Transcript integral mugagabeak - Matematika dbho2 GZ

INTEGRAL
MUGAGABEAK
INTEGRAL MUGAGABEAK
• Integral mugagabea
• Jatorrizkoak kalkulatzeko oinarrizko propietateak
• Berehalako integralen taula
• Berehalako integralak
• Berehalako bezala integratu daitzeken razionalak
• Zatikako metodoa
• Ordezkapen metodoa
Funtzio baten jatorrizko funtzioa eta integral
mugagabea
F(x) f(x) funtzioaren jatorrizkoa izango da baldin eta F´(x)=f(x) betetzen
bada. Hori horrela adierazten da:
F ( x)   f ( x) dx
Funtzio bakoitzak infinitu jatorrizko ditu, izan ere F(x) f(x)-ren jatorrizkoa
bada, orduan, F(x)+k ere bada.
F ( x)  k ´ F´(x)  f ( x)
 f ( x) dx  F ( x)  k
 f ( x) dx
adierazpenari integral mugagabea esaten zaio
jatorrizkoa
Propietateak

 u  v   u dx   v dx

 a  u dx a   u dx
 u  v dx   u dx   v dx
u dx
u

  dx 
v
 v dx

BEREHALAKO INTEGRALAK
n 1
u
n
u
  u´ dx  n  1  k
u
u
e

u
´
dx

e
k

u
a
u
a
  u´ dx  ln a  k
 u´ sin u dx  cos u  k
 u´ cos u dx  sin u  k
u´
 u dx  ln u  k
u´
 1  u 2 dx  arctgu  k
u´
 cos 2 u dx  tgu  k

u´
dx  arcsinu  k
1 u
u´
 sin 2 u dx   cot g u  k
2

 u´
1 u
2
dx  ar cosu  k
Adibideak
1.
x6
x6
 3 x dx  3   x dx  3   x 1 dx  3  6  k  2  k
u´ x´ 1
5
 a  u dx a   u dx
5
5
n 1
u
n
u
  u´ dx  n  1  k
Adibideak:

31
2
1
x
x
1
3
dx

x
dx

k 
k  2 k
 x3

 3 1
2
2x
3
2
5
2
x
2 5

 x dx   x dx  5  k  5 x  k
2
3
2
8 
 2
x  3x  5 x  2
x  x 3
dx 

dx



x 2

x2
1
2
  x dx   xdx  3 dx  8
dx 
x2
x3 x 2
   3x  8 ln x  2  k
3 2
3

 3sin x  2 cos x dx  3 sin xdx  2 cos xdx 
 3( cos x)  2 sin x  k   3 cos x  2 sin x  k
5
2x
  3 cos x  5e dx  3 cos xdx   2  e dx 
2
5 2x
 3 sin x  e  k
2
x ln 2
x ln 3
x
x
dx   3
dx 
  2  3 dx   2
ln 2
ln 3
1
1
1 x
1 x
x
x
2 ln 2dx 
3 ln 3dx 
.2 
.3  k


ln 2
ln 3
ln 2
ln 3
2x

3
1
 x 2  1 dx  3 1  x 2 dx  3arctgx k
Berehalako bezala kalkulatu
daitezkeen integral razionalak.
2 x3  1
 x  3 dx 
Zatiketa eginez
2 x3  1
55 
2 x3 6 x 2
 2
 x  3 dx    2x  6x  18  x  3 dx  3  2  18x  55ln x  3  k
x 4  x3  x 2  x  2
dx 
2

x  1 3 2
Zatiketa
eginez
 2
2 

dx 
x

x

2 
 
x  1 
x
x
1
x3 x 2
2
  2
dx



k
2
3 2
3 2 x 1
x  1
k
P( x)
A) 
dx B) 
dx
Q( x)
Q( x)
Motako integrala ditugunean, non,
P( x) lehen mailako polinomioa
Q( x)  0 eta Q( x)  ax2  b non a, b  0
A) Motako integralen emaitza arcotangente bat izango da.
B) Motako integralen emaitza logaritmo bat + arcotangente bat izango da.
•
•
5
 3x 2  4 dx 
Adibideak
5
1
4 dx  5
dx 
2
 3x 2  4

4 3x
1
4
4
5
1
5
1
3 2
dx

.
dx 
4   3 2
4   3 2
2
3




 4 x  1
 2 x  1




 3 
5 2
1
3
5

dx

arctg
x   k
2


4 3  3 
2
2 3
 2 


 2 x  1


2x
1 10x
1
dx

dx

 5 x 2  4 5  5x 2  4 5 ln 5x 2  4  k
•
 5x 
7
7
2x
2x  7
1
2
 5x 2  4dx   5x 2  4dx   5x2  4dx 5 ln 5 x  4 2. 5 arctg 2   k


2x
1
10 x
1
2
dx

2
.
dx

ln
5
x
4 k
2
 5x2  4

10 5 x  4
5
7
1
7
1
7
1
 5 x 2  4dx 7. 5 x 2  4dx  4  5 x 2  4 dx  4  5 2 dx 
x 1
4
4
 5x 
7
7
1
7 2
1
5

k
arctg
 
dx  .
.
dx

2
2
 2 
4  5x 
2. 5
4 5   5x 
2






 2  1
 2  1




ZATIKAKO METODOA
Zatikako metodoa elkarrekin zer ikusirik ez daukaten bi funtzioen
biderkadura integratzeko erabiltzen dugu.
Bi funtzioen biderkaduraren deribatua ez denez deribatuen biderkadura,
logikoa dirudi suposatzea bi funtzioen biderkaduraren integrala ere ez dela
izango integralen biderkadura.
Bi funtzioen biderkaduraen deribatutik abiatuz;
(u.v)( x)  u( x).v( x)  u( x).v( x)



u
.
v
 ( x).dx   u( x).v( x)dx   u( x).v( x)dx
u ( x).v( x)  u( x).v( x)dx   u ( x).v( x)dx
 u( x).v( x)dx  u( x).v( x)   u( x).v( x)dx
u
.
dv

uv

v
.
du


Nola aukeratuko ditugu u eta dv?
u eta dv aukeratzeko orduan zerrrenda honi jarraituz, zerrendako ordenean
agertzen den lehen funtzioa u izango da eta gainontzeko guztia dv.
•Arcotangentea
•Arcsin edo arccos
•Logaritmoak
•polinomiak
Adibideak
•
u  x du  dx

 x.cos xdx  dv  cos xdx v   cos xdx  sin x  x.sin x   sin xdx  x.sin x  cos x  k


u
uu
v
v
du
dv
2

u

x
du  2 xdx
2 x
2 x
x
x
e
dx


x
e

e
2 xdx 

• 

x
x 
dv  e dx v  e 
u  x du  dx 
2 x
x
 x e  2 e xdx  

x
x
dv  e dx v  e 
 x 2e x  2( x.e x   e xdx 
 x 2e x  2 xe x  2e x  k  e x ( x 2  2 x  2)  k
1 

u

ln
x
du

dx
1
•  ln xdx  

ln
x
.
x

x
.
dx  x. ln x  x  k
x



x
dv

dx
v

x


1


u

arctan
x
du

dx

x2
x2 1
1 x2 
dx 
  arctanx.   .
2
2
 x. arct anxdx 
2
2 1 x
x

dv

xdx
v



2
x2 1
x2
x2 1 
1 
arctanx.   2 .dx  arctanx.   1  2 dx 
2 2 x 1
2 2  x 1
•
 x2 1  x
x2 1
arctanx.   x  arctanx   k  arctanx     k
2 2
 2 2 2
•
1


u

ln
x
du

dx


3
 x4
  x4
1
x


x

2
ln
x
.
dx





 dx 

ln
x

2
x


2
x






4
x


3
 4
  4
x
dv

x

2
dx
v


2
x


4
 x4
  x3

 x4
 x4
 ln x  2 x      2 dx  ln x  2 x    2 x  k
 4
  4

 4
 16


ORDEZKAPEN METODOA
Aholkuak:


f ( x )dx
f ( x)  t

f ( x )dx
f ( x)  t 3
ex  t
e2x  e x
 e 3x dx
 sin  f ( x) . cos
a

3
f ( x)  t m.k .t ( 2,3)  t 6
f ( x)  3 f ( x) dx
ex 1
 e x dx
2
ex  t
b
( f ( x)) dx
a bakoitia bada cos( f ( x))  t
b bakoitia bada sin( f ( x))  t
Adibideak
tan x

dx

 t an x  t
 cos 2 x
•
e 1
 e x dx 
2x
•
2
2
1

t
tan
x
dx  dt  t.dt   k 
2
k
cos x

2
2

e x  t e x dx  dt


dt
dt
dx  

x


e 1 t
t 2  1 dt
t 2 1
 1
 t t   t 2 dt   1  t 2 dt
t
1
t
 k  t   k  e x  e x  k
1
t
2


2
x

3

x

1

t
•
dx  

x 1
2
2
(
t
 1)  3
2

dx  2tdt 
dt

4
t
 2 dt 



t
2
 x  t  1


4
4t 3

 2t  k 
3
x  13
3
 2 x 1  k

•
2
3
sin
x
.
cos
x.dx 

sin x  t cos xdx  dt 
 3

2
cos
xdx

cos
x
.
dt



(1  sin 2 x)dt  1  t 2 dt




3
5
3
5
t
t
sin
x
sin
x
2
2
  t (1  t )dt    k 

k
3 5
3
5
•

6


x

t
x x
dx  

5
3
dx  6t dtZatiketa eginez
x 1
6
t3  t 5
t8  t6
2 

  2 6t dt  6 2 dt    t 6  2t 4  2t 2  2  2 dt 
t 1
t 1
t 1

6 7
6 5
t 7 t 5 2t 3
x
x 26 x 3 6
 2   2t  2 arctant  k 
2

 2 x  2 arctan6 x  k
7
5 3
7
5
3
Integral mugagabeari buruzko
apunte batzuk