Transcript 二次曲線

第四章
圓錐曲線
‧4-1 拋物線
‧4-2 橢 圓
‧4-3 雙曲線
總目錄
4-1 拋物線
‧圓錐截痕
‧拋物線的定義
‧拋物線的相關名詞
‧拋物線的標準式
‧拋物線標準式的平移
‧拋物線的一般式
目
錄
圓錐截痕：圓
若平面E垂直L，則E與K的截痕是一個圓。
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圓錐截痕：橢圓
若平面E與L不垂直，且E與 L ' 不平行，
且與K僅交於上部或下部，則E與K的截痕
是一個橢圓。
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圓錐截痕：拋物線
若平面E與 L平行，
則E與K的截痕是一個拋物線。
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圓錐截痕：雙曲線
若平面E與直圓錐面K的上下兩部分都相交，
則E與K的截痕是一個雙曲線。
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拋物線的定義
在平面上，與一定直線L和線外一定點F
等距的所有點所成的圖形稱為拋物線。
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拋物線的相關名詞
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節目錄
拋物線的標準式(一)
設拋物線： y2 ＝4cx
若c＞0， 則拋物線開口向右。
若c＜0， 則拋物線開口向左。
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拋物線的標準式(二)
設拋物線： x2 ＝4cy
若c＞0， 則拋物線開口向上。
若c＜0， 則拋物線開口向下。
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拋物線標準式的平移(一)
頂點為原點的拋物線y2 = 4cx ，平移
至頂點為(h,k) 的拋物線方程式為
( y－k )2 = 4c ( x－h )
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拋物線標準式的平移(二)
頂點為原點的拋物線 x2 = 4cy，平移
至頂點為(h,k)的拋物線方程式為
( x－h )2 = 4c ( y－k )
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拋物線的一般式
凡是拋物線必可表為二元二次方程式
x = ay2 +by +c 或 y = ax2 +bx +c (a≠0)
的形式，此二式稱為拋物線的一般式。
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4-2 橢圓
‧橢圓的定義
‧橢圓的標準式
‧橢圓標準式的平移
‧橢圓的一般式
‧橢圓的參數式
目
錄
橢圓的定義
設F與 F ' 為平面上相異二點，a 為一正數，
且 FF ' < 2a。在平面上到兩定點 F、F ' 的距離
和為定值2a的所有點所成的圖形稱為橢圓。
若P為橢圓上任一點，則 PF  PF '  2a 。
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節目錄
橢圓的標準式(一)
2
y
橢圓標準式為 x 2  2  1的圖形
a
b
2
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節目錄
橢圓的標準式(二)
2
y
橢圓標準式為 x 2  2  1的圖形
b
a
2
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節目錄
橢圓標準式的平移(一)
2
y
中心為原點的橢圓 x 2  2  1
a
b
，平移至中心為(h,k)，且長軸平行於x軸
2
2
(
x

h
)
(
y

k
)
的橢圓方程式為

1
2
2
a
b
2
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橢圓標準式的平移(二)
2
y
中心為原點的橢圓 x 2  2  1
b
a
，平移至中心為(h,k)，且長軸平行於y軸
2
2
(
x

h
)
(
y

k
)
的橢圓方程式為

1
2
2
b
a
2
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橢圓的一般式
凡是橢圓可表為二元二次方程式
Ax2 +Cy2+Dx+Ey+F=0
的形式，其中 A、C 同號，此式稱為
橢圓的一般式。
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橢圓的參數式
2
y
(1)橢圓 x 2  2  1 的參數式為
a
b
 x  a cos
0    2

 y  b sin 
2
2
y
(2)橢圓 x 2  2  1的參數式為
b
a
 x  b cos
0    2

 y  a sin 
2
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4-3 雙曲線
‧雙曲線的定義
‧雙曲線的標準式
‧雙曲線標準式的平移
‧雙曲線的一般式
‧雙曲線的漸近線
目
錄
雙曲線的定義
設 F , F '為平面上相異二點，a為一正數，
且 FF '  2a 。在平面上，到兩定點 F , F '的距
離差為定值2a的所有點所成的圖形稱為雙曲
線。若P為雙曲線上任一點，則 PF  PF '  2a
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雙曲線的標準式(一)
2
y
x 
雙曲線標準式為 2 2  1 的圖形
a
b
2
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雙曲線的標準式(二)
y 2 x2
雙曲線標準式為 2  2  1 的圖形
a
b
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雙曲線標準式的平移(一)
x2 y 2
將中心為原點的雙曲線 2  2  1，
a
b
平移至中心為(h,k)，且貫軸平行於x軸的
2
2
(
x

h
)
(
y

k
)
雙曲線方程式

1
2
2
a
b
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雙曲線標準式的平移(二)
y 2 x2
將中心為原點的雙曲線 2  2  1，
a
b
平移至中心為(h,k)，且貫軸平行於y軸的
2
2
(
y

k
)
(
x

h
)
雙曲線方程式

1
2
2
a
b
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雙曲線的一般式
凡是雙曲線可表為二元二次方程式
Ax2 +Cy2+Dx+Ey+F=0
的形式，其中 A、C 異號，此式稱為
雙曲線的一般式。
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雙曲線的漸近線
x2 y 2
令雙曲線 2  2  1 的常數項為0，
a
b
x y
x y
雙曲線的漸近線為   0 與   0
a b
a b
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