Transcript 责任准备金

责任准备金
本章中英文单词对照
 净责任准备金
 Net premium reserve
（受益责任准备金）
 前瞻亏损
 保费差公式


 缴清保费公式

 过去法公式

(Benefit reserves)
Prospective loss
Premium-difference
formula
Paid-up insurance
formula
Retrospective
formula
课程结构
责任准备金的概念
净责任准备金的厘定
责任准备金
净责任准备金递推公式
费用责任准备金
修正责任准备金
例6.1
 保险公司发行一种3年定期保单，死亡年末给付1
万元，年实质利率5%，假设有100个岁的人投保，
这群人的生存状况如下
 （1）根据净均衡原理厘定趸缴净保费和3年期均衡净
保费；
 （2）在趸缴保费场合，分析各年资金流动的状况；
 （3）在净均衡保费场合，分析各年资金流动的状况。
（1）保费计算
 趸缴净保费
lx  NSP  10000(d x v  d x 1v 2  d x  2v 3 )
10000(d x v  d x 1v 2  d x  2v3 ) 267897.6
NSP 

 2678.976
lx
100
 均衡净保费
(lx  lx 1v  lx  2v 2 ) P  10000(d x v  d x 1v 2  d x  2v 3 )
10000(d x v  d x 1v 2  d x  2 v3 )
P
lx  lx 1v  lx  2v 2
267897.6

 1001.211
2
100  95 1.05  85 1.05
（2）趸缴保费场合资金流分析
 通过这个资金流分析，可以很清楚地知道在趸缴保费场合，
保险是一种先收保费后履行赔付义务的特殊商品。被保险
人在保单发行日一次性缴纳了所有的保费，未来各年对于
保险人而言就只有责任而不再有保费收入了。为了有效地
履行对被保险人的承诺，保险人需要很好地管理这笔预付
保费，让它逐渐填补各年的收支缺口。
（3）净均衡保费场合资金流分析
 通过这个资金流分析，可以很清楚地知道即使是在净均衡保费场合，
当期支付的保费也并不等于当期的赔付支出。这是由于死亡事故并不
是每年均衡发生的，由于人类的生存规律，死亡概率通常呈现出随剩
余寿命递增的趋势，所以在净均衡保费场合，依然是前期保费收入多
于赔付支出，后期保费收入少于赔付支出。基于这种情况，保险公司
依然要严格管理前期的剩余保费，用前期的基金余额填补以后各年的
收支缺口。
课程结构
责任准备金的概念
净责任准备金的厘定
责任准备金
净责任准备金递推公式
费用责任准备金
修正责任准备金
责任准备金产生的原因
净均衡原理，保证了以保单发行日为参照点，保险公司的未
来保费收入精算现值和未来保险赔付的精算现值相等。
但除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为参照点，
未来收支的现时值都有可能不平衡，通常未来赔付责任要比未
来保费收入的精算现值大，这种收支缺口就是责任准备金产生
的原因。
责任准备
金
未来 未来
责任 收入
未来 差值
责任 未来
收入
0
t
w
净责任准备金的定义
 定义：
 保险公司在任意时刻对每个仍在保障范围内的
被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准
备金。
 或者说是每个现存被保险人将来的受益现值，
所以也称为受益责任准备金。
 实质
 责任准备金是现存被保险人未来受益与未来缴
费现时值之差。
责任准备金的重要意义
 保证寿险公司的偿付能力
 责任准备金是寿险公司最为重要的负债，一般
占所有负债的80％到90％，和总资产的比例也
可能超过80％。
 寿险业务的长期性和不确定性要求保险公司为
未来的给付责任积累起足够的资产，所以寿险
负债评估是精算部最重要的工作之一。其中责
任准备金的评估是该项工作的核心
责任准备金的作用
 保证保单所有人的利益
 监管机构原则上应该代表保单所有人的利益，所以会
要求保险公司持有和责任准备金相当的资产以保证偿
付能力。
 责任准备金是在清算假设下进行的评估，要理解这句
话，可以考虑下述问题：如果在这个时刻保险公司破
产，那么有效保单应该得到多少利益？这个问题没有
唯一正确的答案，责任准备金给出的是比较合理的答
案。
课程结构
责任准备金的概念
净责任准备金的厘定
责任准备金
净责任准备金递推公式
费用责任准备金
修正责任准备金
责任准备金的厘定
 方法一：将来法
 我们通常把保险人未来赔付责任与未来保费收
入的现时值之差称为保险人的前瞻亏损
（prospective loss）
 用前瞻亏损思想厘定责任准备金的方法成为前
瞻法（将来法）
J
L

v
 Px aJ
k x
其中：J 为( x  t )岁被保险人的整值剩余寿命
V  E[ k Lx ]
k x
净责任准备金的确定原理（终身寿险）
 前瞻亏损（prospective loss）
L  v  PaU
U
t
k
Lv
J 1
 PaJ 1
 其中：U为（x+t）的剩余寿命，J 为（x+t）的整
值剩余寿命
f (u )  u px t  x t u
u0
f ( j )  j px  k qx  k  j  j qx  k
k, j  Z
净责任准备金的确定
 前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金
V ( Ax )  E[ t L]  E[v ]  PE[aU ]
U
t
 Ax t  Pax t
 用这种原理确定责任准备金的方法称为前
瞻方法
例6.2
 设保险公司发行某保单，被保险人的整值剩余寿
命K的概率函数为
1
q 
k 0
4
k  0,1, 2,3
 该保单在被保险人死亡年末给付1，年利率6%。
根据净均衡保费原则确定：
（1）在趸缴保费场合，确定在各年期末责任准备金。
（2）在净均衡保费场合，确定在各年期末责任准备金。
案例2解答
 趸缴场合净责任准备金
净责任准备金（趸缴）
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
案例2解答
 期缴场合净责任准备金
净责任准备金（趸缴）
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
前瞻亏损方差
Var[ t L]  Var[v  PaU ]
U
 [1  P  ] Var[v ]
2
U
 [1  P  ] [ Ax t  A ]
2 2
2
x t
例6.3
 已知：  0.04,   0.06
 利用前瞻方法确定完全连续终身寿险在
未来任意时刻t的净责任准备金及前瞻损
失的方差
例6.3答案
  0.04,   0.06
 Ax  0.4, 2 Ax  0.25, ax  10, P ( Ax )  0.04
 Ax t  Ax  0.4, a
x t
 ax  10
 tV ( Ax )  Ax t  P ( Ax )  a
2
x t
0
 P ( Ax )  2
2


Var ( t L)  1 
A

A
 0.25
x
x



 

例6.4
 已知
lx  100  x,0  x  100
 利率按6％计算
 求：
(1) P ( A 35 )
(2) t V ( A 35 ) , t  0,10, 20,
, 60
(3) Var ( t L) , t  0,10, 20,
, 60
例6.4答案
(1) lx  100  x  t p35  1  t / 65
 t p35 35t  1/ 65, 0  t  65
65

A35   v t t p35 35t dt 0.258
0
a35 
1  A35

 12.7333
A35
P ( A35 ) 
 0.02
a35
例6.4答案
V ( A35 )  A35t  P ( A35 )a35t
t
2
 P ( A35 )  2
2


Var ( t L)  1 
A

A
35

t
35

t






例6.4答案
t
0
10
20
30
40
50
60
V ( A35 )
Var ( t L)
0.0000
0.0577
0.1289
0.2271
0.3619
0.5508
0.8214
0.1187
0.1001
0.1174
0.1073
0.0861
0.0508
0.0097
t
（1）终身寿险，终身缴费场合
fully  continuous
V ( Ax )  Ax t  P ( Ax )ax t
t
fully  discrete
kVx  Ax  k  Px a x  k
（2）n年定期寿险，n年缴费场合
fully  continuous
1
1

A

P
(
A
)ax t:n t , t  n
 x t:n t
1
x:n
tV ( Ax:n )  
0, t  n
fully  discrete
1
k x:n
V
 A1x  k :n  k  Px1:n ax  k :n  k ,

0, k  n
kn
（3）n年两全保险，n年缴费场合
fully  continuous
 Ax t:n t  P ( Ax:n )ax t:n t , t  n
tV ( Ax:n )  
1, t  n
fully  discrete
1
k x:n
V
 Ax  k :n  k  P ( Ax:n )ax  k :n  k ,

1, k  n
kn
（4）h次缴费终身寿险场合
fully  continuous
 Ax t  h P ( Ax )ax t:h t , t  h
V ( Ax )  
, th
 Ax t
fully  discrete
h
t
 Ax  k  h Px  ax  k :h  k , k  h
kVx  
, kh
 Ax  k
（5） h次缴费n年定期两全保险场合
fully  continuous
 Ax t:n t  h P ( Ax:n )ax t:h t , t  h  n


h
, h t  n
tV ( Ax:n )   Ax  t :n t

, tn

1
fully  discrete
 Ax  k :n  k  h Px:n ax  k :h  k , k  h  n

h
, h k  n
kVx   Ax  k :n  k

, k n
1
（6）m年延期缴费终身生存年金场合
fully  continuous

 m t ax t  P ( m ax ) ax t:m t ,
tV ( m a x )  

 ax t ,
fully  discrete

 m  k ax  k 
kV ( n a x )  

 ax  k ,
m
Px  ax  k :m  k ,
tm
tm
km
km
责任准备金的其它确定方法
 保费差公式（premium-difference formula）
 责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。
 缴清保险公式（paid-up insurance formula）
 责任准备金等于部分受益的精算现值。
 后顾方法（retrospective method）
 责任准备金是已付保费积累值与保险成本积累值
（accumulated cost of insurance）之差。
保费差公式推导
 以完全连续终身寿险为例
V ( Ax:n )  Ax t:n t  P ( Ax:n )ax t:n t
t
 Ax t:n t


 P ( Ax:n )  ax t:n t
 ax t:n t

  P ( Ax t:n t )  P ( Ax:n )  ax t:n t
缴清保费公式推导
 以完全连续n年定期两全保险为例
V ( Ax:n )  Ax t:n t  P ( Ax:n )ax t:n t
t
 P ( Ax:n )ax t:n t
 1 
Ax t:n t


 Ax t:n t


P ( Ax:n ) 
 1 
 Ax t:n t
 P ( Ax t:n t ) 
后顾方法推导
 以完全连续n年定期两全保险为例
V ( Ax:n )  Ax  s:n  s  Pax  s:n  s
s
A
 t Ex  s  Ax  s t:n  s t
1
x  s:t
 P[ax  s:t  t Ex  s  ax  s t:n  s t ]
 A1x  s:t  Pax  s:t  t Ex  s  s tV ( Ax:n )

V ( Ax:n ) 
s t
1
V
(
A
)

Pa

A
s
x:n
x  s:t
x  s:t
t
Ex  s
后顾方法推导
V ( Ax:n ) 
s t
1
V
(
A
)

Pa

A
s
x:n
x  s:t
x  s:t
t
Ex  s
取s  0
 sV ( Ax:n )  0
 tV ( Ax:n ) 
Pax:t  A1x:t
t
其中 : t k x 
A1x:t
t
Ex
Ex
 Psx:t  t k x
(accumulated cos t of insurance)
应用前瞻公式和后顾公式的原则
 在保障时间超出缴费期的场合，前瞻公式
更为便利。
t  h,
h
t
V ( Ax )  Axt
 在尚未提供受益的递延期内，后顾公式更
为方便。
t  m, tV ( m ax )  P ( m ax )sx:t
例6.5
 一种完全离散的保额为1000的3年期两全保险，
已知：
（1）i=6%
(2)
(3)
 计算
年龄
lx
x
1000
x+1
900
1000Px:3  332.51
1000( 2Vx:3  1Vx:3 )
x+2
810
例6.5答案
 由后顾公式：
1000 1Vx:3  1000  ( Px:3 sx:1  1 k x ) 

1000 2Vx:3 

1000  (lx Px:3 (1  i )  d x )
lx 1
1000  [332.511.06  100]
 280.51
900
1000  [lx 1  ( Px:3  1Vx:3 )(1  i )  d x 1 ]
lx  2
900  (332.51  280.51) 1.06  1000  90]
 610.89
810
1000( 2Vx:3  1Vx:3 )  610.89  280.51  330.38
例6.6
 已知：
Px  0.01212,
1
x:10
P
 计算：
20
10 x
V
 0.06942,
20
Px  0.01508
V  0.1443
10 x
例6.6答案
 后顾法
20

 10Vx  20 Px sx:10  10 k x
20
 10Vx  10Vx  ( 20 Px  Px ) sx:10


 10Vx  Px sx:10  10 k x
1
1
1
Px:10 sx:10  1  sx:10 

1
Px:10
0.06942
 20
10Vx  10Vx  ( 20 Px  Px ) s x:10
 0.1143  (0.01508  0.01212) / 0.06942  0.15694
其它公式
Ax t  1   ax t
 tVx  Ax t  Pax t  1  (  P)ax t
1   ax
ax t
 1  ( 
) ax  t  1 
ax
ax
ax 
1  Ax

ax t 
1  Ax t
ax  t
1  Ax t
 tVx  1 
 1
ax
1  Ax

Ax
 1  (  ) ax t
ax
例6.7
 计算在哪些时刻有 tVx  tVx
 已知：
t
0
…
10
11
12
13
14
ax t
ax  t
…
13.12
…
16.1
12.8
12.4
15.8
15.3
11.92
11.36
14.8
14.3
例6.7答案
t
ax t
ax t

tVx  1 
tVx  1 
ax
ax
10
0.18
0.19
11
0.2
0.21
12
0.22
0.23
13
0.25
0.26
14
0.29
0.28
课程结构
责任准备金的概念
净责任准备金的厘定
责任准备金
净责任准备金递推公式
费用责任准备金
修正责任准备金
责任准备金的含义
 以完全离散终身寿险为例


j 0
j 0
j 1
j
V

b

v

p

q



v
 h j 1
 h  j  j px  h
h
j xh
xh j
 解释：责任准备金为未来的保险责任的现
时值减去未来保费收入的现时值。
递推公式（一）
( h1V   h1 )(1  i)  bh  qxh1  hV  pxh1
 解释
 bh 为第年死亡受益，  h 为第年初缴付保费。
则第h－1年为每个现存的被保险人准备的责
任准备金加上每个现存的被保险人缴付的保
费积累到年末正好可以为每个在这一年内死
bh
亡的被保险人提供 元的死亡赔付，并为在
该年末存活的每位被保险人准备
元责任准
hV
备金。
hV
递推公式二
 h1  i( h1  h1V )  ( hV  h1V )  qxh1 (bh  hV )
 解释
 bh  hV 称为风险净值，是指一旦这一年中有死亡发生，
死亡受益超过责任准备金部分的数额。
 该递推公式说明每一位年初存活的被保险人所缴保费
及年初所缴保费与年初责任准备金所产生的利息之和
有两个用途：一是弥补年末责任准备金与年初责任准
备金的差值；二是弥补该年死亡发生时而产生的风险
净值。
例6.8
 买了一份完全离散的终身寿险，65岁以前
死亡年末赔付为1000，65岁之后死亡赔付
为500，缴费期为20年，年缴净均衡保费
15.86。已知：
i  0.025
,
p64  0.98048 ,
q64  0.01952
500 A65  219.90
 计算第19年末的净责任准备金。
例6.8解答
例6.9
 已知：
i  0.04 ,
 计算：p38
V  0.585 ,
20
23 15
V  0.6
20
24 15
例6.9答案
V  A38  0.585
( prospective)
V  A39  0.6
( prospective)
20
23 15
20
24 15
V (1  i )  q38  p38  V
20
23 15
20
24 15

0.585 1.04  (1  p38 )  p38  0.6
 p38  0.979
半连续责任准备金的确定
 以h次缴费n年定期两全保险为例
V ( Ax:n )  Ax t:n t  h P( Ax:n )ax t:n t
h
t
i

UDD

i


1
x  t :n t
A
A
 htVx1:n  htVx:n1
1
x t :n t
(
i

1
1
P

P
h x:n
h x:n )ax t :n t
,t  h
 其他险种场合可以同理推导。半连续责任准备金
都可以转换为完全离散责任准备金的函数
一年缴m次保费的责任准备金推导
(m)
( m) ( m)
V

V

(
A

P
k x
k x
xk
x a x  k )  ( Ax  k  Px a x  k )
 Px ax  k  Px( m ) ax( m k)
 Px
( m) 
 P  ( m ) ax  k  ax  k 
 Px

  (m)ax Px( m )   (m) Px( m )
(m)
x
ax( m ) Px( m )
 (m) Px( m )
ax( m ) Px( m )   (m) Px( m ) Ax   (m) Px( m )


ax
ax
 Px  ( Px  d )  (m) Px( m )

Px
  (m)   (m)(d  Px )
(m)
Px
一年缴m次保费的责任准备金推导
V
( m)
k x
[ (m)   (m)(d  Px )]ax  k 
 kVx  P 

 ( (m)ax  k   (m))

(m)
  (m) Px [1  (d  Px )ax  k ]
( m)
x
  (m) Px( m ) kVx

( m)
k x
V
 kV   (m) P
( m)
x
 kV
 (m) Px( m )  kV  extra reserve for "lost premium "
一年缴m次保费的责任准备金的确定
 完全离散终身寿险
( m)
k x
V
 kV   (m)P
( m)
x
 kV
 (m)Px(m)  kV  extra reserve for "lost premium"
一年缴费m次的完全离散n年定期两
全保险的责任准备金
h ( m)
k x:n
V
 V   (m)  h P
h
k x:n
( m)
x:n
 V
h 1
k x:h
 (m)  h Px(:nm)  hkVx1:h  extra reserve for "lost premium"
 “损失保费”部分形成的额外责任准备
( m)
h Px:n
金等于缴费期内每次缴纳
元纯保费
( m) h 1
V
P
的纯寿险完全离散责任准备金
的
h x:n k x:h
 ( m)
一部分，比例为
分数期责任准备金
 近似方法
V  (1  s)  kV  s  k 1V  (1  s) Px
k s
(1  s) P  unearned premium
,0  s  1
课程结构
责任准备金的概念
净责任准备金的厘定
责任准备金
净责任准备金递推公式
费用责任准备金
修正责任准备金
费用责任准备金
 净保费责任准备金（受益责任准备金）
 保险人将来的净责任
 费用责任准备金
 由于保险业的特殊性，第一年的费用远远高于
以后各年的费用，所以分期缴付保费场合，保
险人的费用责任准备金实际上一直是负的。
 换言之，在保险费用这一方面是保险人先垫付
了被保险人的费用，被保险人用将来的分期付
款逐期偿还首年欠付费用。
例6.10
 保险计划：向（x）发行每年年初缴费的
三年期两全保险
 收支方式：完全离散
 死亡率：
qx  0.1, qx1  0.1111, qx2  0.5
 保险金额：1000
 费用金额：见下一页费用明细表
费用明细表
费用
类别
推销佣金
营业费用
税金、许可证费用
保单维持
发行与等级分类
总计
时间
第一年
保费% 固定量
10%
4%
2%
2%
2%
20%
—
3
—
1
4
8
第二年
保费% 固定量
2%
—
2%
2%
—
6%
—
1
—
1
—
2
例6.10分析
一、纯(净)保费与净保费责任准备金计算
1000 Px:3  1000
Ax:3
ax:3
 1000d
Ax:3
1  Ax:3
1000 tVx  1000[ Ax t:31  Px:3 ax t:31 ]
保险人每一年的收支情况
收支图示
责任准备金的计算
例6.10分析
二、毛保费和费用年金的计算
Gax:3  Ax:3  e0  e  ax:3
eax:3  e0  e  ax:3  G  P
均衡毛保费和均衡费用的计算
真实费用和均衡费用的比较
例6.10分析
三、费用责任准备金的计算
毛保费责任准备金的计算
4
3
2
V
1
-0.2
t agg
0
0.2
净责任准备金
0.4
0.6
费用责任准备金
 tV  tVe
0.8
1
1.2
毛保费责任准备金
课程结构
责任准备金的概念
净责任准备金的厘定
责任准备金
净责任准备金递推公式
费用责任准备金
修正责任准备金
修正责任准备金的产生
 如果不考虑费用责任准备金的因素，始终
以净保费责任准备金为准计算保险公司的
债务，会使保险公司保险初年的负担很重，
而且利润溢出各年变动非常大。
 为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同
时兼顾被保险人的利益，有了修正责任准
备金的概念。
阶梯保费
 阶梯保费（step premium）是为了修正初年的保
费结构而产生的。
 假设保险人原本是采用每年年初收取P元的等额
方式收取净保费，现在对净保费的结构进行一个
调整。考虑到第一年的赔付现值通常较低，所以，
第一年收取的净保费减小到  ，第一年少收的净
保费要通过以后各年多收取一点进行弥补，记续
年收取的均衡净保费为  ，显然有   P  
修正责任准备金原理——阶梯保费值
 原始等额净保费
 修正后阶梯保费

P
P
P


P

修正前等额保费：P,P,…，P
修正后阶梯保费：，
<P,>P
修正责任准备金确定
   ax: j 1  Pax: j
h MOD
k x:n
V
 Ax  k:nk   ax  k:h k
完全初年修正责任准备金
 Full preliminary term(FTP)
 条件：第一年的修正净保费为第一年的死亡受
益现值
A
1
x:1
 则有
    1 h 1 ax  Pax:h   
Pax:h  A1x:1
1 h 1
ax
美国保险监督官标准
 产生背景：第一年冲销的费用高过第一年
净保费场合
 美国保险监督官标准：
FPT

 19 Px1 采用FPT调
 如果是低保费保单：
节
 如果是高保费保单： FPT  19 Px1 则
 Com   Com  19 Px1  A1x:1
加拿大修正制
 条件：
Can
 P  E ，其中 E
Can
Can
为第一年费用按均衡
保费衡量的额外补贴，有
ECan  min(a, b, c)
 其中：
 a＝150％净均衡保费
 b＝新契约费
 c＝仍然提供的管理费用及保单持有人分红时在第二年
及以后年中可收回费用的精算现值。