' ) = 0，
下面证明 K'1＝K1．因为 F (x，y) = 0 为线心二次曲线，因此总存在直角坐标
变换 t1 把 F (x，y) = 0 变成（III）的左端，因此反过来也一定可以通过直角坐标变
1
换 t1 把（III）的左端变成 F (x，y)，再通过坐标变换 t 把 F (x，y) 变成 F' (x'，y' )，
1
也就是存在一个直角坐标变换 t2  t  t1 把（III）的左端变成 F' (x'，y' )．
因此，根据前面已证明的，当通过直角坐标变换 t1 把 F (x，y) = 0 变成（III）
的左端时 K1 不变，所以有 K1＝ K1 ．而通过直角坐标变换 t2  t  t1 把（III）的左
1
端变为 F' (x'，y' ) = 0 时，又有 K1 ＝ K1 ，所以 K1 ＝K1
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2．应用不变量化简二次曲线的方程
命题5.9.3 如果二次曲线（1）是中心二次曲线，那么
它的简化方程为
I3
2
2
1 x  2 y   0
I2
其中1，2是二次曲线的特征方程的两个根.
命题5.9.4 如果二次曲线（1）是无心曲线，那么它的
简化方程为
I3
2
I1 y  2  x  0
I1
这里根号前的正负号可以任意选取.
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I1 y 2 
K1
0
I1
命题5.9.5 如果二次曲线（1）是线心曲线，那么它的
简化方程为
K1
I1 y 
0
I1
2
命题5.9.6 如果给出了二次曲线（1），那么用它的不
变量与半不变量来判断已知曲线为何种曲线的条件是：
[1] 椭圆： I 2  0, I1I3  0 ；
[2] 虚椭圆：I 2  0, I1I3  0 ；
[3] 点椭圆（或称一对交于实点的共轭虚直线）：
I 2  0, I3  0 ；
[4] 双曲线：
I 2  0, I3  0 ；
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[5] 一对相交直线： I 2  0, I3  0 ；
[6] 抛物线：
I 2  0, I3  0 ；
[7] 一对平行直线： I 2  I3  0, K1  0 ；
[8] 一对平行的虚直线：I 2  I3  0, K1  0；
[9] 一对重合的直线： I 2  I3  0, K1  0 ．
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例1 求二次曲线x2  6xy  y 2  6x  2 y 1  0 的简化方程与
标准方程
例2 求二次曲线 x  y  a 的简化方程与标准方程．
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