Transcript 數學1之5科學記號
科學記號 科學記號的四則運算 科學記號的應用 自 我 評 量 在國小時，正整數24865是表示「2個萬＋4 個千＋8個百＋6個十＋5個一」，也就是24865＝ 2×10000＋4×1000＋8×100＋6×10＋5×1。其中， 10的次方記法如下表所示： 位名 萬位 千位 位值 10000 1000 10的次方 104 103 百位 100 102 十位 10 101 個位 1 100 上式利用指數的記法可記成 24865＝ 2×104＋4×103＋8×102＋6×101＋5×100。 而小數 0.2345 是表示「2 個 0.1＋3 個 0.01＋4 個 0.001＋5 個 0.0001 」，也就是 0.2345＝2×0.1 ＋3×0.01＋4×0.001＋5×0.0001， 其中 0.1＝10－1、 0.01＝( 0.1 )2 ＝10－2，其他小 數用 10 的次方記法如下表 ： 位名 萬位 千位 百位 十位 1 1 1 ＝0.01 ＝0.001 10000 ＝0.0001 1 1000 100 位值 10 ＝0.1 ＝(0.1)2 ＝(0.1)3 ＝(0.1)4 10的 次方 10－1 10－2 10－3 10－4 因此，0.2345就可記為2×10－1＋3×10－2＋4×10－3 ＋5×10－4。 在下列各小題的空格中填入適當的整數： (1)123456＝1×10□＋2×10□＋3×10□＋4×10□＋ 5×10□＋6×10□ (2)9.8765＝9×10□＋8×10□＋7×10□＋6×10□＋ 5×10□ (1) 5、4、3、2、1、0 (2) 0、－1、－2、－3、－4 在科學領域及生活中有一些很大或很小的正 數，這樣的數字很冗長，容易讀錯，也不方便記 憶，更不容易比較大小，所以科學家就利用指數 記法記錄這種數。例如：光在真空中的傳播速率 是 每 秒 300000000公 尺 ， 利 用 指 數 記 法 可 記 為 3×108公尺。另外像3600000利用指數記法可記為 36×105 ，也可再進一步寫成3.6×10×105 ，也就是 3.6×106。 同樣地，當小數點後面有許多 0 時，也適 合用指數記法來表示。例如： 0.000000005＝5 × 0.000000001 (0.1)n＝10－n ＝5×（0.1）9＝5×10－9 像這樣把一個數記錄為 a × 10m的形式（其中 1≦a＜10， m 為整數），稱為科學記號。符號 「≦」讀作「小於或等於」，意思是「小於」或 「等於」中有一種情形成立就可以。 1 科學記號的記法 搭配習作P19 基礎題 1 請以科學記號記錄下列各數： (1)80000 (2)120000 (3)0.00000007 (4)0.000035 解 (1)80000＝8×10000＝8×104 (2)120000＝12×10000＝1.2×100000＝1.2×105 (3)0.00000007＝7×0.00000001＝7×(0.1)8＝7×10－8 (4)0.000035＝3.5×0.00001＝3.5×(0.1)5＝3.5×10－5 請以科學記號記錄下列各數： (1)30000000 (1) 3×107 (2)8400000 (2) 8.4×106 (3)0.00004 (3) 4×10－5 (4)0.000000062 (4) 6.2×10－8 搭配習作P19 基礎題 2 2 科學記號轉換 (1)將1.234×107化成整數，並判斷它是幾位數。 (2)將5.6×10－4化成小數，並判斷它從小數點後 第幾位開始出現不是0的數字。 解 (1)1.234×107 ＝12340000 所以1.234×107是8位數。 (2)5.6×10－4=0.00056 所以5.6×10－4從小數點後第4位開始出現不 是0 的數字。 (1)將7.68×104化成整數，並判斷它是幾位數。 (1)76800，5 位數。 (2)將2.345×10－6化成小數，並判斷它從小數點 後第幾位開始出現不是 0的數字。 (2)0.000002345，第6位後開始出現不是0的 數字。 由例題2與隨堂練習，我們發現 (1) 若 m 是正整數，科學記號 a×10m 化為整數後 是(m＋1) 位數。 (2)若 m 是正整數，科學記號 a×10－m 在小數點 後第 m 位開始出現不是 0 的數字。 搭配習作P19 基礎題 3 3 科學記號表示的數比較大小 比較下列各小題中兩數的大小關係： (1)6.1×108、9.35×107 (2)9.5×10－5、8.7×10－3 解 (1)6.1×108 ＝6.1×10×107 ＝61×107 因為 61×107＞9.35×107 所以 6.1×108＞9.35×107 (2)9.5×10－5 ＝9.5×(0.1)5 ＝9.5× (0.1)2× (0.1)3 ＝9.5×0.01×10－3 ＝0.095×10 －3 因為 8.7×10－3＞0.095×10 －3 所以 8.7×10－3＞9.5×10－5 比較下列各小題中兩數的大小關係： 6 ＜ (1)7.53×105______5.49×10 －5 ＞ (2)2.45×10－4________7.829×10 搭配習作P19 基礎題 4(1)、(2) 4 利用指數律作計算並寫成科學記號 計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (1)（7×109）×（4×105） (2)（7×109）÷（4×105） 1 (3) 5103 解 (1) 7×109×4×105 ＝7×4×109×105 ＝28×1014 ＝2.8×1015 28 × 1014 ＝2.8×10×1014 ＝2.8×1015 (2)（7×109）÷（4×105） 9 7 10 ＝ 4105 9 7 10 ＝4 × 5 10 ＝1.75×109－5 ＝1.75×104 解 (3) 1 5103 ＝ 1 × 13 5 10 ＝0.2 × 10－3 ＝2 × 10－4 0.2 × 10－3 ＝2 × 0.1 × (0.1)3 ＝2 × (0.1)4 ＝2 × 10－4 計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (1) 9×3.6×106 (2)（3×106）×（2.3×102） 3.24×107 (3)（3×106）÷（5×102） 6×103 6.9×108 搭配習作P20 基礎題 4(3)、(4) 5 科學記號的加減 計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (1) 2.1×10－7＋3.5×10－7 (2) 4.3×106－5.1×105 解 (1) 2.1×10－7＋ 3.5×10－7 ＝（2.1＋3.5）×10－7 ＝5.6×10－7 a×c＋b×c＝(a＋b)×c 解 (2) 4.3×106－5.1×105 ＝43×105－5.1×105 4.3×106＝4.3×10×106 ＝43×105 ＝（43－5.1）×105 ＝37.9×105 ＝3.79×106 37.9×105＝3.79×10×105 ＝3.79×106 計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (1) 3.21×10－9＋4.39×10－9 7.6×10－9 (2)2.4×106＋8.1×105 3.21×106 (3)7.26×10－5－4.789×10－5 2.471 × 10－5 (4)1.3×107－4.8×106 8.2 × 106 在物理學或天文學上， 科學記號常用來記錄一些很 大或很小的正數，例如：太 陽的質量約為1.9892×1030公 斤，地球的質量約為 5.9742×1024公斤等。 隨著科技的進步，除了科學記號外，我們 也會以更適當的單位來表示較大或較小的量。 例如：計算硬碟容量的 MB ( Megabyte )、GB ( Gigabyte ) 等，或是測量長度的微米 (μm)、 奈米( nm ) 等，這些都是大家耳熟能詳的單位。 電腦計量單位 1 MB＝220 bytes＝1048576 bytes 約等於106bytes 1 GB＝210 MB＝1024 MB 約等於 103 MB 1 TB＝210 GB＝1024 GB 約等於 106MB 重量單位 1 公噸（t）＝1000000 公克（g）＝106公克 1 公斤（kg）＝1000 公克＝103公克 1 毫克（mg）＝0.001 公克＝10－3公克 長度單位 1 公里（km）＝1000 公尺（m）＝103 公尺 1 公分（cm）＝0.01 公尺＝10－2 公尺 1 公釐（mm）＝0.001 公尺＝10－3 公尺 1 微米（μm）＝0.000001 公尺＝10－6 公尺 1 奈米（nm）＝0.000000001 公尺＝10－9 公尺 奈米是「啥米」？ 奈米（nanometer）是長度的單位。 1奈米＝十億分之一公尺（meter）＝10－9公尺， 約為分子或 DNA 的大小，或是頭髮直徑的十萬 分之一。 搭配習作P20 基礎題 5 6 科學記號的應用 瑋柏買了一個MP3隨身聽，記憶體有40GB的容 量，若一首歌約佔3.2MB的空間，請問： (1)40GB約等於多少MB？試以科學記號表示。 （1GB約等於 1000MB） (2)瑋柏的MP3隨身聽可以儲存約多少首歌曲？ 解 (1) 40GB約等於40 × 1000 MB ＝40000 MB ＝4 × 104MB (2)（4 × 104）÷ 3.2＝1.25 × 104＝12500 (首) 奈米口罩的織布縫隙寬為 1 奈米，而 SARS 病毒的大小為 0.08 微米，請問 0.08 微米與 1 奈米何者較大？ （1 奈米＝10－9 公尺， 1 微米＝10－6 公尺） 0.08 微米較大 搭配習作P20 基礎題 5 7 科學記號的應用 太陽至地球的平均距離，稱為 1 天文單位 （Astronomical Unit，簡寫為AU）， 1AU 約等 於 1.496×108 公里。民國 96 年 7 月臺灣鹿林天 文台發現一顆新彗星，命名為「鹿林」，該彗 星當時的位置在木星與土星間，寶瓶座方向， 距離地球約 5.5 AU，請用科學記號表示其距離 約是多少公里。 解 5.5 × 1.496 × 108＝8.228 × 108 所以該彗星當時的位置距離地球約 8.228 × 108公里。 民國97年發生牛奶含三聚氰胺的事件，衛生署 為了替國人的飲食安全把關，規定以 2.5 ppm 做為判定三聚氰胺含量是否過高的標準。如果 每 1 公克的溶液中含有 10－6 公克的某物質， 就稱此溶液中含有此物質 1 ppm。試問檢驗值 為 2.5 ppm 的 350 公克飲料中含有多少公克的 三聚氰胺？ 8.75×10－4公克 認識 ppm 百萬分率「ppm」，是由英文的「Parts Per Million」 1 縮寫而來，1 ppm 即是一百萬分之一（106）。 也就是說，1 ppm 是指： 「每1000公斤的溶液中，含有1公克的某物質」、 「每1公斤的溶液中，含有1毫克（mg）的某物 質」、或是「每1公克的溶液中，含有10－6 公克 的某物質」。 （1 公斤＝103 公克 → 1000 公斤＝106 公克） （1 公克＝103 毫克 → 1 公斤＝106 毫克） 例如：1 公斤的紅茶中含有 2.5 毫克的咖啡因，則 此紅茶的咖啡因含量就是 2.5 ppm 。 1.科學記號：以 a × 10m表示一個數，其中 1≦a＜10，m 為整數，此種記錄方法稱為科 學記號表示法。 2.幾位數的判斷：若 m 是正整數，科學記號 a × 10m化為整數後是（m＋1）位數。 3.小數點後第幾位不為0的判斷：若 m 是正整 數，科學記號a × 10－m在小數點後第 m 位開 始出現不是 0 的數字。 1-5 自我評量 1.請以科學記號記錄下列各數： (1) 32000 ＝3.2×104 (3) 0.000008 ＝ 8×10－6 (2) 9340000 ＝ 9.34×106 (4) 0.0000000315 ＝3.15×10－8 2.(1) 將7 × 105化成整數，並判斷它是幾位數。 700000，6 位數。 (2) 將 3 × 10－6化成小數，並判斷它從小數點 後第幾位開始出現不是 0 的數字。 0.000003，第 6 位後開始出現不是 0 的數字。 3.試比較下列各小題中兩數的大小關係： (1)6×104、7.2×103 6×104＞7.2×103 (2)4.96×10－8、3.21×10－5 4.96×10－8＜3.21×10－5 4.利用指數律計算下列各式的值，並將結果用科 學記號表示。 (1) 5×105 × 1.2×103 (2) 4×102 ×1.63×10－7 6×108 6.52×10 －5 (3)（2.8×109）÷（4×106）7×102 5.計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (1)1.2×10－5＋9.5×10－5 (2)6.8×105 －7.2×104 6.08×105 1.07×10－4 6.天文學上也常用光年來表示長度與距離，光在 一年內傳播的距離，稱為1光年，大約等於 9.46×1012 公里。美國天體物理學家於西元2008 年6月宣布他們在銀河系中發現了迄今為止觀 測到的最小的太陽系外行星，此行星距離地球 大約3000光年。試用科學記號表示其距離約是 多少公里。 2.838×1016公里 7.英國科學家道耳吞根據一些實驗的結果，提出 了「原子說」，認為一切物質都是由稱為原子 的微小粒子所組成，相同元素的原子，其原子 質量皆相同。如果6.02×1023個「碳－12」原子 的質量為12公克，則180公克的「碳－12」含 有多少個碳原子？（用科學記號表示其個數） 9.03×1024個 生活中的「正」與「負」 《九章算術》是我國古代相當重要的數學 書籍，其中一卷，以收入的數目為正，支出的 數目為負；餘錢為正，不足錢為負。「正」、 「負」這一對術語，便一直沿用到現在。 西方國家，到十五世紀後才正式應用負數， 並以不同的符號表示正、負數。直至二十世紀初 ， 美國人亨廷頓（Edward Vermilye Huntington， 1874-1952）才開始採用現在的正、負數符號形式， 如＋3、＋2、＋1、－1、－2、－3 等。 正、負數的運用，可以避免數字過大的運算 ，並方便記數，我們來看看生活中的情況吧！ 某次月考慧欣將每科成績標準訂在 90 分， 月考過後，慧欣製作了一份成績表如下： 科目 國 文 89 公 民 96 數 學 92 英 文 98 地 理 97 歷 史 85 生 物 87 成績(分) 成績－90 －1 ＋6 ＋2 ＋8 ＋7 －5 －3 (分) 這樣做有什麼便利之處嗎？當慧欣要算總分 及平均分數時，可以這麼做： (1) ( －1 )＋6＋2＋8＋7＋( －5 )＋( －3 )＝＋14 所以總分＝90 × 7＋14＝644 (分) (2) ( ＋14 ) ÷ 7＝＋2 平均每科多2分， 所以平均分數＝90＋2＝92 (分) 另外，球類運動中 的高爾夫球，記錄桿數 時也是採用正、負數的 記法，假設有一洞標準 桿是5桿，如果打了4桿 進洞，就說低於標準桿 1桿，可以簡記為－1。