99年大學學測數學試題解析
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99年大學學測數學試題解析
柯光遠 99.01.30
99-1
99-1解答(1)
(解1)
(解2)
選(2)
H
2
10
C
11
10
11
每一項都是1,其值為10,
其中一個1換成-1其值變成8,
其中二個1換成-1其值變成6,
依此可知其值為
10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10
共11個不同的值..
99-1解答(2)
(解3)
設其中有m個1,n個-1,
則m+n=10,m,n為非負整數
其值為m-n=m-(10-m)=2m-10
m=0,1,2,3…..,10
代入可得11個不同的值
99-2
99-2解答
5
a
b
7
4
35-ab=4
ab=31,又a,b為整數
a=1,b=31;a=31,b=1;a=-1,b=-31;a=-31,b=-1;
|a+b|=32
選(3)
99-3
99-3解答
E
C C
3
1
C
選(5)
6
2
3
1
100 60
99-4
99-4解答
AB : x y 1 0
p
1
q
AB d (P, AB )
1
A B d (Q , A B )
2
2
r
1
AB d (R, AB )
2
比較p,q,r的大小只要比較 d ( P , A B ), d ( Q , A B ), d ( R , A B ) 的大小
d (P, AB )
11
2
d (Q , A B )
2
2
3 6 1
5
2
2
d (R, AB )
5
2
2
3.14
3
2
1
3.5
2
3.268
2
p<q<r
選(1)
99-5
99-5解答
(1.08)
100
x
log x 100(log
27 4
)
100
log x 100(3 log 3 2 log 2 2)
log x 100 0.0333 3.33
x 10
0.33
選(3)
10 2 1000
3
99-6
99-6解答
設P(x,y,z)
(1, 2,1) ( x , y , z ) 6 E : x 2 y z 6 0
P為球面S和平面E的交點
d (O , E )
6
6 4
6
球面S和平面E的交出一圓
選(4)
99-7
99-7解答
1 :
2 :
3 :
x
2
5
2
x
2
5
2
x
2
5
2
選(4)
y
2
3
2
y
2
3
2
y
2
3
2
a 5, l1 10
1
2
2x
5
2 :
x
2
(5 2 )
2
5
2
2
(3 2 )
x 10 x 5
2
3 :
y
2
1 a 5 2 , l2 1 0 2
2
y
2
3
2
5
2
5
2
a 5, l3 10
99-8
99-8解答
(1)
cos 1
(2) 2
1
3
1
2
cos
4
1
4
1 , 3 1 , 4 2 1
(3)
cos 3 0
(4)
sin 4 0
選(2)(3)
99-9
99-9解答
(1)奇次實係數方程式至少有一實根
(2)(3) a 0, a
或
2 0, 2
1
2; a 0, a
a
1
2
a
x
x
0 2 2 0
1
2
令 t= log 2 x t+ = 1 t t 1 0, 無 實 根
t
x
x
(4) 令 t= sin x t+(1-2t 2 )-3=0 2t 2 -t+2=0, 無 實 根
(5) -5 4 sin x + 3 co s x 5 -5
或 5 sin (x+ )=
9
2
9
2
sin (x+ )=
5, 有 實 數 解
9
10
有實數解
選(1)(5)
99-10
99-10解答
(1) a 1 =1,a 2 =0
n N,
(2) 整數減法有封閉性
n(n+1)
N
2
,
(3) 整數減無理數必得無理數
(4)
a n+1 =
a n+2 =
n(n+ 1)
2
-a n a n+2 =
(n+1)(n+2)
2
-(
(n+1)(n+2)
n(n+1)
2
2
-a n+1
-a n )=a n +(n+1)
a n+2 >a n
(5) a k+2 =a k +(k+1)
a 3 a1 2 →奇數項同奇偶
a 4 a 2 3 →偶數項奇偶相間
選(2)(3)(4)
或代入觀察
99-11
99-11解答
投影點在L上必在2x-y=2上 (2)錯 其餘有可能
設投影點為(x,y,z)則 (x,y,z) (x-2,y-2,z-2)=0
x(x-2)+y(y-2)+z(z-2)=0
或 (x-1) 2 +(y-1) 2 +(z-1) 2 =3
代入檢查即可
選(1)(3)(5)
99-12
99-12解答
(1)真正的p只有天知道
(2) [0.52-2 0.02,0.52+2 0.02]=[0.48,0.56]
(3) 設女性抽樣數為n1,設男性抽樣數為n2
0 .5 2 0 .4 8
n1
0 .5 9 0 .4 1
n2
(4) 合併後的 p =
= 0 .0 2 n 1 =
0.52 0.48
= 0 .0 4 n 2 =
n 1 p1 + n 2 p 2
(5)合併後的標準差
n1 +n 2
(0.02)
2
(0.04)
=
0.59 0.41
0.0016
p1 < p < p 2
0.53 0.47
624+ 151
<
=624
0.0004
0.59 0.41
2
=
0.52 0.48
= 1 5 1 .1 8 n 1 >n 2
p 0.53
0.52 0.48
624
= 0.02
選(2)(4)
99-A
99-A解答
設C(12,y) y>0 則
B A =(-6,-1),B C =(4,y-2)
|
-6
-1
4
y-2
|= 38
|16-6y|= 38 y= 9or-
設D(α,β)
B C = (4,7)= A D = ( -2, -1)
( , )= (6,8)
11
3
(不 合 )
99-B
99-B解答
因為實係數方程式虛根成對,
f(x)=[x-(3-2i)][x-(3+2i)](x-i)(x+i)(x-5)
2
f(x)=[(x-3)+2i)][(x-3)-2i)](x +1)(x-5)
2
2
2
f(x)=[(x-3) -(2i) ](x +1)(x-5)
2
2
f(x)=(x -6x+13)(x +1)(x-5)
f(x)=...........-65
99-C
99-C解答
(1) 1,2在第一列的方法數 3 2 4 !
(2) 1,2在第一行的方法數 2 1 4 !
(3) 1,2在同一行或同一列的方法數 3 2 4 ! 2 + 2 1 4 ! 3
= 4 ! 1 8 = 2 4 1 8 = 4 3 2
(另解)
6 3 4!
122
2
2 1 2
2
99-D
99-D解答
(1) 解前兩式得 x=
(2) 代入第三式得
2-a
3
3
2-a
a(1-2a)
3
2
2-a+ 2a -a= 366
2
a -a-182=0
(a-14)(a+13)=0
a= 1 4 o r-1 3
,y=
1-2a
(不合)
-
3
= 122
99-E
99-E解答
設 A B C = , A B D =2 ,B D =x
cos =
5
, cos 2 =
6
5
x
cos 2 = 2 cos -1
2
5
=2 (
x
x=
5
6
90
7
2
) -1=
7
18
99-F
99-F解答
設P(p,0),Q(q,0),R(r,0),S(s,0) 則
p+ q= -a,pq= b
r+s=-a,rs=b+2
2
2
P Q = |p-q|= (p+ q) -4pq = a -4 b = 7
a -4b= 49
2
2
2
R S=|r-s|= (r+s) -4rs = a -4 b -8 = 49-8 = 41
(特殊值解法) 設P(0,0),Q(7,0)則 x 2 +ax+b=x(x-7)=x 2 -7x a= -7,b= 0
x +ax+(b+2)=x -7x+2 r=
2
r-s= 4 1
2
7+ 41
2
,s=
7- 41
2
99-G
99-G解答
設 C = , A =2 , B = -3 ,A C =x
x
由正弦定理得
3
sin 2
x
sin 3
=
=
2
sin
2
sin
sin 3
19
sin 2
=
2
sin
3
4
2(3sin -4sin )
3
x=
2
=2(-1+4
3
3 sin =2(2sin cos ) cos =
=2(-1+4cos )
9
=
)=
5
2
sin
x=2(3-4sin )
2
99-H
99-H解答
設F拋物線的焦點,L’為拋物線的準線, 則F(0,2), L’:y=-2
| d (P, L) AP |
P
| P F 3 A P |
F
A
| P F A P | | 3 |
y=-2
AF 3
9
4
3
3
21
4
y=-5