Transcript 不等式
一.一次不等式和不等式组的解法
二.二次不等式的解法
三.高次不等式的解法
四.分式不等式的解法
五.绝对值不等式的解法
六.无理不等式的解法
七.指数不等式和对数不等式
的解法
一元一次不等式的解法
形如ax>b的不等式。
则x> b a
当a>0
当a<0
则x< b a
b 0, x
当a 0时,
b 0, x R
一元二次不等式和对应的一元二次方程和函数的关系结构图
根的判别式 a >0
ax 2 bx c 0的解
y ax 2 bx c
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
x x 1 或x x 2
y
(a 0）的解集
ax 2 bx c 0
(a 0）
方程无解
y
y
x
(a 0)的图象
ax 2 bx c 0
x x1 x 2
x1 x 2
x
, x1 x2 , , x1 x1 ,
x1 , x2
x
R
例2： 解不等式 3x2+4x+5>0
解：由△＝b2－4ac=16－3×4×5= － 44＜０
∴3x2+4x+5恒大于零, 则原不等式解集为x∈R
2x2+5x-3≤０ ⑴
3x2+7x+4≥０ ⑵
｛
例3：解不等式组
解：对⑴首先令2x2+5x－3=0得x1=－3,x2= 1 2
则由表中知方程的解集为A1=｛x －3≤x≤ 1 2
4 3
对⑵有3x2+7x+4=0的x1=
，x2=－1
则方程的解集为A2=｛x x≤－4/3,or x≥-1 ｝
由数轴知B=A1∩A2=
4 1
3, 3 1, 2
1
例4：已知关于x的不等式ax bx c 0的解集是 x x 2, 或x ,
2
求关于x的不等式ax 2 bx c 0的解集
2
画图更简单，但不具一般性
练习:已知x 2 px q 0的解集为 1，
2 ，
求不等式px qx 8 0的解集。
2
x1 x2 p 1 2 1
解
x1 x2 q 1 2 2
所求不等式即为x 2 x 8 0
2
解得x ,2 4,
例5：不等式x mx 2m 3 0的解集为，
2
求：m 的取值范围。
解 : 由题意可知， m 2 4 2m 3 m 2 8m 12 0
解不等式，得 6 m 2,即m 6,2
练习
kx 2kx 3 0的解集为R，求k的取值范围。
2
例6：解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2>0
x2 x 2 0
7.若不等式组 2
的整数解只有 2，求k的取值范围.
2 x (2k 5) x 5k 0
一元高次不等式的解法
首先将不等式的最高次的系数化为正数，再将f(x)
分解 为若干个一次因式的乘积。且将恒大于零的因
式去掉。令f(x)的根从小到大排列得x1,x2,....,xm 。
先将x1,x2,....,xm标在数轴上，在确定
各区间的正负后用曲线依次通过每一点。
x1
x2 x3
...
xm
再根据图形确定符合不等式的解集
例 7：求(x-1)(x+3)(2+x)(4-x)(x+5)≥0的解集
先标准化,得(x+5)(x+3)(x+2)(x-1)(x-4) ≤0
解：
-5
-3 -2
1
4
则不等式解为x∈(-∝,-5]∪[-3,-2]∪[1,4]
练习：求x(x-1)(x-2)2(x2-1)(x3-1)>0的解集
分式不等式的解法
1.移项,通分把不等式的右边化为0.
2.由积商同号,把分式不等式转化为整式
不等式.
3.若分母大于0可直接去分母.
f ( x)
0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0)
g ( x)
f ( x)
0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0)且g(x) 0
g ( x)
2x 3
例8：解不等式
3.
x 1
x6
2x 3
解:
0
3 0,
x 1
x 1
( x 6)( x 1) 0
x 1 0
(,1) 6,）
x 3x 2
0
2
x 2x 3
2
例9：解不等式
所以原不等式的解为
x ( 1,1) (2,3)
3x 2 x 2
例10：若
k 对一切实数
2
x x 1
x都成立，求x的取值范围。
2
解：
x x 1恒大于0
2
3x 2 x 2 k ( x x 1)
2
2
(3 k ) x (2 k ) x (2 k ) 0
2
3 k 0
0
2
、k
3
1 、
2
(2
k
)
4(3 k )(2 k ) 0
0
不符条件
k 2
(1)、
2x 3 2
解：
2x 3 2or 2x 3 2
1
5
(, ) ( ,)
2
2
(2)、x 2 3x 8 10
解： 10 x 3x 8 10
2
x 3x 8 10
2
x 3x - 8 10
2
6 x 3
x 1orx 2
(1,3) (6,2)
1
(3)、
2
2x 3
解：
2 x 3 0
1
2x 3
2
3
x
2
5 x 7
4
4
5
3 3
7
x or x
4
2 2
4
( x 3)( x 4) 2(7 4 x)
(4)
0
x 1
解：
x x2
0
x 1
2
x 1 0
2
x x 2 0
x 1
x 2orx 1
x x 2orx 1
3 x 14
(5)、x 2
5
(,3) (2,)
(6) | 2 x 1| x | x 3 | 1
解： 10 x 3
1 2 x x x 3 1
1
0 3 x
2
2
1 2 x x x 3 1
1
0 x
3
2
2 x 1 x x 3 1
3
x
4
x
3
1
x
4
2
1
x
2
(7)、2x 1 x 2
解：
4x 4x 1 x 4x 4
2
2
3x 8 x 3 0
2
1
(, ) (3,)
3
(8).已知a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a在实数集R上的解集不
是空集，求a的取值范围.
【解题回顾】此题所用的构造函数及数形结合的方法，
是行之有效的常用方法.
变题1 若不等式|x-4|+|x-3|＞a对于一切实数x恒成立，求a
的取值范围.
变题2 若不等式|x-4|-|x-3|＜a的解集在R上不是空集．求a
的取值范围.
变题3 不等式|x-4|-|x-3|＞a在R上恒成立，求a的取值范围.
无理不等式：根号内含有未知数x
的不等式； g ( x) 0
f ( x) g ( x) f ( x) 0
f ( x) [ g ( x)] 2
g ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
或 f ( x) 0
f ( x) 0
2
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
f ( x) 0
f x g x g ( x) 0
f ( x) g ( x)
1. x 2 2
x 2 0
解:
x 2 4
x 2
x 6
x 2,6
2. x 3 1 x
解:
x 3 0
0
1 1 x 0
x 3 (1 x) 2
x 3 0
2
1 x 0
0
x 3
x 1
3 17 x 3 17
2
2
3
17
2
x (
or
x 3
x 1
x 1orx 1
3
17
2
,)
3. 3 x 5 x 4
解:
3x 5 0
x 4 0
3x 5 x 4
5
x 3
x 4
1
x
2
x 4,
4. x 3 x 10 x 4
2
解:
x 2 3 x 10 0
x 4 0
x 2 3 x 10 ( x 4) 2
x 5orx 2
x 4
26
x
5
26
x 5,
5
掌握指数、对数不等式的基本解法——基本型(ax ＞b，
logax＞b)，同底型(af(x)＞ag(x)、logaf(x)＞logag(x))，或利用
换元法或通过函数的单调性将其转化为代数不等式.转化
过程中，应充分关注函数定义域，保证变形的同解性.在
转化为不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉
及到最后几个不等式的解集是“交”还是“并”.
1
1.不等式
3
x 2 -8
{x|-2＜x＜4}.
3-2 x 的解集是__________________
{x|-4＜x＜2}
2.不等式lg(x2+2x+2)＜1的解集是______________.
3.解下列不等式：
log 1 x
log 1 x - 2
1 3
3
(1)4
2
(2)4 x 3 2
x
1
2
8 0
(3)2 3 x - 2 x a 2 x 2 - x a为正常数
3
(4) log 2 ( x 2) log 1 x
2
4
【解题回顾】指数、对数不等式的常规解法中主要体现等
价转化思想.第(1)题化为同底型，2f(x) ＞2g(x) ；第(2)题换元
化为二次不等式；第(3)题分解因式.
不等式解法的两个极其重要的思想:
⒈转化 即将绝对值不等式即其他不等式向
代数不等式或代数不等式组转化,
再对其求解.
⒉求根 即将不等式首先看成方程求出相应的
根，再利用不等式的性质进行求解.如
一元二次不等式和一元高次不等式的
解法.