Transcript 1.3.1函数的单调性

1.3 函数的基本性质
1.3.1函数的单调性
探究一
问题1：图象的升降情况如何
问题2：如何描述随着自变量x值的变化函数值f(x)的变化情况
y
yx
2
f ( x1 )
x1
O
x
y
yx
2
f ( x1 )
x1
O
x
y
yx
2
f ( x1 )
x1 O
x
y
yx
2
f ( x1 )
x1 O
x
y
yx
2
f ( x1 )
O x1
x
y
yx
2
f ( x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f ( x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f ( x1 )
O
x1
x
y
yx
2
f ( x1 )
O
x1
x
概念生成
y
y  f ( x)
f (x1 )
O
x1
y  f ( x)
y
f (x1 )
f (x 2 )
x2
x
f (x 2 )
O
x1
x2
x
问题3 如何用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大
取值时，函数值依次增大？
一、函数单调性定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定
义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 ，x2 ，当
x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是
增函数．
y
y  f (x)
f (x1 )
O
x1
y  f (x)
y
f (x 2 )
x2
x
f (x1 )
O
x1
f (x 2 )
x2
x
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自
变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)
在区间D上是减函数 ．
y
y  f ( x)
f (x1 )
O
x1
y  f ( x)
y
f (x1 )
f (x 2 )
x2
x
f (x 2 )
O
x1
x2
x
函数的单调性定义：如果函数 y＝f(x)在某个区间上是增函
数或是减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间．
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根
据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它
是增函数还是减函数？
[5, 2) [1,3) 上是减函数，这个说
小结 该函数在区间
当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”
法对吗？
分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间
D 上函数
要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
练习1
1.说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上是
增函数还是减函数
2.探究一次函数的增减性
y
y
o
y=kx+b (k>0)
x
o
y=kx+b (k<0)
x
k
p

例2、物理学中的玻意耳定律 V (k为正常数) 告诉
我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p
将增大。试用函数的单调性证明之。
二．判断函数单调性的方法
1、利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的
单调性的一般步骤：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单
调性）．
P32练习4
练习2
1
证明：函数 f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数．
y
o
x
二．判断函数单调性的方法
1、利用定义证明函数f(x) 单调性
2、分析函数的图象。
3、利用已知函数单调性判断
y
o
y
x
在(-∞,+∞)
是减函数
y
o
o
x
x
在(-∞,0)
和(0,+∞)
都是减函数
b 

在  - ，- 2a 
x
增函数
 b


,


在  2a 
减函数
o
y
o
∞,+∞)是
增函数
y
y
o
在(-
x
在(-∞,0)
和(0,+∞)
都是增函数
 b


,


在  2a 
增函数
x 在 - ，- b 
2a 

减函数
三．函数单调性的应用
例 3 已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1－a)<f(2a－1)，
求 a 的取值范围．
练习3 如果 f(x)＝x2＋bx＋c 对任意实数 t 都有 f(3＋t)＝f(3－t)，
那么
(
A．f(3)<f(1)<f(6)
B．f(1)<f(3)<f(6)
C．f(3)<f(6)<f(1)
D．f(6)<f(3)<f(1)
)
三．函数单调性的应用
例4.函数f ( x)  x 2  2(a  1) x  2在区间 , 4
上单调递减求实数
.
a的取值范围.
四．小结
1.什么是增函数，减函数
2.什么是函数的单调性
3.什么是函数的单调区间
取值
作差
4.如何证明函数的单调性
变形
定号
结论
作业
1． 课本P39 习题1．3（A组） 第1、 2题．
2． 作业本．