Transcript 數學1之5科學記號
科學記號
科學記號的四則運算
科學記號的應用
自 我 評 量
在國小時,正整數24865是表示「2個萬+4
個千+8個百+6個十+5個一」,也就是24865=
2×10000+4×1000+8×100+6×10+5×1。其中,
10的次方記法如下表所示:
位名
萬位 千位
位值
10000 1000
10的次方 104
103
百位
100
102
十位
10
101
個位
1
100
上式利用指數的記法可記成
24865= 2×104+4×103+8×102+6×101+5×100。
而小數 0.2345 是表示「2 個 0.1+3 個 0.01+4
個 0.001+5 個 0.0001 」,也就是 0.2345=2×0.1
+3×0.01+4×0.001+5×0.0001,
其中 0.1=10-1、 0.01=( 0.1 )2 =10-2,其他小
數用 10 的次方記法如下表 :
位名
萬位
千位
百位
十位
1
1
1 =0.01
=0.001 10000 =0.0001
1
1000
100
位值 10 =0.1
=(0.1)2
=(0.1)3
=(0.1)4
10的
次方
10-1
10-2
10-3
10-4
因此,0.2345就可記為2×10-1+3×10-2+4×10-3
+5×10-4。
在下列各小題的空格中填入適當的整數:
(1)123456=1×10□+2×10□+3×10□+4×10□+
5×10□+6×10□
(2)9.8765=9×10□+8×10□+7×10□+6×10□+
5×10□
(1) 5、4、3、2、1、0
(2) 0、-1、-2、-3、-4
在科學領域及生活中有一些很大或很小的正
數,這樣的數字很冗長,容易讀錯,也不方便記
憶,更不容易比較大小,所以科學家就利用指數
記法記錄這種數。例如:光在真空中的傳播速率
是 每 秒 300000000公 尺 , 利 用 指 數 記 法 可 記 為
3×108公尺。另外像3600000利用指數記法可記為
36×105 ,也可再進一步寫成3.6×10×105 ,也就是
3.6×106。
同樣地,當小數點後面有許多 0 時,也適
合用指數記法來表示。例如:
0.000000005=5 × 0.000000001
(0.1)n=10-n
=5×(0.1)9=5×10-9
像這樣把一個數記錄為 a × 10m的形式(其中
1≦a<10, m 為整數),稱為科學記號。符號
「≦」讀作「小於或等於」,意思是「小於」或
「等於」中有一種情形成立就可以。
1 科學記號的記法
搭配習作P19 基礎題 1
請以科學記號記錄下列各數:
(1)80000 (2)120000 (3)0.00000007 (4)0.000035
解
(1)80000=8×10000=8×104
(2)120000=12×10000=1.2×100000=1.2×105
(3)0.00000007=7×0.00000001=7×(0.1)8=7×10-8
(4)0.000035=3.5×0.00001=3.5×(0.1)5=3.5×10-5
請以科學記號記錄下列各數:
(1)30000000
(1) 3×107
(2)8400000
(2) 8.4×106
(3)0.00004
(3) 4×10-5
(4)0.000000062
(4) 6.2×10-8
搭配習作P19 基礎題 2
2 科學記號轉換
(1)將1.234×107化成整數,並判斷它是幾位數。
(2)將5.6×10-4化成小數,並判斷它從小數點後
第幾位開始出現不是0的數字。
解 (1)1.234×107 =12340000
所以1.234×107是8位數。
(2)5.6×10-4=0.00056
所以5.6×10-4從小數點後第4位開始出現不
是0 的數字。
(1)將7.68×104化成整數,並判斷它是幾位數。
(1)76800,5 位數。
(2)將2.345×10-6化成小數,並判斷它從小數點
後第幾位開始出現不是 0的數字。
(2)0.000002345,第6位後開始出現不是0的
數字。
由例題2與隨堂練習,我們發現
(1) 若 m 是正整數,科學記號 a×10m 化為整數後
是(m+1) 位數。
(2)若 m 是正整數,科學記號 a×10-m 在小數點
後第 m 位開始出現不是 0 的數字。
搭配習作P19 基礎題 3
3 科學記號表示的數比較大小
比較下列各小題中兩數的大小關係:
(1)6.1×108、9.35×107 (2)9.5×10-5、8.7×10-3
解 (1)6.1×108
=6.1×10×107
=61×107
因為
61×107>9.35×107
所以
6.1×108>9.35×107
(2)9.5×10-5
=9.5×(0.1)5
=9.5× (0.1)2× (0.1)3
=9.5×0.01×10-3
=0.095×10 -3
因為
8.7×10-3>0.095×10 -3
所以
8.7×10-3>9.5×10-5
比較下列各小題中兩數的大小關係:
6
<
(1)7.53×105______5.49×10
-5
>
(2)2.45×10-4________7.829×10
搭配習作P19 基礎題 4(1)、(2)
4 利用指數律作計算並寫成科學記號
計算下列各式的值,並以科學記號表示其結果。
(1)(7×109)×(4×105) (2)(7×109)÷(4×105)
1
(3) 5103
解 (1)
7×109×4×105
=7×4×109×105
=28×1014
=2.8×1015
28 × 1014
=2.8×10×1014
=2.8×1015
(2)(7×109)÷(4×105)
9
7
10
=
4105
9
7
10
=4 × 5
10
=1.75×109-5
=1.75×104
解 (3)
1
5103
= 1 × 13
5 10
=0.2 × 10-3
=2 × 10-4
0.2 × 10-3
=2 × 0.1 × (0.1)3
=2 × (0.1)4
=2 × 10-4
計算下列各式的值,並以科學記號表示其結果。
(1) 9×3.6×106
(2)(3×106)×(2.3×102)
3.24×107
(3)(3×106)÷(5×102)
6×103
6.9×108
搭配習作P20 基礎題 4(3)、(4)
5 科學記號的加減
計算下列各式的值,並以科學記號表示其結果。
(1) 2.1×10-7+3.5×10-7
(2) 4.3×106-5.1×105
解 (1) 2.1×10-7+ 3.5×10-7
=(2.1+3.5)×10-7
=5.6×10-7
a×c+b×c=(a+b)×c
解 (2) 4.3×106-5.1×105
=43×105-5.1×105
4.3×106=4.3×10×106
=43×105
=(43-5.1)×105
=37.9×105
=3.79×106
37.9×105=3.79×10×105
=3.79×106
計算下列各式的值,並以科學記號表示其結果。
(1) 3.21×10-9+4.39×10-9
7.6×10-9
(2)2.4×106+8.1×105
3.21×106
(3)7.26×10-5-4.789×10-5 2.471 × 10-5
(4)1.3×107-4.8×106
8.2 × 106
在物理學或天文學上,
科學記號常用來記錄一些很
大或很小的正數,例如:太
陽的質量約為1.9892×1030公
斤,地球的質量約為
5.9742×1024公斤等。
隨著科技的進步,除了科學記號外,我們
也會以更適當的單位來表示較大或較小的量。
例如:計算硬碟容量的 MB ( Megabyte )、GB
( Gigabyte ) 等,或是測量長度的微米 (μm)、
奈米( nm ) 等,這些都是大家耳熟能詳的單位。
電腦計量單位
1 MB=220 bytes=1048576 bytes 約等於106bytes
1 GB=210 MB=1024 MB 約等於 103 MB
1 TB=210 GB=1024 GB 約等於 106MB
重量單位
1 公噸(t)=1000000 公克(g)=106公克
1 公斤(kg)=1000 公克=103公克
1 毫克(mg)=0.001 公克=10-3公克
長度單位
1 公里(km)=1000 公尺(m)=103 公尺
1 公分(cm)=0.01 公尺=10-2 公尺
1 公釐(mm)=0.001 公尺=10-3 公尺
1 微米(μm)=0.000001 公尺=10-6 公尺
1 奈米(nm)=0.000000001 公尺=10-9 公尺
奈米是「啥米」?
奈米(nanometer)是長度的單位。
1奈米=十億分之一公尺(meter)=10-9公尺,
約為分子或 DNA 的大小,或是頭髮直徑的十萬
分之一。
搭配習作P20 基礎題 5
6 科學記號的應用
瑋柏買了一個MP3隨身聽,記憶體有40GB的容
量,若一首歌約佔3.2MB的空間,請問:
(1)40GB約等於多少MB?試以科學記號表示。
(1GB約等於 1000MB)
(2)瑋柏的MP3隨身聽可以儲存約多少首歌曲?
解 (1) 40GB約等於40 × 1000 MB
=40000 MB =4 × 104MB
(2)(4 × 104)÷ 3.2=1.25 × 104=12500 (首)
奈米口罩的織布縫隙寬為 1 奈米,而 SARS
病毒的大小為 0.08 微米,請問 0.08 微米與
1 奈米何者較大? (1 奈米=10-9 公尺,
1 微米=10-6 公尺)
0.08 微米較大
搭配習作P20 基礎題 5
7 科學記號的應用
太陽至地球的平均距離,稱為 1 天文單位
(Astronomical Unit,簡寫為AU), 1AU 約等
於 1.496×108 公里。民國 96 年 7 月臺灣鹿林天
文台發現一顆新彗星,命名為「鹿林」,該彗
星當時的位置在木星與土星間,寶瓶座方向,
距離地球約 5.5 AU,請用科學記號表示其距離
約是多少公里。
解 5.5 × 1.496 × 108=8.228 × 108
所以該彗星當時的位置距離地球約
8.228 × 108公里。
民國97年發生牛奶含三聚氰胺的事件,衛生署
為了替國人的飲食安全把關,規定以 2.5 ppm
做為判定三聚氰胺含量是否過高的標準。如果
每 1 公克的溶液中含有 10-6 公克的某物質,
就稱此溶液中含有此物質 1 ppm。試問檢驗值
為 2.5 ppm 的 350 公克飲料中含有多少公克的
三聚氰胺?
8.75×10-4公克
認識 ppm
百萬分率「ppm」,是由英文的「Parts Per Million」
1
縮寫而來,1 ppm 即是一百萬分之一(106)。
也就是說,1 ppm 是指:
「每1000公斤的溶液中,含有1公克的某物質」、
「每1公斤的溶液中,含有1毫克(mg)的某物
質」、或是「每1公克的溶液中,含有10-6 公克
的某物質」。
(1 公斤=103 公克 → 1000 公斤=106 公克)
(1 公克=103 毫克 → 1 公斤=106 毫克)
例如:1 公斤的紅茶中含有 2.5 毫克的咖啡因,則
此紅茶的咖啡因含量就是 2.5 ppm 。
1.科學記號:以 a × 10m表示一個數,其中
1≦a<10,m 為整數,此種記錄方法稱為科
學記號表示法。
2.幾位數的判斷:若 m 是正整數,科學記號
a × 10m化為整數後是(m+1)位數。
3.小數點後第幾位不為0的判斷:若 m 是正整
數,科學記號a × 10-m在小數點後第 m 位開
始出現不是 0 的數字。
1-5 自我評量
1.請以科學記號記錄下列各數:
(1) 32000
=3.2×104
(3) 0.000008
= 8×10-6
(2) 9340000
= 9.34×106
(4) 0.0000000315
=3.15×10-8
2.(1) 將7 × 105化成整數,並判斷它是幾位數。
700000,6 位數。
(2) 將 3 × 10-6化成小數,並判斷它從小數點
後第幾位開始出現不是 0 的數字。
0.000003,第 6 位後開始出現不是 0 的數字。
3.試比較下列各小題中兩數的大小關係:
(1)6×104、7.2×103
6×104>7.2×103
(2)4.96×10-8、3.21×10-5
4.96×10-8<3.21×10-5
4.利用指數律計算下列各式的值,並將結果用科
學記號表示。
(1) 5×105 × 1.2×103
(2) 4×102 ×1.63×10-7
6×108
6.52×10 -5
(3)(2.8×109)÷(4×106)7×102
5.計算下列各式的值,並以科學記號表示其結果。
(1)1.2×10-5+9.5×10-5 (2)6.8×105 -7.2×104
6.08×105
1.07×10-4
6.天文學上也常用光年來表示長度與距離,光在
一年內傳播的距離,稱為1光年,大約等於
9.46×1012 公里。美國天體物理學家於西元2008
年6月宣布他們在銀河系中發現了迄今為止觀
測到的最小的太陽系外行星,此行星距離地球
大約3000光年。試用科學記號表示其距離約是
多少公里。 2.838×1016公里
7.英國科學家道耳吞根據一些實驗的結果,提出
了「原子說」,認為一切物質都是由稱為原子
的微小粒子所組成,相同元素的原子,其原子
質量皆相同。如果6.02×1023個「碳-12」原子
的質量為12公克,則180公克的「碳-12」含
有多少個碳原子?(用科學記號表示其個數)
9.03×1024個
生活中的「正」與「負」
《九章算術》是我國古代相當重要的數學
書籍,其中一卷,以收入的數目為正,支出的
數目為負;餘錢為正,不足錢為負。「正」、
「負」這一對術語,便一直沿用到現在。
西方國家,到十五世紀後才正式應用負數,
並以不同的符號表示正、負數。直至二十世紀初
, 美國人亨廷頓(Edward Vermilye Huntington,
1874-1952)才開始採用現在的正、負數符號形式,
如+3、+2、+1、-1、-2、-3 等。
正、負數的運用,可以避免數字過大的運算
,並方便記數,我們來看看生活中的情況吧!
某次月考慧欣將每科成績標準訂在 90 分,
月考過後,慧欣製作了一份成績表如下:
科目
國
文
89
公
民
96
數
學
92
英
文
98
地
理
97
歷
史
85
生
物
87
成績(分)
成績-90
-1 +6 +2 +8 +7 -5 -3
(分)
這樣做有什麼便利之處嗎?當慧欣要算總分
及平均分數時,可以這麼做:
(1) ( -1 )+6+2+8+7+( -5 )+( -3 )=+14
所以總分=90 × 7+14=644 (分)
(2) ( +14 ) ÷ 7=+2
平均每科多2分,
所以平均分數=90+2=92 (分)
另外,球類運動中
的高爾夫球,記錄桿數
時也是採用正、負數的
記法,假設有一洞標準
桿是5桿,如果打了4桿
進洞,就說低於標準桿
1桿,可以簡記為-1。