Transcript 雙曲線

Ch4 二次曲線
4-3 雙曲線
製 作 群：龍騰文化編輯小組
發行公司：龍騰文化事業股份有限公司
甲、雙曲線的定義
前一節告訴我們：平面上到兩個相異定點F1與F2
的距離之和為定數 2a (2a> F1F2 ) 的所有點 P 形成
一個橢圓﹒現在如果將距離之和改成距離之差﹐
那麼所有滿足
PF1  PF2  2a (0  2a  F1F2 )
的點P將會形成什麼圖形呢？
事實上﹐這個圖形就是雙曲線﹒
課本頁次：232
甲、雙曲線的定義
雙曲線的定義
設 F1 與 F2 為平面上的兩相異定點﹐且定數2a
滿足 0  2a  F1F2﹒平面上所有滿足
PF1  PF2  2a
的點P所形成的圖形稱為雙曲線﹐
而定點 F1 與 F2 稱為此雙曲線的焦點﹒
課本頁次：233
甲、雙曲線的定義
以下我們介紹雙曲線的各元素﹐ 並探討其性質：
(1) 中心：線段 F1F2 的中點O稱為中心﹐
F1F2 的長度習慣用2c表示﹐ 即
F1F2  2c .
(2) 頂點：直線 F1F2 與雙曲線的交點A,B稱為頂點﹒
(3) 貫軸：線段 AB 稱為貫軸﹒
課本頁次：233
甲、雙曲線的定義
利用點A在雙曲線上及 OF1  OF2 (O是F1F2的中點)﹐
得 2a  AF2  AF1
 AO  OF2  AF1
 AO  OF1  AF1
 AO  OA  2OA ,
即 OA  a﹒
同理可得 OB  a﹒
故O是貫軸 AB 的中點﹐且 AB  2a .
課本頁次：233
甲、雙曲線的定義
(4) 共軛軸：在過中心且垂直貫軸的
直線上﹐當線段 CD 的
中點為中心O﹐且其長度
2
2
2
滿足
c

a

b
CD  2b
時﹐我們稱 CD為雙曲線
的共軛軸﹒
課本頁次：233
甲、雙曲線的定義
綜合以上的討論﹐得到雙曲線的幾個性質：
(1)中心O同時是線段 F1F2 ﹐
貫軸 AB 與共軛軸 CD 的中點﹒
(2)貫軸 AB  2a﹒
(3) 當共軛軸 CD  2b , F1F2  2c 時﹐常數a, b與c滿足
c 2  a 2  b2 .
課本頁次：233
例1 右圖是以F1, F2為焦點的雙曲線﹐ A, B 為雙曲線
上的點﹒若 AF1  5, AF2  BF2  12﹐則 BF1的長為何？
解：
由雙曲線的定義可知：
AF2  AF1  BF1  BF2 ,
即
因此
解得
課本頁次：234
AF2  BF2  AF1  BF1 .
12  5  BF1 ,
BF1  7 .
隨堂右圖是以F1, F2為圓心的兩組同心圓﹐各組4個
同心圓的半徑分別為1,2,3,4,已知有一雙曲線以
F1, F2為焦點﹐且通過P點﹐求此雙曲線的
貫軸長﹒
解：
由圖可知﹐PF1  2, PF2  4.
利用雙曲線的定義﹐得貫軸長
2a | PF1  PF2 | 2  4  2,
故貫軸長為2﹒
課本頁次：234
P
F2
F1
甲、雙曲線的定義
在雙曲線上任取兩相異點的連接線段稱為
此雙曲線的弦﹐過焦點的弦稱為焦弦﹐
當焦弦與貫軸所在的直線垂直時﹐
我們稱此焦弦為正焦弦﹐
如圖所示﹒
弦
正焦弦
F2
課本頁次：234
焦弦
F1
甲、雙曲線的定義
P
2
2b
關於雙曲線﹐其正焦弦的長恰為 ﹒
a
2a  x
x
F2
F1
2c
證明：
Q
設 PQ 為通過焦點 F1 的正焦弦﹐且 PF1  x,
由雙曲線的定義可知﹕PF2  PF1  2a, 即 PF2  2a  x,
因為△PF1F2是直角三角形﹐所以利用畢氏定理﹐得
x2  (2c)2  (2a  x)2 ,
解得
c 2  a 2 b2
x

a
a
2
2
2
c

a

b
(因為
)﹐
2b 2
.
故正焦弦 PQ 的長為 2 x 
a
課本頁次：235
乙、雙曲線的方程式
以下我們根據雙曲線的定義﹐推導出中心在原點﹐
貫軸在 x軸或 y軸上的方程式﹒
(一)中心在原點﹐貫軸在 x 軸上的雙曲線：
在坐標平面上﹐當雙曲線的中心為原點O﹐
貫軸在x 軸上時﹐兩焦點也在 x 軸上﹐
此時可設雙曲線的兩焦點為 F1(c,0) 與 F2 (c, 0) ﹐
貫軸長為2a(c > a >0)﹐如圖所示﹒
課本頁次：235
乙、雙曲線的方程式
設P(x,y)是雙曲線上的任意一點﹐
由雙曲線的定義可知： PF1  PF2  2a ﹐
即 PF1  PF2  2a 或 PF1  PF2  2a,
利用距離公式﹐得
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a ,
將等號兩邊平方後﹐展開得
x 2  2cx  c 2  y 2  x 2  2cx  c 2  y 2  4a ( x  c) 2  y 2  4a 2 ,
整理可得
cx  a 2   a ( x  c ) 2  y 2 ,
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乙、雙曲線的方程式
再將等號兩邊平方後﹐展開得
c2 x2  2a2cx  a4  a2 x2  2a2cx  a2c2  a2 y 2 ,
整理可得
(c2  a2 ) x2  a2 y 2  a2 (c2  a2 ).
利用 b2  c2  a 2 將上式表示成
b x a y  a b ,
2 2
2
2
2 2
再將等號兩邊同除以 a 2b2 ﹐得到
x2 y 2
 2  1.
2
a
b
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乙、雙曲線的方程式
x2 y 2
反之﹐當點 P(x,y) 滿足方程式 2  2  1 時﹐
a
b
我們可以推得 PF1  PF2  2a,
即 P點在以 F1(c,0) 與 F2 (c,0)為焦點﹐
貫軸長為2a的雙曲線上﹒
由上面的討論中我們得到﹕
當雙曲線的兩焦點為 F1(c,0) 與 F2 (c,0) ﹐
x2 y 2
貫軸長為2a(c >a>0)時﹐其方程式為 2  2  1,
a
b
2
2
2
其中 b  c  a .
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乙、雙曲線的方程式
(二)中心在原點﹐貫軸在 y 軸上的雙曲線：
在坐標平面上﹐當雙曲線的中心為原點O﹐
貫軸在 y 軸上時﹐兩焦點也在 y 軸上﹐
此時可設雙曲線的兩焦點為 F1 (0, c) 與 F2 (0, c),
貫軸長為2a (c > a >0)﹐仿照(一)的方法﹐
y2 x2
可得雙曲線的方程式為 2  2  1﹐其中 b2  c 2  a 2﹒
a
b
y 2 x2
x2 y2
我們將方程式 2  2  1 及 2  2  1
a b
a
b
統稱為雙曲線的標準式﹒
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例2
(1)求焦點為 F1 (5,0) 與 F2 (5, 0)﹐貫軸長為6的雙曲線
方程式﹒
解：
因為雙曲線的中心為 F1F2 的中點﹐
所以其中心為原點﹒
又因為 F1 (5,0) 與 F2 (5, 0)都在x軸上﹐
所以雙曲線的貫軸在x軸上﹐
x2 y 2
即雙曲線的方程式為 2  2  1
a b
的形式﹒
因為貫軸長2a  6,2c  F1F2  10﹐所以a  3, c  5﹐
課本頁次：237
例2
(1)求焦點為 F1 (5,0) 與 F2 (5, 0) ﹐貫軸長為6的雙曲線
方程式﹒
解：
代入 c2  a 2  b2﹐解得 b  4.
x2 y 2
將求得的 a  3, b  4 代入 2  2  1,
a
b
x2 y 2
得雙曲線的方程式為   1.
9 16
課本頁次：237
例2
(2)求焦點為 F1 (0, 4) 與 F2 (0, 4)﹐共軛軸長為6的
雙曲線方程式﹒
解：
因為雙曲線的中心為 F1F2 的中點﹐
所以其中心為原點﹒
又因為 F1 (0, 4) 與 F2 (0, 4) 都在y軸上﹐
所以雙曲線的貫軸在y軸上﹐即雙曲線
y2 x2
的方程式為 2  2  1.
a
b
因為共軛軸長 2b=6, 2c  F1F2  8﹐所以 b=3, c=4﹒
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例2
(2)求焦點為 F1 (0, 4) 與 F2 (0, 4)﹐共軛軸長為6的
雙曲線方程式﹒
解：
代入 c2  a2  b2﹐解得 a  7.
y2 x2
將求得的 a  7, b  3 代入 2  2  1,
a
b
y 2 x2
得雙曲線的方程式為   1.
7
9
課本頁次：238
隨堂 (1)求頂點為A(2,0)與B(–2,0)﹐焦點為F1(3,0)與
F2(–3,0)的雙曲線方程式﹒
(2)求頂點為A(0,4)與B(0,–4)﹐共軛軸長為8的雙曲
線方程式﹒
解： (1)如圖﹐雙曲線的中心為(0,0)﹐
貫軸在 x 軸上﹐其標準式為
x2 y 2
 2  1.
2
a
b
因為 a=2,c=3可得 b  c2  a2  5 ﹐
x2 y 2
將 a=2 , b  5 代入 2  2  1﹐
a b
x2 y 2
得雙曲線的方程式為

 1﹒
4 5
課本頁次：238
隨堂 (1)求頂點為A(2,0)與B(–2,0)﹐焦點為F1(3,0)與
F2(–3,0)的雙曲線方程式﹒
(2)求頂點為A(0,4)與B(0,–4)﹐共軛軸長為8的雙曲
線方程式﹒
解： (2)如圖﹐雙曲線的中心為(0,0)﹐
貫軸在 y 軸上﹐其標準式為
y2 x2
 2  1,
2
a b
因為 a=4, 2b=8﹐即b=4﹐
y 2 x2
將 a=4, b=4﹐代入 2  2  1﹐
a b
2
2
y
x
得雙曲線的方程式為
  1﹒
16 16
課本頁次：238
2
2
x
y
例3 求雙曲線   1 的頂點與焦點坐標﹒
16 9
解：
將雙曲線方程式改寫成
x2 y 2
 2  1,
2
4
3
得 a  4, b  3 ﹐再由c2  a 2  b2 求得c=5.
由方程式知道﹐
雙曲線的中心為原點﹐貫軸在x軸上﹐
因此雙曲線的頂點為(4,0)與(－4,0)﹐
兩焦點為(5,0)與(－5,0)﹒
.
課本頁次：238
隨堂
y 2 x2
求雙曲線   1 的頂點與焦點坐標﹒
4 4
解：
將雙曲線方程式改寫成
y2 x2
 2  1,
2
2
2
得a=2 , b=2 ﹐再由c2  a 2  b2
由方程式知道﹐
雙曲線的中心為原點﹐貫軸在y軸上﹐
因此雙曲線的頂點為(0,2)與(0,－2)﹐
.
課本頁次：239
例4
x2 y 2
設P為雙曲線   1 上的一點﹒若F1, F2為此雙曲線
16 9
的兩個焦點﹐且 PF1 : PF2  1: 3, 則△ F1PF2 的周長為何？
解：
將雙曲線方程式改寫成
x2 y 2
 2  1,
2
4
3
得 a  4, b  3 ,再由c2  a 2  b2求得c=5.
因為P為雙曲線上的一點﹐所以
| PF2  PF1 | 2a  8.
.
課本頁次：239
例4
x2 y 2
設P為雙曲線   1 上的一點﹒若F1, F2為此雙曲線
16 9
的兩個焦點﹐且 PF1 : PF2  1: 3, 則△ F1PF2 的周長為何？
解：
又因為 PF1 : PF2  1: 3, 所以
 PF2  PF1  8
,

 PF2  3PF1
解得 PF1  4, PF2  12.
因此 △ F1PF2 的周長為
PF1  PF2 . F1F2  4 12  2c  16  10  26.
課本頁次：239
隨堂
x2 y 2
設為F1, F2為雙曲線   1的兩個焦點﹐P為雙曲
1 24
線上一點﹐且△ F1PF2 的周長為24,求△ F1PF2 的面積﹒
2
2
x
y
解：由雙曲線的方程式 2 
1
2 6


2
 1 可知﹕
a = 1, b  2 6 , c2  a 2  b2  25
 c=5 ,F1F2  2c  10,
△ F1PF2周長為24, PF1  PF2  24  F1F2  24 10  14
P為雙曲線上一點﹐ PF1  PF2  2a  2
(2)
由(1)(2)可得 △ F1PF2的三邊長分別為6,8,10﹐
△ F1PF2是直角三角形﹐面積為
課本頁次：239
68
 24 .
2
(1)
乙、雙曲線的方程式
雙曲線的圖形有2支﹐可以無限延伸﹐
且其遠處會越來越靠近一條直線﹐
在數學上我們稱此直線為漸近線﹐
其定義如下：
y
x
O
當雙曲線上的點P 沿著雙曲線逐漸遠離中心﹐
且P 到直線L的距離會越來越接近於0時﹐
我們稱直線L為雙曲線的一條漸近線﹒
接下來我們來證明 L1 : bx  ay  0 與 L2 : bx  ay  0 ,
x2 y2
是雙曲線 2  2  1 的二條漸近線﹒
a
b
課本頁次：240
乙、雙曲線的方程式
x2 y2
設 P( x0 , y0 ) 為雙曲線 2  2  1 上一點﹐
a
b
P到直線 L1 : bx  ay  0 與 L2 : bx  ay  0 的距離
分別為d1與d2﹒
利用點到直線的距離公式﹐可得
| bx0  ay0 |
| bx0  ay0 |
,
d1 
, d2 
a 2  b2
a 2  b2
x2 y2
又因為 P( x0 , y0 ) 在雙曲線 2  2  1 上﹐
2
2
a
b
x0
y0
所以 2  2  1 , 即 b2 x02  a2 y02  a2b2 .
a
b
課本頁次：240
乙、雙曲線的方程式
將d1與d2相乘﹐得
| bx0  ay0 | | bx0  ay0 | | b2 x0 2  a 2 y0 2 |
a 2b 2

d1  d2 
 2 2

2
2
2
2
2
2
a b
a b
a b
a b
故 d1  d2 是一個常數﹒
y
L2 : bx  ay  0
因為 d1  d2 是一個定值﹐
所以當P點在第一﹑三象限﹐
L1 : bx  ay  0
P
x
O
且沿著雙曲線逐漸遠離原點時﹐
d2會越來越大﹐而d1會越來越接近於0(但是不會等於0)
即P與L1的距離會越來越接近於0﹒
課本頁次：240
乙、雙曲線的方程式
x2 y2
因此﹐直線L1是雙曲線 2  2  1的一條漸近線﹒
a
b
同理可知﹕
x2 y2
直線L2也是雙曲線 2  2  1的一條漸近線﹒
a
b
y2 x2
仿照類似的方法可以得到﹕雙曲線 2  2  1 之
a
b
兩條漸近線的方程式分別為
y
L2 : by  ax  0
by  ax  0 與 by  ax  0.
L1 : by  ax  0
P
x
O
課本頁次：240
乙、雙曲線的方程式
雙曲線的標準式與其圖形之間的關係如下表：
標準式
x2 y2
 2 1
2
a
b
y2 x2
 2 1
2
a
b
課本頁次：241
圖
形
2
2
x
y
例5 求雙曲線   1 的兩條漸近線方程式﹒
16 9
解：
將雙曲線方程式改寫成
x2 y 2
 2  1,
2
4
3
得 a  4, b  3 ﹐
兩條漸近線方程式為
3x  4 y  0 與 3x  4 y  0.
.
課本頁次：242
隨堂
y 2 x2
求雙曲線   1 的兩條漸近線方程式﹒
9
4
解：
將雙曲線方程式改寫成
y2 x2
 2  1,
2
3
2
得 a=3 , b=2 ,
兩條漸近線方程式為
2 y  3x  0 與 2 y  3x  0 ﹒
課本頁次：242
乙、雙曲線的方程式
x2 y 2
仿照橢圓的方法﹐將中心為原點的雙曲線 1 : 2  2  1
a
b
上的每一點(x0,y0)﹐沿著向量(h,k)移動到點(x0+h,y0+k)﹐
得到中心為(h,k)的雙曲線 2 .
y
2
雙曲線  2 的方程式為
( x  h) ( y  k )
2 :

1,
2
2
a
b
而且它的漸近線方程式為
2
1
( h  c , k ) ( h, k )
2
(  c,0)
O
(c,0)
b( x  h)  a( y  k )  0 與 b( x  h)  a( y  k )  0.
課本頁次：242
( c  h, k )
x
乙、雙曲線的方程式
y 2 x2
同理可得﹐將中心為原點的雙曲線  : 2  2  1
a
b
沿著向量(h,k)平移﹐得到中心為(h,k)的雙曲線 2 ,
( y  k )2 ( x  h)2
其方程式為

 1,
2
2
a
b
它的兩條漸近線方程式為
b( y  k )  a( x  h)  0 與 b( y  k )  a( x  h)  0.
課本頁次：243
乙、雙曲線的方程式
平移後的雙曲線方程式與其圖形之間的關係如下表：
方程式
( x  h )2 ( y  k )2

1
2
2
a
b
( y  k )2 ( x  h)2

1
2
2
a
b
課本頁次：243
圖
形
例6 求兩焦點為F1 (5,1) 與 F2 (1,1)﹐貫軸長為2 5 的
雙曲線方程式﹒
解：
因為雙曲線的兩焦點為F1(5,1)與F2(－1,1)﹐
所以其中心為(2,1)﹐且貫軸平行 x 軸﹐
( x  h )2 ( y  k )2

 1 的形式﹒
即雙曲線的方程式為
2
2
a
b
由 2a  2 5,2c  F1F2  6 及 c2  a 2  b2 ,
解得 a  5, c  3, b  2.
課本頁次：244
例6 求兩焦點為F1 (5,1) 與 F2 (1,1)﹐貫軸長為2 5 的
雙曲線方程式﹒
解：
將 a  5, b  2 及中心(2,1)代入
( x  h)2 ( y  k )2

 1,
2
2
a
b
得雙曲線的方程式為
( x  2)2 ( y  1) 2

 1.
5
4
課本頁次：244
隨堂求兩頂點為A(－2,－1)與B(－2,5)﹐一焦點為F(－2,7)
的雙曲線方程式﹒
解：因為雙曲線的兩頂點為A(－2,－1)與B(－2,5)﹐
所以其中心為(－2,2)﹐且貫軸平行 y 軸﹐
2
2
即雙曲線的形式為  y  k    x  h   1﹒
a2
b2
由a=5 – 2 = 3, c = 7 – 2 = 5,
及 c2  a 2  b2 , 解得 b = 4﹒
2,2)﹐代入  y 2k    x 2h   1
a
b
2
將a = 3 , b = 4及中心(–
 y  2   x  2  1﹒
9
16
2
得雙曲線的方程式為
課本頁次：244
2
2
例7
求雙曲線 4x2  9 y 2  8x  36 y  4  0 的頂點﹑焦點坐標
與漸近線方程式﹒
解：
將 4x2  9 y 2  8x  36 y  4  0 配方得
4( x  1)2  9( y  2)2  36,
再將等號的兩邊除以－36﹐改寫成
( y  2)2 ( x  1) 2

1,
2
2
2
3
得a = 2,b = 3﹒再由c2  a 2  b2 , 可得 c  13.
課本頁次：244
例7
求雙曲線 4x2  9 y 2  8x  36 y  4  0 的頂點﹑焦點坐標
與漸近線方程式﹒
解：
由方程式知道﹕
雙曲線的中心在(1,2)﹐貫軸平行y軸﹐
因此雙曲線的頂點為(1,4)與(1,0)﹐
焦點為(1,2  13) 與 (1,2  13),
漸近線為 3( y  2)  2( x  1)  0 與 3( y  2)  2( x  1)  0,
即 2 x  3 y  4  0 與 2 x  3 y  8  0.
課本頁次：245
隨堂 求雙曲線 4x2  y 2  8x  2 y 1  0 的頂點﹑焦點坐標
與漸近線方程式﹒
解：將 4x2  y 2  8x  2 y 1  0 配方得
4  x  1   y  1  4 ,
2
2
再將等號的兩邊除以 4 ﹐改寫成
 x 1
2
1
2
y  1


2
2
2
 1,
得a = 1,b = 2﹒
再由 c2  a 2  b2 ,
﹒
雙曲線的中心在(1,–1)﹐貫軸平行 x 軸﹐
因此雙曲線的頂點為(2,–1)與(0,–1)﹐
焦點為(1  5, 1) 與 (1  5, 1),
漸近線為 2x – y – 3 = 0與2x + y – 1 = 0﹒
課本頁次：245
2
2
x
y
例8 求與   1 有相同的漸近線﹐且通過點(5,8)
25 16
的雙曲線方程式﹒
解：
x2 y2
將雙曲線方程式改寫成 2  2  1,
5
4
可得其漸近線方程式為4 x  5 y  0, 4 x  5 y  0.
x2 y2
因為雙曲線與 2  2  1有相同的漸近線﹐
5
4
且通過點(5,8) ﹐
課本頁次：245
2
2
x
y
例8 求與   1 有相同的漸近線﹐且通過點(5,8)
25 16
的雙曲線方程式﹒
解：
y2 x2
所以可設其方程式為 2  2  1,
a
b
且其漸近線方程式為 by  ax  0
與 by  ax  0.
因為 by  ax  0 與 4 x  5 y  0 表示相同的直線﹐
所以比較係數可設 b  5k , a  4k .
課本頁次：245
2
2
x
y
例8 求與   1 有相同的漸近線﹐且通過點(5,8)
25 16
的雙曲線方程式﹒
解：
y2
x2

 1.
即雙曲線的方程式為
2
2
(4k )
(5k )
將(5,8)代入方程式解得 k 2  3,
故雙曲線的方程式為
y2 x2

 1.
48 75
課本頁次：245
隨堂 求與
x2 y 2

 1 有相同的漸近線﹐且通過點(8,3)
16 9
的雙曲線方程式﹒
解：
x2 y 2
將雙曲線方程式改寫成 2  2  1﹐
4
3
可得其漸近線方程式為 3x – 4y = 0與3x +4y = 0﹐
因為雙曲線與
x2 y 2
 2 1
2
4 3
有相同的漸近線﹐
且通過點(8,3)﹐如圖﹒
貫軸在x軸上﹐設方程式為
x2 y 2
 2 1,
2
a
b
課本頁次：246
隨堂 求與
x2 y 2

 1 有相同的漸近線﹐且通過點(8,3)
16 9
的雙曲線方程式﹒
解： x 2 y 2
 2  1 其漸近線方程式
2
a
b
為 bx  ay  0 與 bx  ay  0.
和 3x – 4y = 0 與 3x +4 y = 0 比較係數﹒
可設 b = 3k, a = 4k﹐
即雙曲線的方程式為
x2
 4k 
2

y2
 3k 
將(8,3)代入方程式解得k2 =3﹐
x2 y 2
故其方程式為   1﹒
48 27
課本頁次：246
2
 1﹐
例9
T
S
右圖是某冷卻塔的截面圖﹐其頸部AB剛好是
A
雙曲線的貫軸﹒已知 AB, ST 與 PQ互相平行﹐
AB  4, ST  6, PQ  14, 且 AB 與 ST 相距5﹐
B
求 AB 與 PQ 的距離﹒
P
解： 設雙曲線的中心為原點﹐貫軸在x軸上﹒
因為貫軸長 2a  AB  4, 即 a  2,
x2 y2
所以設其方程式為 2  2  1.
2
b
課本頁次：246
Q
例9
T
S
右圖是某冷卻塔的截面圖﹐其頸部AB剛好是
雙曲線的貫軸﹒已知 AB, ST 與 PQ互相平行﹐
AB  4, ST  6, PQ  14, 且 AB 與 ST 相距5﹐
A
B
求 AB 與 PQ 的距離﹒
P
解：依題意可設B(2,0), T(3,5), Q(7,k)﹒
將(3,5),(7,k)代入方程式﹐得
 9 25
 4  b 2  1
,

2
 49  k  1
 4 b 2
課本頁次：246
Q
y
T (3,5)
S
B(2, 0)
A
x
O
P
Q(7, k )
例9
T
S
右圖是某冷卻塔的截面圖﹐其頸部AB剛好是
雙曲線的貫軸﹒已知 AB, ST 與 PQ互相平行﹐
AB  4, ST  6, PQ  14, 且 AB 與 ST 相距5﹐
A
B
求 AB 與 PQ 的距離﹒
P
解：
解得 b  20,k  15(15不合).
故 AB 與 PQ 的距離為15﹒
課本頁次：246
Q
乙、雙曲線的方程式
x2 y 2
我們知道雙曲線  : 2  2  1 的中心為原點﹒
a
b
如果將  上的點 P( x0 , y0 ) 以原點為中心伸縮2倍﹐
得到點Q(2 x0 ,2 y0 ), 那麼﹐所有點Q所形成的圖形
仍然是一個雙曲線嗎？
y
答案是肯定的﹗
x2 y2
因為 P( x0 , y0 )滿足方程式 2  2  1,
a
b
2
2
x0
y0
所以 2  2  1,
a
b
課本頁次：247
Q(2 x0 , 2 y0 )
P( x0 , y0 )
O
x
乙、雙曲線的方程式
(2 x0 )2 (2 y0 )2

 1, 所以 Q(2 x0 ,2 y0 ),
又因為
2
2
(2a )
(2b)
x2
y2

 1,
滿足
2
2
(2a) (2b)
y
即所有點Q所形成的圖形為雙曲線
2
2
x
y
 2  4.
2
a
b
課本頁次：247
Q(2 x0 , 2 y0 )
P( x0 , y0 )
O
x
乙、雙曲線的方程式
x2 y2
一般而言﹐雙曲線 2  2  t 2 的圖形
a
b
x2 y2
可以由雙曲線 2  2  1 上的點﹐
a
b
以原點為中心伸縮t (t > 0)倍得到﹒
2
y
2
y
x
關於雙曲線 2  2  1,
a
b
Q(2 x0 , 2 y0 )
P( x0 , y0 )
O
也有相同的結論.
課本頁次：247
x
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