Transcript 生存年金
生存年金
本章专业名词中英文对照
生存年金
life annuity
确定性年金
annuities-certain
延付年金(期末支付)
annuity-immediate
初付年金(期初支付)
annuity-due
综合支付技巧
aggregate payment
technique
当期支付技巧
current payment technique
年h付次的生存年金
h-thly payment life insurances
本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
生存年金的定义
定义
所谓生存年金(life annuity)是以被保险人存活为条件
,间隔相等的时期(年、半年、季或月)支付一次保
险金的保险类型。
生存年金通常出现在生存保险场合
比如乙向保险公司购买10万元养老保险,要求保险公
司在其60~70岁这10年内每月支付生存给付金。这时保
险公司的付款以被保险人的存活为给付条件。如果乙
在这10年内一直生存,那么保险公司将支付120次生存
给付,如果乙只获得了10次给付就死亡了,那么剩下
的110次给付保险公司也不再支付了。这时保险公司的
系列付款就构成了生存年金。
生存年金和确定性年金的区别
年金
生存年金
确定性年金
支付期数是不确定
的,它以被保险人
生存为给付条件,
被保险人一旦死亡
,给付就终止
支付期数是确定的
,无论中间发生什
么事情,支付时期
都不可发生更改
生存年金的分类与应用
分类
连续年金/离散年金
定期年金/终身年金
非延期年金/延期年金
年金在保险中的重要性
它是一种常见的保险金支付方式
• 广泛应用在养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合
。
生存年金也是一种常见的保费缴纳方式。
• 被保险人除了可以采用保险合同签订时一次性缴纳所有保费的
趸缴方式之外,还可以采用分期缴纳的方式缴纳保费,保费缴
纳以被保险人在保费缴纳期间是否生存为缴纳条件,这时保费
缴纳方式就是一种生存年金方式。
本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
一次性生存给付定义与含义
N年定期生存保险
相关公式及意义
n Ex A
lx n Ex (1 i) lxn
1
x:n
v n px
n
n
一次性生存给付现值相关的函数关系
lx n Ex (1 i ) n lx n
x
1
1
n lx
S
n
(1 i )
v n px
lx n
n Ex
n
1
n t E x t
Ex
1
1
E x t E x n t E x t
Ex
n Ex
t
n
xn
x
t
t
S
Ex
Ex nt Ext
1
n t
Ex t
1
本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
连续生存年金的定义
连续生存年金定义
在被保险人存活的条件下,保险人向其每年连续支付年金的
保险种类
连续生存年金的种类
终身连续生存年金
定期连续生存年金
连续生存年金精算现值的估计方法
综合支付技巧
当期支付技巧
方法一:综合支付技巧(终身生存)
步骤a 1
1 vT
T
ax E (aT )
步骤 2
步骤 3
aT fT (t )dt
0
以死亡事件
发生为考虑
线索
ax E(aT ) aT fT (t )dt
0
计算到死亡发生
时间T为止的所
有已支付的确定
性年金的现值
aT
1 vT
考虑这个生存赔
付发生的概率,
计算这个确定性
年金现值的期望
值
ax E (aT )
aT fT (t )dt
0
相关公式及理解
()
1 ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt
1 vt
1
(2)ax E (aT ) E (
) E(
) (1 Ax )
1 ax Ax
1 zt
1 vt
1
(3)Var (aT ) Var (
) Var (
) 2 Var ( zt )
Var (aT )
1
2
2
[
A
(
A
)
]
x
x
2
方法二:当期支付技巧(终身生存)
步骤a 1
1 vT
T
步骤 2
ax E (aT )
步骤 3
aT fT (t )dt
0
以生存给付
事件发生为
考虑线索
计算当期生存
给付的现值
T
考虑该次生存赔
付发生的概率,
计算该年金现值
的期望值
v
ax E(aT ) aT fT (t )dt
0
ax E (vT )
vt t px dt
0
例4.1
假定寿命服从[0,110]上的均匀分布,且
0.05
计算(30)所购买的终身连续生存年金。
例4.1解
例4.2
有一种终身年金产品,每年连续给付生存
年金1000元。
现在开发一种新产品,在原来年金给付的
基础上增加死亡即刻给付2万元。
假定利息力为5%,求:
(1)新产品的趸缴净保费
(2)现值变量的方差
(3)当死亡赔付定为多大时,该产品赔付现值
的方差最小?
解4.2
例4.3
在死亡力为常数0.04,利息力为常数
0.06的假定下,求
(1)ax
(2)aT 的标准差
(3)aT 超过 ax 的概率。
例4.3答案
()
1 ax v t px dt e
t
0
(2)Var[aT ]
0
e dt e0.06t e0.04t dt 10
0.06t t
0
1
2
2
[
A
(
A
)
]
x
x
2
1
0.12 t
0.04 t
0.06 t
0.04 t 2
[
e
0.04
e
(
e
0.04
e
) ]
2 0
0
0.06
1 0.04 0.04 2
[
(
)] 25
Var[aT ] 5
2
0.06 0.16 0.10
1 e 0.06T
ln 0.4
(3)Pr(aT ax ) Pr(
10) Pr(T
)
0.06
0.06
ln 0.4
0.06
0.04e 0.04t dt 0.54
年金精算现值变量方差的计算
方法一:用寿险精算现值表达
Var (aT )
2
Ax ( Ax )2
2
方法二:用年金精算现值表达
Var aT
2
(ax 2 ax ) (ax ) 2
方差公式证明
1 v
1 v 1 vT
Var aT Var
E
E
1 2v T v 2 T
2
E
(
a
)
x
2
2(1 vT ) (1 v 2T )
2
E
(
a
)
x
2
T
2 1 vT
E
T
2
2 1 v 2T
2
( ax )
2
2 1 v T 2 1 v 2T
2
E
E
(ax )
2
2
(ax 2 ax ) ( ax ) 2
2
例4.4
已知
ax 8
求 Var aT
, 2 ax 5
, 0.05
例4.4答案
方法一:
2
Var aT (ax ax ) (ax )
(8 5) 82 56
0.05
2
2
2
方法二:
Ax 1 ax
1 E v 2T
2
1
Ax
1
v
2
2
2
ax E
A
1
2
ax
x
2
2
2
2
Ax ( Ax ) 2 (1 2 2 ax ) (1 ax ) 2
Var aT
56
2
2
2T
定期连续生存年金
定义
ax:n
定期连续生存年金精算现值的估计
n
当期支付技巧
ax:n vt t px dt
0
综合支付技巧
aT
Y
an
,0 T n
,T n
n
1
0
ax:n E (Y ) aT t px x t dt an n px
(1 Ax:n )
相关公式及理解
(1) ax:n
1 zt
1
E (Y ) E (
) (1 Ax:n )
(2)Var (Y ) Var (
1
2
1 zt
)
1
2
Var ( zt )
[ Ax:n ( Ax:n ) ]
2
2
延付连续生存年金
定义: m ax
种类
延付M年终身连续生存年金
延付M年终身定期生存年金
适用领域
养老金
延期生存年金的计算
方法一:综合支付技巧
,0 T m
0
Y
aT am ,T m
a E (Y )
m x
x
m
(at am ) fT (t )dt
方法二:当期支付技巧
t
a
v
m x
t px dt
m
m
0
0
vt t px dt vt t px dt
ax ax:m
Ax:m Ax
延期生存年金的第三种计算方法
先以 x m 时刻为时间参考点,未来的终
a
身生存年金在 x m 时刻的精算现值为
,再把这笔生存年金现值贴现到 x 时刻
xm
a
E
a
m x
x m
m x
an , 0 T ( x) n
Y
aT , T ( x) n
例4.5
设一现值 变量为
an , 0 T ( x) n
Y
a
,
T
(
x
)
n
T
计算
E(Y ) n ax
例4.5答案
因为
n
0
n
n
0
n
E (Y ) an fT (t )dt aT fT (t )dt
an fT (t )dt (aT an ) an fT (t )dt
0
n
an fT (t )dt (aT an ) fT (t )dt
所以
an n ax
E(Y ) n ax an
延期M年N年定期生存年金
定义:m n ax
计算:
mn
mn
ax
v t px dt ax:m n ax:m
t
m
m Ex ax m:n
Ax:m Ax:m n
本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
离散生存年金简介
离散生存年金定义
所谓离散生存年金是指在保障时期内,以被
保险人生存为条件,每隔一段时间支付一次
年金的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
理论基础完全相同
连续-积分,离散-求和
离散场合要考虑年金期初支付还是期末支付
的问题
期初支付生存年金更常见
期初支付终身生存年金的概念
ax
x 1
k 0
k
Ex
x 1
k 0
x 1
1
v k 1 k px v k 1 lx k
lx k 0
期初支付终身生存年金的计算
1
2
l x ax v l x k
k
k 0
l x ax v k l x k
k 0
l x ax v l x k
k
ax E (Y )
ak 1 Pr( K k )
k 0
ak 1 k qx
k 0
当期支付技巧
3
综合支付技巧
k 0
1
ax (1 Ax )
d
1 dax Ax
函数变换关系
期初支付定期生存年金
当期支付技巧
aK 1 , K 0,
Y
an , K n
n 1
ax:n k Ex
k 0
n 1
v
k 0
k 1
综合支付技巧
k px
1 n 1 k 1
v lx k
lx k 0
, n 1
ax:n E[Y ]
n 1
aK 1 k qx an n px
k 0
方差的计算
方差
期初支付终身
生存年金
期初支付定期
生存年金
1 2
2
[ Ax ( Ax ) ]
2
d
1 2
2
[ Ax:n ( Ax:n ) ]
2
d
例4.6
例4.6答案
例4.6答案
例4.6答案
延期初付生存年金精算现值估计
延期M年期初支付
终身生存年金
险种
精算现
值估计
m
ax a x a x:m
延期M年期初支付
N定期生存年金
mn
ax ax:m n ax:m
m Ex ax m
m Ex ax m:n
1
( Ax:m Ax )
d
1
( Ax:m Ax:m n )
d
延付生存年金精算现值的估计
期初支付生存年金称为初付生存年金,期
末支付生存年金称为延付生存年金 。
期末支付终身生存年金
ax ax 1
期末支付 n 年定期生存年金
ax:n ax:n 1 n Ex
期末支付终身生存年金
ax ax 1
期末支付定期生存年金
ax:n ax:n 1 n Ex
例4.7
例4.7答案
期末支付延期生存年金
延期终身
m
ax m ax m Ex
延期定期
a
a
E
E
m x
m n x
mn x
mn x
本章结构
1.
生存年金简介
2.
一次性生存给付
3.
连续生存年金
4.
离散生存年金
5.
一年给付H次生存年金
年付h次生存年金简介
在保险实务中,生存年金常常按月、按季
度或半年给付一次,这时称为年付h次的生
存年金。
一年给付若干次的生存年金给付频率与利
息转换频率不同,给付事件的发生概率也
涉及分数年龄的存活或死亡概率,这显然
增加了生存年金精算现值的厘定难度,但
它具有非常重要的实务价值。
推导思路
寻找与年付年金之间的关系
终身生存年金
基本定义
UDD假定下的推导公式
a
(h)
x
k
h
1
v k px
k 0 h
h
近似公式(实际操作公式)
ax( h ) (h)ax (h)
id
其中: (h) ( h ) ( h )
i d
i i(h)
( h) ( h ) ( h )
i d
证明
根据dax Ax 1和d ( h ) ax( h ) Ax( h ) 1,得
d ( h ) ax( h ) Ax( h ) dax Ax
d
1
(h)
a ( h ) ax ( h ) ( Ax Ax )
d
d
1 v
d
i
(h)
(h)
又 a1 ( h ) ( h ) ,Ax UDD ( m ) Ax s1( h ) Ax
d
d
i
(h)
s
1
(h)
(h)
1
ax a1 ax ( h ) Ax
d
(h)
x
1 d ( h) ax( h) Ax( h)
证明
ax( h ) a1( h ) ax
s1( h ) 1
d
a1( h ) ax
(h)
Ax a1( h ) a x
s1( h ) 1
d
(h)
s1( h ) 1
d
(h)
[ a1( h ) ( s1( h ) 1) a1( h ) ]a x
i
s1( h ) a1( h ) ax i
(h)
s1( h ) 1
d
(h)
(1 da x )
dax
s1( h ) 1
d (h)
1
d (h)
i d
i i(h)
( h ) ( h ) a x ( h ) ( h ) ( h) a x ( h)
i d
d i
h 1
h 1
(h)
( h ) 1 ( h)
ax ax
2h
2h
定期生存年金
基本定义
UDD假定下的推导公式
a
( m)
x:
n
a
( m)
x
n Ex a
( m)
xn
近似公式(实际操作公式)
ax( :mn) [ (m)ax (m)] n Ex [ (m)ax n (m)]
(m)ax:n (m)(1 n Ex )
(m)
x:n
a
ax:n
m 1
(1 n E x )
2m
延期生存年金
延期终身生存年金(UDD假定)
( m)
( m)
a
E
a
k x
x k k Ex [ (m) k ax (m)]
k x
m 1
k ax
k Ex
2m
延期定期生存年金 (UDD假定)
(m)
(m)
a
E
a
k Ex [ (m)ax k:n (m)]
k x
kn x
x k :n
m 1
k n ax
k Ex
2m
例4.8
现年35岁的人预购买如下生存年金,切均于每月月初给
付,每次给付1000元,年实质利率为6%,且已知:
a35 15.695458
a35:15 10.198933
15
E35 0.4038336
求下列年金现值:
(1)月付终身生存年金
(2)延期15年月付终身生存年金
(3)15年定期月付终身生存年级
例4.8答案
(12)
(1)12000a35
12000[ (12) a35 (12)]
12000[1.00028 15.695458 0.46811888]
182780.98
12000( a35:15
11
) 182845.5
24
(12)
(2)12000 15 a35
12000[ (12) 15 a35 (12) 15 E35 ] 63708.32
12000[ 15 a35
11
15 E35 ] 63737.215
24
(12)
(3)12000a35:15
12000{ (12) a35:15 (12)[1 15 E35 ]} 119072.54
12000[ a35:15
11
15 E35 ] 119108.28
24
利用换算函数计算生存年金精算现值
险种
终身生存年金
期初支付
Nx
ax
Dx
定期生存年金
N N xn
ax:n x
Dx
N xm
延期终身生存年
a
m x
金
Dx
N x m N x m n
延期定期生存年
a
m x:n
金
Dx
期末支付
N x 1
ax
Dx
N N x n 1
ax:n x 1
Dx
N x m1
a
m x
Dx
N x m1 N x m n 1
a
m x:n
Dx