Transcript introduction of log

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y=log x
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-1
-2
-3
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發明對數的動機：天文科學
西元1594年，納皮爾根據等比數列與等差數列的運算
關係，發展出對數，目的是用來處理天文學上的問題。
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引例說明
等比數列與等差數列的關係
例如 有一組等比數列如下：
10 103 105 107 109 1011 1013 1015 ……
將這一組等比數列分別取以10為底的
對數，可以得到下列的等差數列：
1 3 5 7
9 11 13 15……
你是否發現極大的數字是可以用簡單的數字表示呢？
就是因為如此簡便，天文科學家才喜愛引用對數來表
達極大的天文數字哦！！！
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科學家伽利略曾說過：
『給我空間、時間和對數，
我就可以創造一個宇宙』
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常用對數與生活：
‧噪音分貝
•化學酸鹼度
•芮氏地震規模
•益智類題：求ax之整數位數或在小數點
後第幾位出現非0數字……(本單元重點)
•其它：天文、科學、財經、生物等領域，
對數一直被廣泛應用。
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聲音響亮程度以分貝計算
你知道嗎？
n隻蚊子在距離耳朵一米以內範圍，
其所發出來的聲音響亮程度是多少分貝？
答案是： 10 log n 分貝
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嬌生PH 5.5
沐浴乳
PH值= -log H+
•純水之氫離子濃度為110-7mol/cm3
•純水之PH值= -log110-7 = 7
•愈高的PH值會有愈強的鹼度，
愈低的PH值會有愈強的酸度。
‧市面上賣的洗潔精、洗髮精、
沐浴乳、化妝品等等產品上都
有標明其PH值。
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◎芮氏地震規模
台灣921芮氏
地震規模7.3
r = log10 I
r 代表芮氏地震規模
I代表地震時釋放出來的
相對能量程度
、
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◎
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100
是幾位數？
嘿！嘿！嘿！挑戰：2連乘100次嗎?
25=32
210=1024
215=32768
220=1048576
‧‧‧‧‧‧‧‧
好大的數字啊！
有沒有更簡單的算法？
益智題
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1
 
2
100
乘開之後，在小數點後面
第幾位出現非0數字？
哈~ 哈~ 哈~
把 0.5 連乘100次
就知道了！
有沒有更簡
便的方法？
益智題
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(一)常用對數
1.定義：以10為底的對數，稱常用對數。
底數10可被省略不寫。
即log10 x =log x
2.求常用對數的方法：
查表計算法
使用計算機
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(二)另一種表達型態
任一正數x，皆能表示如下：
log x = n +  = 整數 + 0或正純小數
n稱為首數(nZ)，
稱為尾數(0    1)。
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1.科學記號：物理、化學、生物常使用
任一正數x都可以表示成
x = a  10n ，其中1  a  10,且n為整數。
例如：
23000=2.3  104
2564 =2.564  103
0.012=1.2  10-2
0.00005=5  10-5
◎ a 的整數位是
1位數字！
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2.整數位數 與 10的次方 關係
實數
x
321045000
科學記號
a  10n
3.21045  108
整數位數
m
9位數
123000
1.23  105
6位數
2000
2 103
4位數
2468135
2.468135  106
7位數
n與整數位數m有何關係？
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3. 小數點後第幾位出現非0數字
與 10的次方 關係
實數
x
0.00002
科學記號
a 10n
2  10-5
小數點後第m位
出現非0數字
0.00456
4.56  10-3
3
0.00089
8.9  10-4
4
0.000000653
6.53  10
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-7
7
n與小數點後第m位出現非0數字之關係？
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4. 規則 小結
x = a 10n ，n為整數，且1  a  10
x科學記號中10的次方n代表的意義：
(1)當x  1時，可以知道x的整數位數共
有 n + 1 位。
(2)當0  x  1時，可以知道 x 在小數點
後面第  n  位出現非 0 的數字。
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(三)常用對數特性的歸納
(1)任一正數x之常用對數可以表示為
一個整數 加上0或正純小數，即
log x = n + 
其中n, 0<1.
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說明一：
任一正數x ，其科學記號為x = 10n  a
其中 n 為整數，且 1  a  10
 log x = log (10n  a )
= log 10n + log a
=
n + log a
=
n + 
( 設 =log a )
所以，n為科學記號中10的整數次方。
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說明二：
因為 =log a
1  a 10  log1  loga  log10
 0  loga  1
即 0  1
所以
log x = n +  ,
其中n為整數,為0或正純小數.
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(2)小結
任意正數x，log x可以表示如下：
log x = n + , 其中n, 0<1.
n稱為真數x的首數，為尾數。
◎尾數為0或正純小數 、首數x為一整數。
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(3)實例說明
…………
log2000=log103 2=log103+log2=3+0.3010
log200=log102 2=log102+log2=2+0.3010
log20=log101 2=log101+log2=1+0.3010
log2= 0.3010=0+0.310
log0.2=log10-1 2=log10-1+log2=-1+0.3010
log0.02=log10-2 2=log10-2+log2=-2+0.3010
log0.002=log10-3 2=log10-3+log2=-3+0.3010
…………
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(四)首數與尾數 之練習題
log x = n + 
其中n, 0<1.
練習、求下列的首數與尾數
(1) log x =4.8751
(2) log x =-2.6945
= 4 + 0.8751
故 首數 = 4 ，
尾數 = 0.8751
= -3 + 0.3055
故 首數 = -3 ，
尾數 = 0.3055
◎附註：首數為負數之另一種記法
如log x = -3 + 0.3055 = 3 .3055
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(五)真數x的位數與首數n的關係
1.若真數 x1 時
真數x有m(=n+1)位整數
 log x的首數n=m-1
例如：
23000=2.3104
◎log x的首數n就是真數x科學記號中10的次方n。
返回
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例題一：求下面對數值之首數
(1)log 1234
解：
1234
= 1.234×103
log1234之首數為3
(2)log987.654
解：
987.654
= 9.87654102
log987.654之首數為2
隨堂練習1.
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隨堂練習1.：求下面對數值之首數
(1)log 7
(2)log452
解答提示：
(1) 7=7100
(2) 452=2025=2.025 103
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例題二、求真數 x 之整數位有幾位？
(1) log x = 1.51
(2) log x =4.221
解：
log x = 1.51
=1 + 0.51
n=1
整數位=1+1=2
解：
log x = 4.221
=4 + 0.221
n=4
整數位=4+1=5
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隨堂練習2：
求真數 x 之整數位有幾位？
(1)log x = 3.21
(2) log x =5.001
解答提示：
(1)n=3，3+1=4
(2)n=5，5+1=6
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2.若真數 x 在0、1之間
在小數點後面第m位出現非0數字
 log x的首數n = - m
例如：
0.0023=2.310-3
◎ 註： m=| n |
返回
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例題三：求下面對數值之首數
(1)log 0.0345
解：
0.0345
= 3.4510-2
log0.0345之首數為-2
(2)log0.00007
解：
0.00007
= 710-5
log0.00007之首數為-5
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隨堂練習3：求下面對數值之首數
(1)log 0.9009
(2)log0.002
解答提示：
(1)0.9009=9.009 10-1
(2)0.002=2 10-3
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例題四：求下列真數X在小數點後
第幾位出現非0數字？
(1)logx=-5+0.321
解：
首數 n= -5
真數x在小數點後
第5位出現非0數字。
(2)logx=-3.245
解：
logx= - 3.245
= -4 + 0.755
首數 n= -4
真數x在小數點後
第4位出現非0數字。
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隨堂練習4：求下列真數X在小數
點後第幾位出現非0數字？
(1)logx=-4+0.214
(2)logx=-2.01
解答提示：
(1)n=-4
(2)-2.01=-3+0.99,n=-3
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(五) 首數的應用
• 230乘開後是幾位數？
• (1/2)20乘開後，在小數點後第幾位
出現非0的數？
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例題五： 230乘開後是幾位數？(log2=0.3010)
解： (求log 230之首數)
重點提示
令x = 230
 log x = log 230 = 30 log 2
= 300.3010 = 9.030 = 9 + 0.030
 log x 首數為9  x 為10位數
故 230乘開後是10位數
隨堂練習5： 2100乘開後是幾位數？
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例題六：(1/2)20乘開後，在小數點後第幾
位出現非0的數字？ (log2=0.3010)
解： (求log(1/2)20之首數)
重點提示
令x = (1/2)20
 log x = log (1/2)20 = 20 log(1/2)
= -20 log 2 = -200.3010
= -6.020
= -7 + 0.980
 log x 首數為 -7
 x 在小數點後第7位出現非0的數
故(1/2)20乘開後在小數點後第7位出現非0的數字
隨堂練習6：(1/2)100乘開後，在小數點後第
幾位出現非0的數字？
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◎重點總結
今天上了哪些？我們再重新回想一次！
• 常用對數定義
• 常用對數應用
• 任意正數之科學記號表示
• 任意正數之對數可表示為(首數 + 尾數)
(整數 + 0或正純小數)
• 首數之應用(與位數關係)
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