Transcript 生存年金

生存年金
本章专业名词中英文对照
 生存年金
 life annuity
 确定性年金
 annuities-certain
 延付年金（期末支付）
 annuity-immediate
 初付年金（期初支付）
 annuity-due
 综合支付技巧
 aggregate payment
technique
 当期支付技巧
 current payment technique
 年h付次的生存年金
 h-thly payment life insurances
本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
生存年金的定义
 定义
 所谓生存年金（life annuity）是以被保险人存活为条件
，间隔相等的时期（年、半年、季或月）支付一次保
险金的保险类型。
 生存年金通常出现在生存保险场合
 比如乙向保险公司购买10万元养老保险，要求保险公
司在其60~70岁这10年内每月支付生存给付金。这时保
险公司的付款以被保险人的存活为给付条件。如果乙
在这10年内一直生存，那么保险公司将支付120次生存
给付，如果乙只获得了10次给付就死亡了，那么剩下
的110次给付保险公司也不再支付了。这时保险公司的
系列付款就构成了生存年金。
生存年金和确定性年金的区别
年金
生存年金
确定性年金
支付期数是不确定
的，它以被保险人
生存为给付条件，
被保险人一旦死亡
，给付就终止
支付期数是确定的
，无论中间发生什
么事情，支付时期
都不可发生更改
生存年金的分类与应用
 分类
 连续年金/离散年金
 定期年金/终身年金
 非延期年金/延期年金
 年金在保险中的重要性
 它是一种常见的保险金支付方式
• 广泛应用在养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合
。
 生存年金也是一种常见的保费缴纳方式。
• 被保险人除了可以采用保险合同签订时一次性缴纳所有保费的
趸缴方式之外，还可以采用分期缴纳的方式缴纳保费，保费缴
纳以被保险人在保费缴纳期间是否生存为缴纳条件，这时保费
缴纳方式就是一种生存年金方式。
本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
一次性生存给付定义与含义
 N年定期生存保险
 相关公式及意义
n Ex  A
lx  n Ex  (1  i)  lxn
1
x:n
 v  n px
n
n
一次性生存给付现值相关的函数关系
lx  n Ex (1  i ) n  lx  n
x
1
1
n lx
S
 n
 (1  i )
v  n px
lx  n
n Ex
n
1
n t E x  t
Ex
1
1
E x  t E x  n t E x  t
Ex

n Ex
t
n
xn
x
t
t
S
Ex
Ex  nt Ext
1
n t
Ex t
1
本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
连续生存年金的定义
 连续生存年金定义
 在被保险人存活的条件下，保险人向其每年连续支付年金的
保险种类
 连续生存年金的种类
 终身连续生存年金
 定期连续生存年金
 连续生存年金精算现值的估计方法
 综合支付技巧
 当期支付技巧
方法一：综合支付技巧（终身生存）
步骤a 1
1  vT
T

ax  E (aT )
步骤 2
步骤 3

  aT fT (t )dt
0
以死亡事件
发生为考虑
线索

ax  E(aT )   aT fT (t )dt
0
计算到死亡发生
时间T为止的所
有已支付的确定
性年金的现值
aT 
1  vT

考虑这个生存赔
付发生的概率，
计算这个确定性
年金现值的期望
值
ax  E (aT )

  aT fT (t )dt
0
相关公式及理解

（）
1 ax  E (aT )   aT fT (t )dt  
0

1  vt

0
t
px  x t dt
1  zt
1  vt
1
（2）ax  E (aT )  E (
)  E(
)  (1  Ax )



 1   ax  Ax
1  zt
1  vt
1
（3）Var (aT )  Var (
)  Var (
)  2 Var ( zt )

 Var (aT ) 

1


2
2
[
A

(
A
)
]
x
x
2
方法二：当期支付技巧（终身生存）
步骤a 1
1  vT
T

步骤 2
ax  E (aT )
步骤 3

  aT fT (t )dt
0
以生存给付
事件发生为
考虑线索
计算当期生存
给付的现值
T
考虑该次生存赔
付发生的概率，
计算该年金现值
的期望值
v

ax  E(aT )   aT fT (t )dt
0
ax  E (vT )

  vt  t px dt
0
例4.1
 假定寿命服从[0，110]上的均匀分布，且
  0.05
 计算（30）所购买的终身连续生存年金。
例4.1解
例4.2
 有一种终身年金产品，每年连续给付生存
年金1000元。
 现在开发一种新产品，在原来年金给付的
基础上增加死亡即刻给付2万元。
 假定利息力为5％，求：
（1）新产品的趸缴净保费
（2）现值变量的方差
（3）当死亡赔付定为多大时，该产品赔付现值
的方差最小？
解4.2
例4.3
 在死亡力为常数0.04，利息力为常数
0.06的假定下，求
（1）ax
（2）aT 的标准差
（3）aT 超过 ax 的概率。
例4.3答案


（）
1 ax   v t px dt    e
t
0
（2）Var[aT ] 
0

e dt   e0.06t e0.04t dt  10
0.06t  t
0
1

2
2
[
A

(
A
)
]
x
x
2


1
0.12 t
0.04 t
0.06 t
0.04 t 2

[
e
0.04
e

(
e
0.04
e
) ]
2 0

0
0.06
1 0.04 0.04 2

[
（
）]  25
 Var[aT ]  5
2
0.06 0.16 0.10
1  e 0.06T
ln 0.4
（3）Pr(aT  ax )  Pr(
 10)  Pr(T  
)
0.06
0.06


ln 0.4

0.06
0.04e 0.04t dt  0.54
年金精算现值变量方差的计算
 方法一：用寿险精算现值表达
Var (aT ) 
2
Ax  ( Ax )2
2
 方法二：用年金精算现值表达
Var  aT  
2

(ax  2 ax )  (ax ) 2
方差公式证明
 1 v 
 1  v    1  vT
Var  aT   Var 
  E
  E 
  
     
 1  2v T  v 2 T 
2
 E

(
a
)

x
2



 2(1  vT )  (1  v 2T ) 
2
 E

(
a
)

x
2



T
 2  1  vT
 E 
  
T
2
 2  1  v 2T  
2
 
   ( ax )
   2  
2  1  v T  2  1  v 2T 
2
 E
 E
  (ax )
      2 

2

(ax  2 ax )  ( ax ) 2



2
例4.4
 已知
ax  8
 求 Var  aT

， 2 ax  5
，  0.05
例4.4答案
 方法一：
2
Var  aT   (ax  ax )  (ax ) 
 (8  5)  82  56

0.05
2
2
2
 方法二：
Ax  1   ax
1  E v 2T 
2


1

Ax
1

v
2
2
2
ax  E 



A

1

2


ax
x

2
2
 2 
2
Ax  ( Ax ) 2 (1  2  2 ax )  (1   ax ) 2
Var  aT  

 56
2
2


2T
定期连续生存年金
 定义
ax:n
 定期连续生存年金精算现值的估计
n
 当期支付技巧
ax：n   vt t px dt
0
 综合支付技巧
aT
Y 
an
,0  T  n
,T  n
n
1
0

 ax：n  E (Y )   aT  t px   x t dt  an  n px 
(1  Ax：n )
相关公式及理解
(1) ax：n
1  zt
1
 E (Y )  E (
)  (1  Ax：n )

(2)Var (Y )  Var (

1

2
1  zt

)

1

2
Var ( zt )
[ Ax:n  ( Ax:n ) ]
2
2
延付连续生存年金
 定义: m ax
 种类
 延付M年终身连续生存年金
 延付M年终身定期生存年金
 适用领域
 养老金
延期生存年金的计算
 方法一：综合支付技巧
,0  T  m
0
Y 
aT  am ,T  m
a  E (Y )
m x

x
m
(at  am )  fT (t )dt
 方法二：当期支付技巧

t
a

v
m x
  t px dt
m

m
0
0
  vt  t px dt   vt  t px dt
 ax  ax:m

Ax:m  Ax

延期生存年金的第三种计算方法
 先以 x  m 时刻为时间参考点，未来的终
a
身生存年金在 x  m 时刻的精算现值为
，再把这笔生存年金现值贴现到 x 时刻
xm
a

E

a
m x
x m
m x

an , 0  T ( x)  n
Y 

aT , T ( x)  n
例4.5
 设一现值 变量为

an , 0  T ( x)  n
Y 
a
,
T
(
x
)

n

 T
 计算
E(Y )  n ax
例4.5答案
 因为
n

0
n
n

0
n
E (Y )   an fT (t )dt   aT fT (t )dt
  an fT (t )dt   (aT  an )  an  fT (t )dt


0
n
 an  fT (t )dt   (aT  an ) fT (t )dt
 所以
 an  n ax
E(Y )  n ax  an
延期M年N年定期生存年金
 定义：m n ax
 计算：
mn
mn
ax 

v  t px dt  ax:m  n  ax:m 
t
m
 m Ex  ax  m:n
Ax:m  Ax:m n

本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
离散生存年金简介
 离散生存年金定义
 所谓离散生存年金是指在保障时期内，以被
保险人生存为条件，每隔一段时间支付一次
年金的保险。
 离散生存年金与连续生存年金的关系
 理论基础完全相同
 连续-积分，离散-求和
 离散场合要考虑年金期初支付还是期末支付
的问题
 期初支付生存年金更常见
期初支付终身生存年金的概念
ax 
  x 1

k 0
k
Ex 
  x 1

k 0
  x 1
1
v k 1  k px   v k 1  lx k
lx k 0
期初支付终身生存年金的计算
1
2

l x ax   v l x  k
k
k 0

l x ax   v k l x  k
k 0
l x ax   v l x  k
k
ax  E (Y )

  ak 1  Pr( K  k )
k 0

  ak 1  k qx
k 0
当期支付技巧
3

综合支付技巧
k 0
1
ax  (1  Ax )
d

1  dax  Ax
函数变换关系
期初支付定期生存年金
 当期支付技巧

aK 1 , K  0,
Y 
an , K  n


n 1
ax:n   k Ex
k 0
n 1
 v
k 0
k 1
 综合支付技巧
 k px
1 n 1 k 1
  v  lx  k
lx k 0
, n 1
ax:n  E[Y ]
n 1
  aK 1  k qx  an  n px
k 0
方差的计算
方差
期初支付终身
生存年金
期初支付定期
生存年金
1 2
2
[ Ax  ( Ax ) ]
2
d
1 2
2
[ Ax：n  ( Ax：n ) ]
2
d
例4.6
例4.6答案
例4.6答案
例4.6答案
延期初付生存年金精算现值估计
延期M年期初支付
终身生存年金
险种
精算现
值估计
m
ax  a x  a x:m
延期M年期初支付
N定期生存年金
mn
ax  ax:m n  ax:m
 m Ex  ax  m
 m Ex  ax  m:n
1
 ( Ax:m  Ax )
d
1
 ( Ax:m  Ax:m n )
d
延付生存年金精算现值的估计
 期初支付生存年金称为初付生存年金，期
末支付生存年金称为延付生存年金 。
 期末支付终身生存年金
ax  ax  1
 期末支付 n 年定期生存年金
ax:n  ax:n 1  n Ex
期末支付终身生存年金
ax  ax  1
期末支付定期生存年金
ax:n  ax:n 1  n Ex
例4.7
例4.7答案
期末支付延期生存年金
 延期终身
m
ax  m ax  m Ex
 延期定期
a

a

E

E
m x
m n x
mn x
mn x
本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
年付h次生存年金简介
 在保险实务中，生存年金常常按月、按季
度或半年给付一次，这时称为年付h次的生
存年金。
 一年给付若干次的生存年金给付频率与利
息转换频率不同，给付事件的发生概率也
涉及分数年龄的存活或死亡概率，这显然
增加了生存年金精算现值的厘定难度，但
它具有非常重要的实务价值。
 推导思路
 寻找与年付年金之间的关系
终身生存年金
 基本定义
 UDD假定下的推导公式

a
(h)
x
k
h
1
  v  k px
k 0 h
h
 近似公式（实际操作公式）
ax( h )   (h)ax   (h)
id
其中： (h)  ( h ) ( h )
i d
i  i(h)
 ( h)  ( h ) ( h )
i d
证明
根据dax  Ax  1和d ( h ) ax( h )  Ax( h )  1，得
d ( h ) ax( h )  Ax( h )  dax  Ax
d
1
(h)
 a  ( h ) ax  ( h ) ( Ax  Ax )
d
d
1 v
d
i
(h)
(h)
又 a1  ( h )  ( h ) ，Ax UDD ( m ) Ax  s1( h ) Ax
d
d
i
(h)
s
1
(h)
(h)
1
 ax  a1 ax  ( h ) Ax
d
(h)
x
1  d ( h) ax( h)  Ax( h)
证明
ax( h )  a1( h ) ax 
s1( h )  1
d
 a1( h ) ax 
(h)
Ax  a1( h ) a x 
s1( h )  1
d
(h)

s1( h )  1
d
(h)
 [ a1( h )  ( s1( h )  1) a1( h ) ]a x 
i
 s1( h ) a1( h ) ax  i
(h)
s1( h )  1
d
(h)
(1  da x )
dax
s1( h )  1
d (h)
1
d (h)
i d
i  i(h)
 ( h ) ( h ) a x  ( h ) ( h )   ( h) a x   ( h)
i d
d i
h 1
h 1
(h)
 ( h )  1  ( h) 
 ax  ax 
2h
2h
定期生存年金
 基本定义
 UDD假定下的推导公式
a
( m)
x：
n
a
( m)
x
 n Ex a
( m)
xn
 近似公式（实际操作公式）
ax( :mn)  [ (m)ax   (m)]  n Ex [ (m)ax  n   (m)]
  (m)ax:n   (m)(1  n Ex )
(m)
x:n
a
 ax:n
m 1

(1 n E x )
2m
延期生存年金
 延期终身生存年金（UDD假定）
( m)
( m)
a

E

a
k x
x  k  k Ex [ (m) k ax   (m)]
k x
m 1
 k ax 
k Ex
2m
 延期定期生存年金 （UDD假定）
(m)
(m)
a

E

a
 k Ex [ (m)ax  k：n   (m)]
k x
kn x
x  k :n
m 1
 k n ax 
k Ex
2m
例4.8
 现年35岁的人预购买如下生存年金，切均于每月月初给
付，每次给付1000元，年实质利率为6%，且已知：
a35  15.695458
a35:15  10.198933
15
E35  0.4038336
 求下列年金现值：
 （1）月付终身生存年金
 （2）延期15年月付终身生存年金
 （3）15年定期月付终身生存年级
例4.8答案
(12)
(1)12000a35
 12000[ (12) a35   (12)]
 12000[1.00028 15.695458  0.46811888]
 182780.98
 12000( a35:15 
11
)  182845.5
24
(12)
(2)12000 15 a35
 12000[ (12) 15 a35   (12) 15 E35 ]  63708.32
 12000[ 15 a35 
11
15 E35 ]  63737.215
24
(12)
(3)12000a35:15
 12000{ (12) a35:15   (12)[1  15 E35 ]}  119072.54
 12000[ a35:15
11

15 E35 ]  119108.28
24
利用换算函数计算生存年金精算现值
险种
终身生存年金
期初支付
Nx
ax 
Dx
定期生存年金
N  N xn
ax:n  x
Dx
N xm
延期终身生存年
a

m x
金
Dx
N x  m  N x  m n
延期定期生存年
a 
m x:n
金
Dx
期末支付
N x 1
ax 
Dx
N  N x  n 1
ax:n  x 1
Dx
N x  m1
a 
m x
Dx
N x  m1  N x  m n 1
a

m x:n
Dx