Transcript 圓方程式

圓的定義
在平面上，與一定點
等距離的所有點所形
成的圖形稱為圓。
圓
心
半徑
圓方程式
圓的標準式
圓心為( h , k )，半徑為 r 的圓方程式為
( x – h )2 + ( y – k )2 = r 2
圓方程式
圓的標準式
試求圓心為(1 , 3)，半徑為 4 的圓方程式。
h , k   1 , 3，r  4
 h  1，k  3，r  4
圓方程式為( x – h )2 + ( y – k )2 = r2
x  1   y  3  4
 x  1   y  3  16
2
2
2
2
2
圓方程式
圓的直徑式
以(x1 , y1)，(x2 , y2)為直徑兩端點的圓
方程式為
(x – x1) (x – x2) + (y – y1) (y – y2) = 0
x
1
, y1 
x
2
, y2 
圓方程式
圓的直徑式
試求以(1 , 2)，(3 , 4)為直徑兩端點的圓
方程式。
x , y   1 , 2，x
1
1
2
, y2   3 , 4
直徑式(x – x1) (x – x2) + (y – y1) (y – y2) = 0
 x  1  x  2    y  3  y  4   0
 x 2  y 2  4 x  6 y  11  0
圓方程式
圓的一般式
x  y  dx  ey  f  0
2
2
圓方程式
圖形判別─實圓
x  y  dx  ey  f  0 ，  d  e  4 f
2
2
2
2
  0  圖形為一實圓
圓心為
半徑為
e
 d
 ,  
2
 2
d 2  e2  4 f
2
圓方程式
圖形判別─實圓
試判別方程式 x  y  4x  6 y 12  0 之圖形。
2
2
d  4 ，e   6 ，f  12
  d  e  4 f  4   6   4  12   100  0
2
2
2
2
所以圖形為一實圓，圓心為  2 , 3
100
5
半徑為
2
圓方程式
圖形判別─點圓(退化圓)
x  y  dx  ey  f  0 ，  d  e  4 f
2
2
2
2
  0  圖形為一點圓(退化圓)
點坐標為
e
 d
 ,  
2
 2
圓方程式
圖形判別─點圓(退化圓)
試判別方程式 4x  4 y  4x  8 y  5  0 之圖形。
2
2
4
8
5
d   1，e   2 ，f 
4
4
4
5
  d  e  4 f  1  2  4  0
4
 1

所以圖形為一點圓，坐標為   ,  1
 2

2
2
2
2
圓方程式
圖形判別─虛圓(無圖形)
x  y  dx  ey  f  0 ，  d  e  4 f
2
2
2
2
  0  圖形為一虛圓(無圖形)
圓方程式
圖形判別─虛圓(無圖形)
試判別方程式 x  y  2x  3 y  4  0 之圖形。
2
2
d  2 ，e  3，f  4
  d  e  4 f  2   3  4  4  3  0
2
2
2
2
所以圖形為一虛圓，即無圖形
圓方程式
圓心為(0 ,0)的圓參數式
圓 x2 + y2 = r2 的參數式為
 x  r cos
，

 y  r sin 
0    2 ， 為參數
圓方程式
圓心為(0 ,0)的圓參數式
若一圓之圓心為(0 ,0)，半徑為3，試求圓的參數
方程式。
 h , k   0 , 0 ，r  3
圓的參數式為
 x  3cos 

 y  3sin 
 x  h  r cos 

 y  k  r sin 
 0    2 
 0    2 
圓方程式
圓心為(h,k)的圓參數式
圓( x – h )2 + ( y – k )2 = r2
的參數式為
 x  h  r cos
，

 y  k  r sin 
0    2 ， 為參數
圓方程式
圓心為(h ,k)的圓參數式
若一圓之圓心為(1 ,2)，半徑為3，試求圓的參數
方程式。
 h , k   1, 2 ，r  3
圓的參數式為
 x  h  r cos 

 y  k  r sin 
 x  1  3cos 

 y  2  3sin 
 0    2 
 0    2 
圓方程式
圓與點的關係1
在平面上，一個點與一個圓的位置關係有三種，
如圖所示：
圓內
圓上
圓外
圓方程式
圓與點的關係2
圓心A到點P的距離為d (A , P)，則d (A , P)與圓
半徑r的大小關係有下列三種：
(1) 點在圓內  d (A , P) < r
(2) 點在圓上  d (A , P) = r
(3) 點在圓外  d (A , P) > r
圓方程式
圓與點的關係
試判斷 5 , 2 與圓 x  3   y  2   16 的關係。
2
2
 h , k   3 ,  2 ，r  4
5  3   2   2
因為 d  r
d
2
2
 20
所以點在圓外
圓方程式
圓與點的關係
試判斷 3 , 2 與圓 x  3   y  2   16 的關係。
2
2
 h , k   3 , 2 ，r  4
d
因為 d
3  3   2   2
2
2
4
r
所以點在圓上
圓方程式
圓與點的關係
試判斷 3 ,1 與圓 x  3   y  2   16 的關係。
2
2
 h , k   3 , 2 ，r  4
d
3  3  1   2
因為 d
2
2
3
r
所以點在圓內
圓方程式
圓與直線的關係1
在平面上，一個點與一個圓的位置關係有三種，
如圖所示：
相割
相切
相離
圓方程式
圓與直線的關係2
圓心A到直線L的距離為d (A , L)，則d (A , L)與
圓半徑r的大小關係有下列三種：
(1) 直線L與圓C交相異兩點  d (A , L) < r
(2) 直線L與圓C相交一點
 d (A , L) = r
(3) 直線L與圓C沒有交點
 d (A , L) > r
圓方程式
圓與直線的關係
2
2
與圓
x  y  4 的關係。
試判斷直線 x  y  4  0
 h , k   0 , 0 ，r  2
d
004
1 1
2
2
2 2
因為 d  r
所以直線與圓相離
圓方程式
圓與直線的關係
2
2
與圓
x  y  4 的關係。
試判斷直線 x  y  1  0
 h , k   0 , 0 ，r  2
d
0  0 1
1 1
2
2
2

2
因為 d  r
所以直線與圓相割
圓方程式
圓與直線的關係
2
2
與圓
x  y  4 的關係。
試判斷直線 x  y  2 2  0
 h , k   0 , 0 ，r  2
d
002 2
12  12
2
因為 d  r
所以直線與圓相切
圓方程式
圓的切線
直線與圓只有一個交點時，此直線稱為圓的切
線，交點稱為切點。
(1) 經過圓內一點，沒有切線
(2) 經過圓上一點，只有一條切線
(3) 經過圓外一點，定有兩條切線
圓方程式
圓的切線方程式1
圓方程式為 ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2
切點坐標為( x0 , y0 )
則切線方程式為
 x0  h  x  h   y0  k   y  k   r
2
圓方程式
圓的切線方程式1
試求過圓 (x + 1)2 + ( y – 3)2 = 5上一點(1 , 2)
之切線方程式。
x0  1，y0  2
11  x 1   2  3  y  3  5
2x  y 1  0
圓方程式
圓的切線方程式2
圓方程式為 x2 + y2 + dx + ey + f =0
切點坐標為( x0 , y0 )
則切線方程式為
x0  x
y0  y
x0 x  y0 y  d
e
 f 0
2
2
圓方程式
圓的切線方程式2
試求過圓x2 + y2 + 4x - 3y + 5 =0 上一點(-1 , 2)
之切線方程式。
x0  1，y0  2
1  x

2 y
x  2 y  4 
 3
5 0
2x  y  0
2
2
圓方程式
圓外一點到圓的切線段長1
從圓外一點P(x0，y0)到圓的切線段長
若圓為標準式(x – h)2 + (y – k)2 = r2
則切線段長= ( x0  h)2  ( y0  k )2  r 2
圓方程式
圓外一點到圓的切線段長1
試求(-3 , 0)至圓(x - 2)2 + (y + 3)2 = 9 的切線
段長。
x0  3，y0  0
l
 3  2   0  3
2
2
9  5
圓方程式
圓外一點到圓的切線段長2
從圓外一點P(x0，y0)到圓的切線段長
若圓為一般式x2 + y2 + dx + ey + f = 0
則切線段長=
x0  y0  dx0  ey0  f
2
2
圓方程式
圓外一點到圓的切線段長2
試求(1 , -5)至圓x2 + y2 + 4x - 2y – 4 = 0 的切線
段長。
x0  1，y0  5
l  1   5  4 1  2   5  4  6
2
2
圓方程式