Transcript １次微分(一階導數)

Chapter 3
空間領域中的影像処理
Image Segmentation
影像二値化例子
影像特徴抽出濾波器( filter)
・１次微分(一階導數) filter
(edge detection, line detection)
・２次微分(二階導數) filter (Laplacian filter)
・影像強化 （低頻強化、高頻強化）
影像鋭利化 (original image – Laplacian image
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空間頻域 filtering
影像微分 (一階導數)
微分→差分
x方向微分 及 y方向微分：
f [i  1, j ]  f [i, j ]
 f [i  1, j ]  f [i, j ]
i 1 i
f [i, j  1]  f [i, j ]
y f 
 f [i, j  1]  f [i, j ]
j 1 j
xf 
給予対称性
梯度(gradient)
方向(orientation)
 x f  f [i  1, j ]  f [i  1, j ]
 y f  f [i, j  1]  f [i, j  1]
g[i, j ]  ( x f ) 2  ( y f ) 2
 [i, j ]  tan (
1
y f
x f
)
利用１次微分(一階導數)来偵測影像邊縁
Digital Image的１次微分：用差分法来代替
実際的1維影像f(x)的微分結果→g(x)：
g(x) = f(x+1) – f(x-1)
理解方便上：g(x) = f(x+1) – f(x)
Sobel filters (Sobel 濾波器 )
Sobel濾波器使用空間一階導數來增強高頻的空間訊號。
在影像中，這些高頻訊號通常代表較鋭利的物體邊縁或
線條特徴。
一維的一階導數
f
 f ( x  1)  f ( x)
x
f f
二維的一階導 f


 Gx  G y
數以梯度
xy x y
(gradient)表示
梯度的大小
(amplitude)是
G  G x Gy
2
2
方向(orientation)則為
  arctan(Gy / Gx )
Gx
Gy
Sobel Filter的edge 検出(偵測)例
a
b
c
d
(a) Original
(b) 水平方向的edge成分
(c) 垂直方向的edge成分
(d) 水平與垂直成分合成之
edge image
Image Segmentation
(a) Original
(b) Gx
(c) G y
(d) Gx  G y
a
b
c
d
利用1次微分（差分）偵測影像邊縁之例
Original
image
Sobel
Prewitt
利用1次微分（差分）偵測影像邊縁之例
Original
Processed by
Sobel filter
Processed by
Prewitt filter
Resultant images using Sobel filter
二階導數濾波器:Laplacian filter濾波器
拉普拉斯濾波器是一種空間二階導數的運算子，
它對於影像中快速變化的區域(包含edge)具有
很大的強化作用，因此常結合Zero Crossing
Detection(如下圖)作為邊縁偵測的工具。
Image Segmentation
一階導數
二階導數
０
１
０
１
-４
１
０
１
０
（Lapalacian演算子）
原始影像的 低頻成分與高頻成分
低頻成分
高頻成分
空間頻域的高頻増強
空間頻域的低頻増強
影像鋭利化:
(Original Image)-（Laplacian濾波後影像）
０
０
１
１
-４
０
１
０
１
0
-1
0
-1
5
-1
0
-1
0
Example
Original
Smoothing
平均値filter
Highfrequency
component
Un-sharp
masking
Image Segmentation
Laplacian of Gaussian filter
Gaussian平滑濾波+Laplacian濾波
利用Laplacian filter 做影像増強
（鋭利化)
-1
-1
-1
-1
9
-1
-1
-1
-1
Edge Detection邊縁偵測
２次微分(二階導數)的場合(Laplacian filter)
原始影像
Laplacian
Original - Laplacian
Image Enhancement in the
Spatial Domain
a
b
a. Original image (moon)
b. Laplacian-filtered image
c
d
c. Laplacian image scaled
for display purpose
d. a+b (enhanced image)
Image Enhancement in the
Spatial Domain
a
b
a. Image of whole body bone scan.
b. Laplacian of (a).
c
d
c. Sharpened image obtained by
adding (a) and (b).
d. Sobel of (a).
Q&A