Transcript 1.3.1 函数的基本性质

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1.3.1 函数的基本性质
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教学目的
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调
性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调
性．
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观察下列各个函数的图象，并说说它们
分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？
2、随x的增大，y的值有什么变化？
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1.3.1 单调性与最大（小）值
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请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y
值 增大
；图（2）中的y值 增大
。
2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y
值 减小
；图（2）中的y值 增大
。
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3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，
+∞)和x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的
还是下降的？
4、通过前面的讨论，你发现了什么？
结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，
则函数值y随x的增大而增大，反之亦真；
若一个函数在某个区间内图象是下降的，
则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。
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观察某城市一天24小时气温变化图．
θ＝f (t)，t∈[0，24]
问题：如何描述气温θ随时间t的变化情况？
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如图，研究函数θ＝f(t)，t∈[0，24]的图象
在区间[4，14]上的变化情况．
(t2,θ2)
(t1,θ1)
t1
t2
问题：
在区间[4，14]上，如何用数学符号语言来刻
画“θ随t的增大而增大”这一特征？
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在[4，14]上，取几个不同的输入值，例如
t1 ＝5，t2 ＝6，t3 ＝8，t4 ＝10，得到相对应的
输出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4时，有
θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ随t的增
大而增大．
θ
t
O
取区间内n个输入值t1，t2，t3，…， tn，
得到相对应的输出值θ1，θ2，θ3，…，θn，在
t1 ＜t2 ＜t3 ＜…＜tn 时，有θ1 ＜θ2 ＜θ3 ＜…＜θn
，所以在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大
．
在[4，14]上任取两个值t1 ，t2 ，只要t1＜t2
，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ
随t的增大而增大．
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在[4，14]上内任取两个值t1，t2，只要t1＜t2
，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t
的增大而增大．
问题：
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA,
在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用
数学符号语言来刻画呢？
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函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果
对于区间I内的任意两个值x1，x2，
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，
那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，
区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.
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问题：
如何定义单调减函数和单调减区间呢？
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函数y＝f(x)的定义域为A，区间I  A，如
果对于区间I内的任意两个值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，
区间I称为函数y=f(x)的单调减区间.
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概念辨析
1.函数y＝f(x)，x ∈[0，3]的图象如图所示．
y
O
1
2
3
x
区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？
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判断
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2.对于二次函数f(x)＝x2 ，因为－1，2∈(－∞，
＋∞)，当－1＜2时，f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)
＝x2在区间(－∞，＋∞)上是单调增函数．
3.已知函数y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)，若
对于任意的x2＞0，都有f(x2)＜f(0)，则函数y＝f(x)
在区间[0，＋∞)上是单调减函数．
y
x2
O
f(x2)
x
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一、增函数
y
f(x1)
0
x1
设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量
的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有
f(x2)
f(x1)＜ f(x2),那么就说f(x)在
x 这个区间上是增函数
x2
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二、减函数
y
f(x1)
0 x1
f(x2)
x2
设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量
的值x1,x2, 当x1＜x2时,都有
f(x1)＞ f(x2),那么就说f(x)在
x 这个区间上是减函数
三、单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,
那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性,
这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
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请问:
上升的
在单调区间上增函数的图象是__________,
下降的
减函数的图象是__________.
(填“上升的”或“下降的”)
想一想 ：如何从一个函数的图象来判断这
个函数在定义域内的某个单调区间上是增函
数还是减函数？
如果这个函数在某个单调区间上的图象
是上升的，那么它在这个单调区间上就是增
函数；如果图象是下降的，那么它在这个单
调区间上就是减函数。
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1、增函数、减函数的三个特征：
（1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以
是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函
数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1 (X∈Z)
不具有单调性
（2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量，
决不能理解为很多或无穷多个值。
（3）一致性
增函数： x 1 ＜ x 2
减函数： x 1 ＜ x 2


f( x 1 ) ＜
f( x 2 )
＞
f( x 2 )
f( x 1 )
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例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图
象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调
区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],
其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,
在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
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k
p=
V
例2：物理学中的玻意耳定律
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（k为正常数）
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，
压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数
即可。
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k
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( k 为正常数信赖源于诚信
)
例2、物理学中的玻意耳定律 p = V
告诉
我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压
强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
p (V1 )  p (V2 ) =
k
V1

k
=k
V2
V2  V1
V1V2
作差
变形
由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1 )  p(V2 )  0
即
定号
p(V2 )  p(V1 )
k
所以，函数 p = V , V  (0,)是减函数. 结论
也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
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例：证明函数f(x)=
x3在R上是增函数.
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证明：设x1,x2是R上任意两个
实数， 且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=x13-x23
=(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 )
= (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22]
因为 x1<x2 ，则 x1-x2 <0
又 (x1+ x2) 2 + x22>0
所以 f(x1)-f(x2)<0
即
f(x1)<f(x2)
所以f(x)= x3在R上是增函数.
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1
探究：
y=
画出反比例函数
x 的图象。
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明
你的结论。
通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做
出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确
性，是研究函数性质的一种常用方法。
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例函数
.
f ( x) =
1
在(0, 
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)上是增函数还是
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x
减函数？证明你的结论.
证明： 设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
f ( x1 ) =
1
x1
,
f ( x2 ) =
f ( x1 )  f ( x 2 ) =
=
x 2  x1
1
x1

1
y
x2
1
1
－1
f（x）在定义域
上是减函数吗？
O
x2
1
x
－1
x1 x 2
 x 1 , x 2  ( 0 ,  )  x 1 x 2  0
x1  x 2  x 2  x1  0
 函数 f ( x ) =
1
x
在 ( 0 ,   ) 上是减函数 .
能说：
 函 数 f ( x) =
1
x
取x1=-1，x2=1
f（-1）=-1
f（1）=1
-1＜1
f（-1）＜f（1）
  f ( x 1 )  f ( x 2 )  0 f ( x1 )  f ( x2 )

函 数 f ( x) =
1
在 (  , 0 ) 上 是 减 函 数 吗 ？.
x
的 单 调 递 减 区 间 是 ( , 0 )
( 0 ,   )吗 ？
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方法小结
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用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;
(2). 作差 f(x1)－f(x2) ;
(3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号:
① 分解因式, 得出因式(x1－x2
② 配成非负实数和。
③有理化。
(4). 作结论.
27
1
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5、讨论函数f(x)=
x
+
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x
解：设 0 <x1 < x2
1 1 -(x1 –x2) (x1 x2 –1)
则 f (x1) – f ( x2) =（x1 - x2）+ x x =
x1·x2
1
2
∵0 < x1 < x2 ∴x1 - x2 < 0, x1·x2 > 0
⑴当0 < x1 < x2 < 1时， x1 x2 < 1， ∴ x1 x2 –1 < 0
∴f ( x1) – f ( x2 ) < 0 即 f ( x1) > f ( x2)
1
∴ f (x)= x + x 在(0,1]上是减函数.
⑵当1 < x1 < x2 时， x1 x2 > 1， ∴ x1 x2 –1 > 0
∴f ( x1) – f ( x2 ) > 0
即 f ( x1) < f ( x2)
1
∴ f (x)= x + x 在[1，+∞）上是增函数.
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例3求函数f(x)=x+
k
（k>0）在x>0上的单调性
x
解：对于x2>x1>0,f(x2)-f(x1)=x2-x1+
=
x 2  x1
x 2 x1
(x1x2-k)
因 x 2  x1
x 2 x1
X12-k <x1x2-k <x22-k
时，f(x2)<f(x1)
-
k
x 2 x1
>0
故x22-k≤0即x2≤
同理x1≥
总之，f(x)的增区间是
k

k
k 时，f(x2)>f(x1)
k , 


，减区间是 0 ,
k

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图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的 x  R，
都有 f ( x )  f ( 0 ).
图象没有最低点。
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画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：
(1) f ( x ) =  2 x  3
(2) f ( x ) =  x  2 x  1
2
1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的
单调性；
2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现
函数的什么特征？
y
y
2
-1 o
o
x
x
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1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
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2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
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注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，
即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大
（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M
（f(x)≥M）．
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例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时
一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度
25m到30m处)时爆裂. 如果在距地面高度18m的地
方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s.
(1)写出烟花距地面的高度与
时间之间的关系式.
(2) 烟花冲出后什么时候是它
爆裂的最佳时刻?这时距地
面的高度是多少(精确到1m).
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解: (1)设烟花在t秒时距地面的高度为h m,则由物体运
动原理可知：
h(t)= -4.9t2+14.7t+18
(2)作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如右图).显然，
函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐
标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面
的高度.
由于二次函数的知识，对于
h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
当t = 
14 . 7
2  (  4 .9 )
h=
= 1 . 5 时，函数有最大值
4  (  4 . 9 )  18  14 . 7
4  (  4 .9 )
2
 29
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这
时距地面的高度为29 m.
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例3.求函数
最小值．
2
y =
x 1
在区间[2，6]上的最大值和
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
f ( x1 )  f ( x 2 ) =
=
=
2
x1  1

2
x2  1
2[( x 2  1)  ( x1  1)]
( x 2  1)( x1  1)
2 ( x 2  x1 )
( x 2  1)( x1  1)
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
f ( x1 )  f ( x 2 )  0 , 即
所以，函数 y =
2
x 1
f ( x1 )  f ( x 2 )
是区间[2,6]上的减函数.
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y =
2
因此,函数
x  1 在区间[2,6]上的两个端
点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取
最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值
为0.4 .
y =
2
x 1
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（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数
y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区
间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值
f(b)；
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课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上
递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的
[21,39]
值域____________.
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归纳小结
1、函数的最大（小）值及其几何意义．
2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
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证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，
且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
由于x1,x2  0,
得x2-x1>0
1
x1

1
x2
=
x2  x1
x1 x2
取值
作差
变形
得x1x2>0,又由x1<x2
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2)
因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
判断符号
下结论
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例题讲解：
例1 设函数 f(x) =x2-2x-3.3在区间[t，t+1]上的最小值
为g(t)，求g(t)的解析式。
分析
解：f(x)=(x-1)2-4.3，对称轴为x=1
(1)当t>1时，则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;
(2)当0≤t ≤1时，则g(t)=f(1)=-4.3;
(3)当t+1<1，即t<0时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;
g(t)=
t2-4.3;
-4.3;
t2-2t-3.3;
(t<0)
(0≤t ≤1)
(t>1)
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例2 求 f(x) =x2-ax+a在区间[-1，1]上的最值。
分析
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例2 求 f(x) =x2-ax+a在区间[-1，1]上的最值。
分析
2
a 2
a
a
解：f(x)=(x- ) +a，对称轴为x=
2
(1)若 a
  1，即a≤-2时，
2
(2)若-1<
a
2
(3)若0 ≤
2
4
f(x)min=f(-1)=1+2a，f(x)max=f(1)=1;
<0 ,即-2<a<0时，f(x)min=f(
a
2
a
a
2
2
)=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1;
<1 ,即0≤a<2时，f(x)min=f( )= a-a2/4， f(x)max=f(-1)=1+2a;
a
(4)若
1 ,
即a≥2时，
f(x)min=f(1)=1，
f(x)max=f(-1)=1+2a;
2
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四、函数的最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数M满足：
（1）对于任意的 x  I，都有 f ( x )  M ；
（2）存在 x 0  I ，使得 f ( x 0 ) = M .
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）。
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在
使得x 0  I
；f ( x 0 ) = M
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的
都有
．
，
，
x I
f ( x)  M ( f ( x)  m )
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例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时
一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距
地面的高度hm与时间ts之间的关系为
h ( t ) =  4 . 9 t  14 . 7 t  18 ，那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻？这时距地面的
高度是多少（精确到1m）？
2
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f  x =
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2
x-1
2
1
-2
2
4
6
8
-1
2
分析：由函数 y = x  1 ( x  [ 2 ,6 ]) 的图象可知，函数
在区间[2,6]上递减.所以，函数在区间[2,6]的
两个端点上分别取得最大值和最小值。
-2
-3
-4
-5
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（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么
特征？
①
②
③
④
f ( x) =  x  3
f ( x) = x  2 x  1
2
f ( x ) =  x  3 x  [  1, 2]
f ( x) = x  2 x  1
2
x  [  2, 2]
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1．函数最大（小）值定义
最大值：一般地
，设函数的定义域为I如果存在实数M满足：
y = f ( x)
（1）对于任意的
，都有
；
（2）存在
，使得
．
那么，称M是函数
的最大值．
x I
f ( x ) 的最小值的定义．
M
思考：依照函数最大值的定义，结出函数
x0  I
f ( x0 ) = M
y = f ( x)
y = f ( x)
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，
x 0，使得
I
f ( x 0 ) =；
M
即存在
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②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 信赖源于诚信
，
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都有
．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法
x I
f ( x)  M ( f ( x)  m )
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例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时
一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距
地面的高度hm与时间ts之间的关系为
h ( t ) =  4 . 9 t  14 . 7 t  18 ，那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻？这时距地面的
高度是多少（精确到1m）？
2
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例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨
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价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为 元，每个售价为 元，则每个涨（ －50）元，从而销售量减少
∴
＜100）
∴
∴答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
x
x
x
1 0 ( x  5 0 )个 , 共 售 出 5 0 0 - 1 0 ( x - 5 0 ) = 1 0 0 - 1 0 x ( 个 )
y=( x- 40) ( 1000- 10x) =- 10( x- 70)  9000 (50  x
2
x = 70时
y max = 9000
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例3．求函数
最大值和最小值．
例4．求函数
在区间[2，6] 2上的
y=
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x 1
的最大值．
y = x
1 x
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