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普通高中课程标准实验教科书 数学（A版本） 简 介 人民教育出版社 张唯一 一、教材总体结构 二、基本观点和总体目标 三、教材编写指导思想 四、重点考虑的几个问题 五、实验情况简介 六、对今后实验工作的几点思考 七、配套资源简介 一、教材总体结构 二、基本观点和总体目标 三、教材编写指导思想 四、重点考虑的几个问题 五、实验情况简介 六、对今后实验工作的几点思考 七、配套资源简介 一、教材总体结构 基于“构建共同基础、提供发展 平台”“提供多样课程、适应个性选 择”的课程改革理念，《普通高中数 学课程标准（实验）》把高中数学课 程分为必修课程和选修课程。 • 必修：数学1～数学5五个模块 • 选修：系列1～系列4 –系列1两个模块 –系列2三个模块 –系列3六个专题 –系列4十个专题 注:(1)每个模块36个课时，每个专题18个课时。 (2)4学时/周，9周+1周/模块 • 必修内容确定的原则:满足未来公民的基本 数学需求,为学生的进一步的学习提供必要 的数学准备。 • 选修内容确定的原则：满足学生的兴趣和对 未来发展的需求，为学生进一步学习、获得 较高数学素养奠定基础。其中 –系列1：人文、社会科学 –系列2：理工、经济 –系列3与4：进一步提高数学素养 系列1 系列2 系列3 系列4 选修36 选修410 选修35 选修49 选 修 选修34 选修1-2 选修1-1 必 修 数学1 … 选修2-3 选修33 选修4-3 选修2-2 选修32 选修42 选修2-1 选修31 选修4-1 数学2 数学3 数学4 数学5 必修模块（各36课时） • 数学1：集合、函数概念与基本初等函数 I（指数函数、对数函数、幂函数）； • 数学2：立体几何初步、平面解析几何初 步； • 数学3：算法初步、统计、概率； • 数学4：基本初等函数II（三角函数）、 平面上的向量、三角恒等变换； • 数学5：解三角形、数列、不等式。 必选模块（各36课时） • 系列1：文科必选 • 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数 及其应用； • 选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与 复数的引入、框图。 • 系列2：理科必选 • 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间 中的向量与立体几何； • 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩 充与复数的引入； • 选修2-3：计数原理、概率、统计案例。 选修系列3 （各18课时） • • • • • • • 1. 数学史选讲； 2. 信息安全与密码； 3. 球面上的几何； 4. 对称与群； 5. 欧拉公式与闭曲面分类； 6. 三等分角与数域扩充。 注：要求修得学分，不作为高考科目； 第2、5、6三个专题不再列入备选专题。 选修系列4（各18课时） • 1. • 2. • 3. • 4. • 5. 几何证明选讲； 矩阵与变换； 数列与差分； 坐标系与参数方程； 不等式选讲； • 6. 初等数论初步； • 7. 优选法与试验设计初步； • 8. 统筹法与图论初步； • 9. 风险与决策； • 10. 开关电路与布尔代数。 • 注：作为高考科目；第3、8、10三 个专题不再列入备选专题，只作为 课外读物出版。 选课建议 • 数学1～数学5，10学分（高中毕业） • 文科 –系列1两个模块+系列3两个专题，6学分 –系列1两个模块+系列3两个专题+系列4四个 专题，10学分 • 理科 –系列2三个模块+系列3两个专题+系列4两个 专题，10学分 –系列2三个模块+系列3两个专题+系列4六个 专题，14学分 一、教材总体结构 二、基本观点和总体目标 三、教材特点 四、教科书编写过程中 重点考虑的几个问题 五、实验情况简介 六、对今后实验工作的几点思考 七、配套资源简介 二、基本观点与总体目标 资深数学家担任主编，有大学教师、数学 教育理论工作者、优秀中学数学教师教研员 和中学数学教材专业编写人员共同组成编委 会。这样“四结合”的编写队伍在整体知识 结构上具有综合性、全面性，使教材的科学 性、思想性、时代性、适用性以及亲和力等 得到保障。 人教社中数室简介（57年的经验传承,人 员整齐、结构合理）。 （一）几个基本观点 1．坚持我国数学教育的优良传统 • 课程教材体系结构严谨，逻辑性强，语言叙 述条理清晰，文字简洁、流畅，有利于教师 组织教学，注重对学生进行基础训练等； • 教学强调概念理解和基本技能训练，强调为 学生铺设合理的认知台阶，强调变式训练等； • 学生学习刻苦，基础扎实，运算能力和逻辑 推理能力强等。 2.针对问题进行改革 • 数学教学“不自然”，强加于人，对 学生数学学习兴趣与内部动机都有不 利影响； • 缺乏问题意识，对学生的创新精神和 实践能力培养不利； • 重结果轻过程，“掐头去尾烧中段” ， 关注知识背景和应用不够，导致学习 过程不完整； • 重解题技能、技巧，轻普适性思考 方法的概括，方法论层次的内容渗 透不够，机械模仿多独立思考少， 数学思维层次不高； • 讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、 理性精神不够，对学生整体数学素 养的提高不利。 3.数学课改中应处理好的几个关系 • • • • • • • • • • 学生主体与教师主导 接受学习与发现学习 基础与创新 数学知识、能力与情感态度 数学化与情境化（直观与逻辑、具体与抽象 等） 独立思考与合作交流 过程与结果 面向全体与因材施教 书本知识与数学应用 …… （二）教科书总体目标： 坚持我国数学教育优良传统，认真处 理好继承、借鉴、发展、创新之间的关系 ，体现基础性、时代性、典型性和可接受 性，编写出一套符合学生终身发展需要的 ，体现社会发展及科学进步的，具有广泛 适应性的高质量的高中数学教科书。 主编寄语 1．为什么要学习数学？ ☞数学是有用的 ☞学数学对于提高个体能力至关重要 2．对数学的认识 ☞数学是自然的 数学教材讲背景、讲数学、讲应用 数学教材要自然、生动、活泼，不强加于人 ☞数学是清楚的 清楚的前提、清楚的推理，得出清楚的结论。 数学是易学的，因为它是清楚的；数学是难学 的，也因为它是清楚的。 3. 如何才能学好数学呢？ ☞学数学要摸索自己的学习方法 ☞要引导学生提问，使学生“看过问题三 百个，不会解题也会问” ☞要强调类比、推广、特殊化、化归等思 想方法的运用 ☞学数学趁年轻 一、教材总体结构 二、基本观点和总体目标 三、教材编写指导思想 四、重点考虑的几个问题 五、实验情况简介 六、对今后实验工作的几点思考 七、配套资源简介 三、教材编写指导思想 1.讲背景，讲思想，讲应用 知识的引入强调背景，使教材生动、自 然而亲切，让学生感到知识的发展水到渠 成而不是强加于人。 螺旋上升地安排核心数学概念和重要数 学思想；把握数学本质，保证科学性；强 调数学形式下的思考和推理训练。 通过解决具有真实背景的问题，引导学 生体会数学的作用与力量，发展应用意识。 案例一 函数概念的处理 （1）从典型实例出发引出函数概念 目的： • 加强背景，体现“数学模型”思想 • 加强概念形成过程 • 在学生头脑中形成丰富的函数例证 抽象概念的学习要从具体例证开 始 理解抽象概念需要具体例证的支 持 细节：实例的选择 背景实例 归纳、概括 获得定义 （2）实例的选择 解析式、图象、表格 目的：形成正确的函数概念 • 函数—描述变量间依赖关系的法则 • 不一定都有解析式 • 强调函数的三要素 • 某种笔记本的单价是每个5元 ，买x （x=1，2，3，4，5）个笔记本需要 y元 。试用三种表示法表示函数 y = f（x）。 • 某种笔记本的单价是每个5元，买x （x=1，2，3，4，5）个笔记本需要 y元。试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式，并画出这个函数的图象。 （3）函数性质的讨论 ——加强研究方法的引导 函数的重要特征 • 函数的增与减（单调性） • 函数的最大值、最小值 • 函数的增长率、衰减率 • 函数增长（减少）的快与慢 • 函数的零点 • 函数（图象）对称性（奇偶性） • 函数值的循环往复（周期性） （4）函数性质的讨论 ——加强几何直观、数形结合 “三步曲” • 观察图象 ， 描述变化规律 （上升、 下降） • 结合图、表，用自然语言描述变化 规律（y随x的增大而增大或减小） • 用数学符号语言描述变化规律 2.强调问题性、启发性 引导教、学方式的变革 遵循认知规律，以问题引导学 习，体现数学知识、学生认知的过 程性，促使学生主动探究，培养学 生的创新意识和应用意识，引导教、 学方式的改进。 案例二 统计一章中的问题 章 导 言 中 的 问 题 “观察”“思考”“探究”中的 问题 每一节的开篇尽量都以问题开始；以“观察”“思考”“探究”等栏目明确 提出问题，引导学生的数学活动，使他们认真观察具体实例中反映的数量关 系或几何特征，积极主动地开展实验与猜想、归纳与推理的活动，思考问题 的本质，探究解决问题的方法，使学生通过自己的探索思维来概括数学概念， 获得数学结论，多方寻求答案，解决疑问，领悟数学思想，理解数学本质 实习作业中的问题 小结中的问题 在小结中，从知识的联系、数学思想方法的高度提 出问题，引导学生从数学整体结构中把握相应的知 识。 3. 强调基础性 • 坚持“双基”不动摇，为学生终身 发展打好数学基础 ——把握好对新增内容的定位。 ——把握好对原有内容在要求和处理 上的变化。 • 在继承传统教材优点的基础上， “削枝强干”，加强教材的基础性 和可接受性。 案例三 无理指数幂 ——新增内容、夼实基础 通过数表和图体现 “用有理数逼近无 理数”的思想（逼近的思想），了解实数 指数幂的意义。 案例四 幂函数 ——新增、要求较低 通过实例了解概念，了解五个幂函 数的性质。 案例五 反函数——要求淡化 以具体函数为例理解反函数，没有给出 形式化的定义。 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x的对称性，不在正文中展现，只在拓展栏 目“探究与发现”中让学生去探究，且不出 结 论。 案例六 三角函数内容的处理 • 突出三角函数作为描述周期变化的数学模型 这一本质 • 以“实际问题——定义、诱导公式——图象 与性质——实际应用”为内容线索 • 减少函数类型（基本且重要的三类） • 突出基本变换公式的推导过程,重在培养学 生的推理和运算能力. • 删去了大纲中“已知三角函数值求角”、“ 反三角函数”等内容；降低了“给角求值” 、“三角恒等式证明”等要求。 ——“削枝强干”，加强教材的基础性和可接受 性。 4. 突出数学思考方法的引导 推广 类比 当前内容 特殊化 类比 案例七 向量中的类比 • 向量及其运算与数及其运算的类 比 向量的线性运算及运算律与数的 加减及其运算律的类比；向量的 坐标表示与平面直角坐标系中点 的表示类比；向量数量积的运算 律与数的乘法运算律的类比 5.适当使用信息技术 贯彻“必要性” “平衡性” “广泛性” “实践性” “实效性” 等原则，根据学习内容需要选择恰 当的信息技术工具 ，充分使用科学 型计算器，同时大力提倡各种数学 软件的使用。 一、教材总体结构 二、基本观点和总体目标 三、教材编写指导思想 四、重点考虑的几个问题 五、实验情况简介 六、对今后实验工作的几点思考 七、配套资源简介 四、重点考虑的几个问题 1．亲和力 以自然、亲切、生动活泼的呈现方式， 激发学生的兴趣和美感，引发学习激情。 在体现知识归纳概括过程中的数学思想、 解决各种问题中数学的力量、数学探究和 论证方法的优美和精彩之处、数学的科学 和文化价值等地方，将作者的感受用 “旁批”等方式呈现，与学生交流。 引发学习的兴趣 明确学习目标 感受数学的价值 犹如故事 叙述，娓 娓道来， 浓浓文化 气息迎面 而来，求 知欲望随 之燃起 数学论证中 的知识点, 数学探究和 论证方法的 优美和精彩 之处， 数学的科学和文化价值等地方，将作者的感受用 “旁批”等方式呈现，与学生交流。 2．问题性 以恰时恰点的问题引导数学活动， 培养问题意识，孕育创新精神。通 过“观察”“思考”“探究”等栏 目，提出恰当的、对学生数学思维 有适度启发的问题，引导学生思考 和探索 ，经历观察 、实验、猜测、 推理、交流、反思等理性思维的基 本过程，切实改进学生的学习方式。 提问题的境界 •度 道而弗牵 强而弗抑 开而弗达 案例八 三角函数诱导公式的推导 • 你能利用圆的几何性质推导出三角函 数的诱导公式吗？ • α的终边、α+180°的终边与单位圆 交点有什么关系？你能得出sinα与 sin（α+180°）之间的关系吗？ • 我们可以通过查表求锐角三角函数值， 那么，如何求任意角的三角函数值呢？ 能否将任意角的三角函数转化为锐角 三角函数？ • 问题情境 三角函数与（单位）圆是紧密联系的， 它的基本性质是圆的几何性质的代数表示， 例如，同角三角函数的基本关系表明了圆 中的某些线段之间的关系。圆有很好的对 称性：以圆心为对称中心的中心对称图形； 以任意直径为对称轴的轴对称图形。你能 否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一 下终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴 以及直线y=x对称的角与角α的关系以及 它们的三角函数之间的关系？ 3．思想性 加强过程与联系，以数学概念 的发展过程、逻辑关系组织教科书 的内容，保持思想方法的前后一致 性； 以核心概念和基本思想（数及 其运算、函数、空间观念、数形结 合、向量、导数、统计、随机观念、 算法等）为贯穿整套教科书的“灵 魂”，提高教科书的“思想性”。 案例九 向量法为核心的思想 核心目标： 理解平面向量及其运算的意义， 能用向量语言和方法表述和解决数 学、物理中的一些问题。 定位： 沟通代数、几何与三角函数的一 种工具——“工具性”。 向量方法的内核 利用向量表示基本几何元素， 将平面几何基本性质和基本定理的 运用转化成为向量运算律的系统运 用： • 点——（以确定点为始点的）向量。 • 直线——一个点A、一个方向a定性 刻画；引进数乘向量ka，可以实际 控制直线。 • 平面——一个点A、两个不平行的 （非0）向量a，b在“原则”上确定 了平面（定性刻画）；引入向量的加 法a+b，平面上的点X就可以表示为 λa+μb（以及定点A），而成为可操纵 的对象。 • 距离和角是刻画几何元素之间度量关 系的基本量——引进向量的数量积的 定义 a·b=|a|·|b|·cosα， 作为反映向量的长度和两个向量间夹 角的关系。 用向量解决问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中涉及的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算研究几何元素之间 的关系及其度量，如平行、垂直、距 离、夹角等； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 向量内容的结构顺序 • 向量的实际背景及基本概念 →向量的线性运算 →平面向量基本定理及坐标表示 →向量的数量积 →向量应用举例 4．联系性（整体性、结构性） 内容的呈现力求做到脉络清晰， 重点突出，体系简约，在学生原有认 知结构基础上，依据数学学习规律、 相关内容在不同模块中的要求以及数 学内在的逻辑联系，以核心知识（基 本概念和原理，重要的数学思想方法） 为支撑和联结点，循序渐进、螺旋上 升地组织学习内容，形成结构化的教 材体系。 联系的方式 横向联系；纵向联系 内部联系；外部联系 • 事件的魅力往往不在事件本身，而 在事件背后那千丝万缕的联系。 案例十 向量、函数 • 向量 内部联系——代数、几何、三角函数等 外部联系——力学、物理学等 • 函数 横向联系——方程、不等式、数列、解析几 何、导数等 纵向联系——指、对、幂函数，三角函数、 多项式函数等 案例十一 三角函数中的联系 • 定义：任意角与单位圆的交点为P(x，y)， 则x=cos ，y=sin ，对应关系明确，函数 的意义直观而具体； • 三角函数性质：正弦、余弦函数的基本性质 就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析 表述，例如 （1）P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、 余弦函数的值域为[－1，1]； （2）一个周角=2π 周期为2π； （3）|OP|2=1 即sin2+cos2=1； （4）对于圆心的中心对称性 sin(π+)=－sin，cos(π+)=－cos； （5）对于x轴的轴对称性 sin(－)=－sin，cos(－)=cos； （6）对于y轴的轴对称性 sin(π－)=sin，cos(π－)=－cos； （7）对于直线y=x的轴对称性 sin( －)=cos，cos( －)=sin； 2 2 （8）sin的单调性 3 ：－ 2 0 π 2 2 y： －1 0 1 0 －1 （9）圆的旋转对称性：和（差）角公式 圆的反射对称性：和（差）化积公式 5.拓展栏目设置的意图 设置“阅读与思考”“探究与发现”“信息技 术应用”等拓展栏目的意图是： ——体现教材的弹性，使不同的学生都能在自己 的基础上加深对有关数学内容的认识和理解； ——渗透数学文化，体现人文精神，弘扬我国古 代数学的成就； ——反映现代信息技术与数学课程的有机结合； 等等。 一、教材总体结构 二、基本观点和总体目标 三、教材编写指导思想 四、重点考虑的几个问题 五、实验情况简介 六、对今后实验工作的几点思考 七、配套资源简介 五、实验情况简介 （一）主要优点 • 关于栏目的设置的优点。 对教材的主要创新点，即设置“观察”“思考”“ 探究”等，以问题引导学习，加强“问题性”；使 用“先行组织者”等手段，加强类比、特殊化、推 广等逻辑思考方法，加强“思想性”；强调数学知 识之间、数学与现实之间的联系以及数学应用，加 强“联系性”；等等，广大教师给予了较高评价， 在改进教材呈现方式、学生学习方式、教师教学方 式等方面都发挥了较好作用。 • 关于知识引入方式的优点：强调数学知识的背景（ 实际的和数学内部的）和应用，使学生感到数学是 自然的，水到渠成的，教科书具有亲和力。 • 提高了可读性，注意激发学生阅读数学教材的 兴趣，教材面貌生动活泼。 • 充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。 • 注重双基，强调提高学生的数学思维能力。 • 体现数学的美学价值，数学家的创新精神，帮 助学生了解数学在人类文明发展中的作用，渗 透数学的文化价值。 • 注重信息技术与数学课程的整合。 • 注重发展学生的应用意识。 （二）实验中发现的主要问题 1．师生负担问题 实施高中课改后，数学的课业负担加重 了。应当说这是与课程改革的初衷相悖的。 造成数学课业负担越来越重的因素到底是什 么？这也是一个值得深究的问题。 • 内容与要求上的“两个并集” “课标”与“大纲”的并集；“课标 ”中前后不同阶段要求的并集。 • 造成学生课业负担的原因是多方面的 ，课程设置、教材内容、教师教学、 高考评价、配套资源等等都在其中起 作用 2．难点集中问题 比较集中地体现在模块1、2，把高中的主 要内容：函数、立体几何、解析几何都过了 一遍，几个难点集中在一个学期，学生刚刚 进入高中，本来需要一个适应期，内容应当 容易一些，但是现在不仅内容多，而且难度 也大，对许多学生都是当头一棒，造成很大 的数学学习精神负担。 3．结构不合理问题 对“模块化”的课程结构体系，大部 分教师不太认可，认为它存在整体结构 逻辑性差、知识不连贯性、螺旋设置不 合理等问题。“模块化”破坏了数学的 内在逻辑性，削弱了知识的系统性，导 致知识的前后联系不顺畅，有些内容有 不必要的重复。 4．教学要求难以把握。 “模块化”后，螺旋上升地安排知识，使 知识的逻辑链条被人为割断，教学要求变得 模糊不清，难以把握。 “了解”“理解”“掌握”“灵活运用” 的目标层次区分并不容易，另一方面是高考 的考试要求不明确。因此，在实际教学中， 只要“课标”中规定的知识点，基本上按照 “掌握”或“灵活运用”的要求来实施。实 际上这也是造成教材实验中一系列问题的比 较主要的原因。 5．知识衔接问题 初高中衔接有问题。 （1）初中内容的不适当删减、降低要 求，导致学生“双基”无法达到高中 教学要求； （2）高中不顾学生的基础，任意拔高 教学要求，繁琐的、高难度的运算充 斥课堂。 初中课标与义教大纲内容差异 删除的内容 1．立方和公式与立方差公式 2．因式分解中的十字相乘法、分组分解法 3．含有字母的方程 4．三元一次方程组 5．根式的分母有理化、最简根式、根式化简 6．画频率分布直方图 7．可化为一元二次方程的分式方程 ( 只要求 化为一元一次方程的分式方程 )， 分式乘 方 8．无理方程 9．高次方程 10．二元二次方程组 11．一元二次不等式 12．一元二次方程根的判别式 13．韦达定理 14．换元法 15．平行线等分线段定理，平行的传递性 16．平行线分线段成比例定理，梯形中位线 （教材中有但中考不考） 17．截三角形两边或延长线的直线平行于第 三边的判定定理 18．空间直线、平面的位置关系 19．圆内接四边形的性质 20．轨迹定义 21．圆的有关定理：垂径定理及逆定理，弦 切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两 圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理 22．相切作图，正多边形的有关计算，等分 圆周，三角形的内切圆 23．同角三角函数的基本关系式 降低要求的内容 1．有理数混合运算强调最多三步，学生习惯 性使用计算器，笔算、口算、心算能力弱； 2．多项式相乘仅要求一次式相乘，无除法； 3．因式分解只要求提取公因式法、公式法 （平方差、完全平方），直接用公式法不 超过两次； 4．根式的运算要求低； 5．绝对值符号内不能含有字母； 6．配方法要求低，只在解一元二次方程中有 简单的要求，而在二次函数中也不要求用 配方法，求顶点、最值，只要求用公式求， 且又不要求记忆公式和推导（中考试卷中 会给出公式）； 7．几何中大大减少定理的数量，删除繁难的 几何证明，淡化几何证明的技巧； 8．反证法，初中只要求通过实例，体会反证 法的含义，了解即可； 9．辅助线，中考只要求添加一条辅助线。 高中课标内容本身不衔接：直线与 三角函数的位置。 交换必修模块的顺序后，还可能出 现新的不衔接问题。 6．习题的配置问题（不断改进） 7．与其他学科的配套问题。 8．与信息技术整合的适度性问题 9．配套资源建设问题。 10. 高考导向 （三）对几个重要变化的认识 • 二次不等式内容靠后问题； • 立体几何结构调整、课时减少问题； • 算法； • 加强统计、概率的理由； • 概率之前不讲计数原理的原因； • 关于三角函数与平面向量内容的安排 • 不讲极限定义如何讲导数。 一、教材总体结构 二、基本观点和总体目标 三、教材编写指导思想 四、重点考虑的几个问题 五、实验情况简介 六、对今后实验工作的几点思考 七、配套资源简介 六、对今后实验工作的几点思考 1．积极地面对变化，勇敢地迎接挑战 教育改革是时代发展的需要。 盲目地跟风和顽固地抱残守缺都是不 可取的。 理性地思考，为什么要变和怎样变； 正确地分析、思考自己教学中存在的 问题，积极地想办法解决问题。 2．树立科学的学生发展观 • 以学生的发展为本 要体现主动性、民主性、合作性、多 样性等时代特征，要使学生在获得必要的 数学“双基”和数学能力的同时，发展创 新精神和实践能力。 • 全面、和谐、可持续的发展 3．准确把握教学要求，循序渐 进地教学 • 不搞“一步到位”(例如,研究函数 的性质)； • 删减的内容不要随意补充； • 教辅材料不能作为教学的依据； • 把更多的注意力放在核心概念、基 本数学思想方法上； • 找好的问题； • 追求通性通法，不追求“特技 ”…… • 例1 定义域、值域问题； • 例2 通过直观感知、操作确认，归纳出 直线与平面、平面与平面平行、垂直的 判定定理； • 例3 根据给定直线、圆的方程，判断直 线与圆、圆与圆的位置关系； • 例4 概率教学的核心是了解随机现象（ 随机事件发生的不确定性及其频率的稳 定性）；理解古典概型的特征：实验结 果的有限性和等可能性（列举法计算） ； • 例5 三角恒等变换：公式的推导， 对公式之间关系的认识，简单应用 （推导积化和差、和差化积、半角 公式等）； • 例6 逻辑联结词或、且、非：通过 实例加以了解，能正确表述相关的 数学内容； • 例7 抛物线、双曲线的教学要求： 了解、知道； • …… 4．搞好课堂教学设计，提高教学质 量和效益 • 保持学生高水平的数学思维 • 根据学生数学思维发展水平和认知规律，数学知 识的发生发展过程设计课堂教学进程，以问题引 导学习，尽量采用“归纳式”，让学生经历概念 的概括过程，思想方法的形成过程，这是最基本 的。要做到“讲逻辑又讲思想”，引导学生通过 类比、推广、特殊化等思维活动，促使他们找到 研究的问题，形成研究的方法；促进他们在建立 知识之间内在联系的过程中领悟本质。 搞好课堂教学设计的“321” 三个基本点 • 理解数学——对数学的思想、方法及 其精神的理解； • 理解学生——对学生数学学习规律的 理解，核心是理解学生的数学思维规 律； • 理解教学——对数学教学规律、特点 的理解。 两个关键 • 提好的问题——在学生思维最近 发展区内，有意义； • 设计自然的过程——数学知识发 生发展的原过程（再创造），学 生对数学知识的认识过程。 案例十二 不等式基本性质中的提问 • 不等式基本性质的研究可以通过类比等 式的基本性质而得到启发。 • 你能回忆一下等式的基本性质吗？ • 考察等式的基本性质的基本思想是什么？ （“运算中的不变性”） • 类似的，不等式有哪些基本性质呢？ 过程——抽象与具体、特殊与一般 的关系 • 抽象是数学的一个公认的、最显著的特点 • 数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含 了本质 • 从具体中可以进行多次抽象 • 可以从不同的角度进行抽象 • 特殊化能使一般的性质得到最明显的表征 案例十三 正、余弦定理的推导 • 三角形有各种几何量，如三边长、三个内 角的角度、面积、外经、内径等。“解三 角形”就是给定三角形的若干几何量，求 其余几何量。你认为至少给定几个量就可 以求出其余量？（从定性到定量） • 特殊化：解直角三角形（利用勾股定理、 两个锐角互余、锐角三角函数等）。 • 推广：能否将上述结论推广到一般 三角形？ • 在已有结果的基础上，探索新的证 明方法，如： • 三角形面积与正弦定理 • 垂直投影与余弦定理 • 用余弦定理推导正弦定理 • 借助于外接圆证明正弦定理 • …… 一个核心 • 概括——引导学生自己概括出 数学的本质，使学生在数学学 习过程中保持高水平的数学思 维活动。 5．努力改进教学方式 在教学方式的改进中，最重要 的是要让学生有自己积极地、独立 地进行数学思考的空间，要保持学 生高水平的数学思维。不管是传授 式还是活动式（相应的，学生学习 方式是接受式或发现式），只要学 生有思维的自主，就是学生的自主 地位得到体现。 根据数学知识的认知需要，为学生 设置恰当的教学情景，通过恰时恰点 的问题引导学生的学习活动，充分使 用“先行组织者”，在思想方法上多 做引导，在具体细节上让学生自己多 动手做、多阅读、多思考、多交流， 让学生多发表意见，教师自己参与到 学生的活动中去，多听少讲，在关键 点上让学生有机会提出自己的见解。 一、教材总体结构 二、基本观点和总体目标 三、教材编写指导思想 四、重点考虑的几个问题 五、实验情况简介 六、对今后实验工作的几点思考 七、配套资源简介 七、配套资源简介 • 齐全、质量较高的教师教学用书； • 培训资料包（教材介绍、课例）； • 教学设计案例: （1）与延边教育出版社合作, （2）与《数学通报》联合组编； （3）核心概念、思想方法的教学设计（正在 研究中）； • 学生学习用书：新课程导学；新课程新学案 • 高考复习指导用书 • 信息技术支持系统； • 人教网交流系统；网址: www.pep.com.cn • 其他。 结 语 教师是课程的实施者，同时也是课程 的研究者、建设者和课程资源的开发者 ，这是一个观念上的变化。 全国数学教师都是我们的好朋友 愿本套教材成为您的好帮手 教材的完善需要您的智慧和贡献 谢 谢！ 联 系 方 式 人民教育出版社中学数学室 地址：北京市海淀区中关村南大街 17号院1号楼1702室 邮编：100081 电话：(010)58758316(办) Email: 网址: [email protected] www.pep.com.cn 主编介绍 刘绍学，北京师范大学教授，博士生导师， 曾任北师大数学与数学教育研究所所长。长期 从事基础数学研究，是国内环论方向学术带头 人之一，在国内创建了代数表示论研究方向， 取得了高水平的、丰硕的研究成果。 长期担任《数学通报》主编，非常关注并 积极参与我国的中学数学教育改革，对中学数 学教育的现状及发展趋势有深入了解，对中学 数学教育有比较系统的见解。 为了编好教材，编委会坚持科学研究领 先的原则，从2002年9月开始，组织全体编写 成员进行了大量的理论学习、课程标准研读 、高中数学教育教学调研。大家对教材编写 中的一些基本问题，如高中数学课程的性质 ，数学教育的目的，我国数学教育的历史与 现状，数学教育的国际比较，数学教与学的 本质及其规律等都进行了深入的思考、研究 和广泛的讨论。编委会在理论研究的基础上 ，形成了较系统的教材编写思路，着手编写 教材。 • 学生主体与教师主导 信息技术时代要求基础教育把培养 学生的创新精神和实践能力放在突出位 置，因此更加强调学生的主体地位，强 调学生学习的积极性、主动性，强调数 学教学中师生的平等交流、互动等。 但是师生平等强调的是人格平等，并 不是“一切平等”，因为教师的人生阅历 、认知结构、知识储备等决定了师生交流 、互动中的主动和主导地位。“双主体” 观能客观地反映师生关系：学生是学的主 体，主要表现在思维的自主；教师是教的 主体，是整个教学活动的设计者、组织者 和引导者（主要是对学生思维的引导）。 • 接受学习与发现学习 不能简单地把学习方式的被动或主动，等同于 “接受式”“发现式”学习！ 我国数学教育传统比较强调教师的传授，强调 经过学生艰苦努力，反复的练习而达到对数学知识 的理解。对数学学习中学生的自主探究、合作交流 等重视不够，学生学得比较被动。 学习方式的被动或主动，关键并不在于它是“ 接受的”还是“发现的”，而在于教学活动中学生 主体的数学思维参与程度。 数学知识（包括数学思想方法）是可以传授 的，学校里的学习要以接受式学习为主。不同的 知识类型需要有不同的学习方式。一般的，明确 知识（概念性知识）可以是接受式学习为主，而 默会知识（方法性知识）则应当以探究式学习为 主，因为默会知识往往是“只可意会不可言传” 的，只有设计合适的活动才能使学生领悟其内涵 。 数学教学中，教师的启发式讲解非常重要， 否则，学习质量和效益都无法保证。教师应对如何 讲解精心设计，做到讲授与活动相结合，接受与探 究相结合，形成互补，从而促使学生主动学习。这 就要求教师设计与提供丰富的数学学习环境，通过 恰当的问题，引导学生主动思维、独立思考，使学 生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学 认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知 识内化到自己的认知结构中去。 （在教材的呈现 方式中，揉入了教学设计的成分） • 基础与创新 首先，落实“双基”，对学生的终身发展极其 重要。数学教学最主要的是要把学生的基础打好 ，使学生通过主动思维和有意义学习而掌握严肃 、本质的数学。 基础中体现的思想具有根本的重要性，从中 学会的方法和思想迁移能力极强。创新能力是在 学习知识的过程中潜移默化而来的。任何认为强 调创新就可以离开或削弱数学知识传授的想法或 做法都是错误的。 数学教育中，应以“双基”为载体，在使学 生牢固掌握基础知识、基本技能，形成基本能力 和基本态度的过程中，鼓励学生提出疑问，向书 本挑战、向权威挑战，提倡在学习过程中的争论 、质疑、讨论，养成凡事问个为什么的习惯，敢 于提出问题并勇于表示自己的见解，从而使学生 的创新精神得到逐渐培养。 打基础的过程可以培养创造力。在基础知识 的教学中，以问题引导学习，使学生在学习基础 知识的过程中，经历知识的发现过程、概念的概 括过程，应用知识解决问题的过程，从而使基础 与创新融为一体。有效的数学活动是落实“双基 ”、培养学生创新精神和实践能力的根本保证。 • 数学知识、能力与素养 • 数学化与情境化（直观与逻辑、形象与抽象等 ） • 独立思考与合作交流 • 过程与结果 • 面向全体与因材施教 • 书本知识与数学应用 特别要防止“去数学化”的倾向，数学课要讲 数学！ “函数是描述事物运动变化规律的数学模 型。如果了解了函数的变化规律，那么也 就基本把握了相应事物的变化规律。因此 研究函数的性质，如函数在什么时候递增 或递减，有没有最大值或最小值，函数图 像有什么特征，是非常重要的。” “我们在初中已经学习了函数图像的画法。 为了研究函数的性质，按照列表、描点、 连线等步骤分别画出函数y=x2和y=x3的图像 。现在研究函数的单调性。” 我们尽量选取与数学内容密切相关的、典型的、 丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设 能够体现数学的概念、结论及其思想方法发生发展过 程的学习情境，使学生感到数学是自然的，水到渠成 的，激发学生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟 ”的冲动，兴趣盎然地投入学习。教材设计了观察、 思考、探究等活动，和阅读与思考、探究与发现、信 息技术应用等拓展栏目，有利于认识和理解数学的实 质；有利于调动教师的积极性，创造性地进行教学； 有利于改进学生的学习方式，促进他们主动地学习和 发展。 再如，一有机会就引导学生将数学新概念 或结论与“数及其运算”进行类比，使学生在 新概念的学习之初就有一个牢固的“固着点” ；在章小结中，引导学生在概括本章知识结构 的基础上，建立本章内容与相关内容的联系， 并用上述体现类比、推广、特殊化等过程的“ 逻辑图”表现出来;几个三步曲等。 我们认为，教材结构的变化是一件大 事，需要十分慎重地对待。在结构体系的 变革中，首先需要进行精中求简，筛选出 基础数学中的核心部分，并根据数学知识 发展的内在逻辑妥加组织，从而使得基础 数学“易学、好懂、能懂、会用，从而减 轻学生负担”；其次还要考虑到广大数学 教师的习惯，逐步地、循序渐进地进行改 革，求得广大教师的认同。 在结构顺序上，可变可不变的应当 保持不变，因为“变”不仅使大家面 对新的体系，增加各方面的负担，更 主要的还是容易产生新的问题。 在结构体系问题上，还有一个需要把 握的是“螺旋上升”的度的问题。为什么 要螺旋式安排数学内容及其学习过程？主 要还是考虑与学生心理发展水平相适应的 问题，因为“学习从属于发展”。同时， 数学概念可以在不同层次上得到表征，也 为螺旋上升地安排学习内容提供了可能。 中学生有能力在一个相对连贯的系统中学 习和掌握中学课程中的大部分内容，不需要 人为地设置“螺旋”。特别是在中学，不应 再在初中、高中两个阶段内再搞几个小螺旋 。例如，平面几何内容不应把“实验”和“ 论证”分开，在高中还搞一个《几何证明选 讲》；解析几何也不要分为“必修”（直线 和圆）、“选修”（圆锥曲线）和“专题选 修”（《坐标系与参数方程》）；统计、 概 率的内容，从小学到中学搞四、五个循环更 是没有必要。 “初中与高中脱节，让学生不适应”“现在初中 对运算、逻辑推理等都降低了要求，有些内容删去不 学了，但高中却要作为基础，认为学生已经掌握，但 实际上学生不会，因此高中老师不得不补，无形中又 增加了学习内容”。 例如：多项式乘法；分式运算；一元二次方程的 知识（根的判别式、韦达定理）；含参数的方程的解 法；二元一次方程组、二元二次方程组的解；二次函 数；绝对值的意义；代数式的变形、数的运算能力； 一元一次不等式（组）、简单的分式不等式、简单的 绝对值不等式、三视图、几何推理等等。 从我国基础教育发展的现状看，教材在学校教育 中有着举足轻重的作用，是实现数学课程目标 、实施课堂教学最重要的资源，是学生发展的 重要载体。如何使教材能够激发学生的数学学 习动机与兴趣，调动教师的积极性，促使学生 与教师积极主动地、创造性地学与教，为学生 建立良好的发展平台，是我们在编写教科书中 重点考虑的问题。 在知识形成过程的“关键点”上，在 运用数学思想方法产生解决问题策略 的“关节点”上，在数学问题变式的 “发散点”上，在学生思维的“最近 发展区”，通过“观察”“思考”“ 探究”等栏目，提出恰当 • 关于一元二次不等式与函数的位 置关系 以往的教材中，函数内容中安排了二次 不等式，而二次不等式的讲解借助于二次函 数。这样安排的用意，一是让学生在学习抽 象的函数概念时有一个他们以前接触过的、 具体的函数的支撑，二是使函数概念中的某 些内容（如定义域、值域）有一个训练平台 ；三是完善二次函数这一中学里最重要的函 数的认知结构。 “课标”为了避免在集合的教学中过分地搞集 合运算以及在函数的教学过程中，求定义域、 值域等“细枝末节”的问题对学生进行大量的 、繁琐的训练，把二次不等式的内容放在“必 修5”，在“必修1”的函数内容中，强调函数“ 是描述现实世界变量之间依赖关系的数学模型 ”，把重点放在函数概念的本质（两个数集之 间的映射）的理解、函数性质的讨论以及函数 的实际应用上。 这是一种“釜底抽薪”的办法。二次函数 是学生在初中阶段已经接触的函数，它比一次 函数复杂但比指数函数、对数函数简单，而且 是中学阶段最重要的函数。如果在函数概念和 性质的学习中，以它为主要模型贯穿始终，不 仅可以使学生建立起完善的二次函数知识结构 ，而且也使抽象的函数概念学习有了一个适当 的具体函数的支撑，从而能有效地降低函数学 习的困难，提高函数学习的质量。所以，“二 次不等式的解法”可以沿用以往的处理方法， 把它放在函数内容中，用函数的观点来处理它 。 •关于立体几何教材结构的变化 从以往的教学实际看，立体几何的 学习往往成为高中学生学习数学的一个 较高的门槛，其原因可能与空间观念的 培养及逻辑推理能力培养交织在一起所 导致的困难有关系。现在把它们适当分 开，有所侧重地、分阶段地进行培养。 按照“课标”的要求，立体几何采用了 “从整体到局部”的结构体系，先讲空间几 何体再讲点、线、面的位置关系，把空间观 念和逻辑推理能力的培养适当分开，即在空 间几何体中侧重空间观念的培养，在点、线 、面位置关系中侧重培养逻辑推理能力，试 图降低立体几何学习的门槛，减轻立体几何 学习的难度，更好地发展学生的空间想象能 力。这种变化对教学以及学生学习的帮助， 教师还是持积极肯定态度的。 •关于概率与两个计数原理的前后 顺序 以往教材在概率之前安排两个计数原 理，其基本用意是为学生准备概率计算的 工具。 为了强调概率思想，避免复杂的组合 计算干扰学生对概率思想的领悟，“课标 ”规定在概率之前不安排两个计数原理。 教师主要是对这样的结构给学生计算古典 概型带来不便有很大顾虑，认为如果学生 没有机会计算概率，他们就不可能形成对 概率的基本认识。 另外，我们感到我国许多中学教 师在大学里接触的概率统计知识不多 ，教师的数学知识结构中统计与概率 知识也比较薄弱，对概率统计思想的 把握也有所欠缺，这些都有可能导致 教师对概率统计结构变化的用意不理 解。 加强统计、概率的理由 概论统计是以随机现象为研究对象，对象 具有随机性，方法上具有特殊性，甚至于结论 也带有随机性，它完全是一个新内容、新思想 和新方法。对老师来说，教有难度，对学生来 说，学也有难度。 正象微积分是揭示有限与无限（离散与连 续）之间的矛盾一样，概率统计是揭示必然与 偶然（规律性与随机性）之间的一对特殊矛盾 。真正理解它是比较困难的，掌握它、并且能 够应用它就更难了。 从学生来看，没有直接参加实践，许多 东西不知从何而来，也不知要干什么,其个 人的经历和思维能力的水平也限制了他们对 随机现象本质的认识；再加上又是非考试重 点……等等。 结果造成：把统计作为简单的加减乘除 算术问题。不了解统计、概率的基本思想， 没掌握统计、概率的基本方法，更不能树立 起应用意识。课程设置形如虚设。 为此，课程标准要求: 统计过程要多参 与一点,概率统计思想要多感受和体会一点 。教学中少一些演绎推理，更强调归纳的过 程。 增加了统计案例，通过对具体案例 的学习，了解和使用常用的一些统计方 法：处理两个度量变量之间的相关关系 ，了解回归分析的基本思想、方法和初 步应用；处理两个分类变量之间的关系 ，了解独立性检验的基本思想、方法和 初步应用。 目的是掌握用统计解决问题的基本 方法，并在解决问题的过程中进一步加 深理解统计基本思想。培育参与意识以 及培养运用统计思想解决实际问题的能 力。 • 概率 1.结果的随机性 2.频率的稳定性. 分布的重要性 结合具体实例，学习概率的某些基本性质 、简单的概率模型、随机变量及其分布等 知识，加深对随机现象的理解 • 关于三角函数与平面向量内容的安排 以往教材中，三角函数基本上是一个独 立体系。“课标教材”在三角函数与三角变 换之间穿插了平面向量，目的在于使三角函 数的讨论集中在对三角函数定义、图象、性 质及其应用上，而把三角变换作为独立的一 块单列，并以向量为工具推导两角差的余弦 公式。这样安排的目的是突出三角函数作为 描述周期变化现象的数学模型的作用，减少 三角变换中的复杂运算或技巧，并使向量有 一个用武之地。 • 关于算法 首先是对算法教学目的和教学方 式的认识。“课标”提出，算法教学 的目的主要是“体会算法的基本思想 以及算法的重要性和有效性，发展有 条理地思考与表达的能力，提高逻辑 思维能力”。 因此算法的教学要“结合对具体数学实例 的分析，使学生体验程序框图在解决问题中的 作用”；要使学生“通过模仿、操作、探索， 学习设计程序框图表达解决问题的过程”；不 要将算法“简单处理成程序语言的学习和程序 设计”。 显然，教师对“课标”的这些要求不太理 解，他们确实把焦点集中在“程序语言的学习 和程序设计”上了。 • 其次，对算法内容不熟悉导致教师的畏难 心理。当然，由于算法内容是第一次引进 高中数学课程，产生这种心理非常正常。 • 再次，学校的计算机等硬件设备跟不上。 • 第四，教学要求不好把握，特别是不知道 高考如何考这部分内容。 • 第五，没有足够的教学资源。 • 不讲极限如何讲导数 一般地，导数概念学习的起点是 极限，即从数列-〉函数的极限-〉导 数。这种概念建立方式具有严密的逻 辑性和系统性，但是也产生了一些问 题：就高中学生的认知水平而言，他 们很难理解极限的形式化定义。由此 产生的困难也影响了对导数本质的理 解。 因此教科书没有介绍任何形式的极限定义 及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观 的“逼近”方法定义导数，用“趋近于”“无 限逼近于”“趋于”“无限变小”等通俗易懂的 语言对极限的过程进行描述。这样一来，其一 ，避免学生认知水平与知识学习间的矛盾；其 二，将更多精力放在导数本质的理解上；其三 ，学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定 的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的 极限定义。 教科书编写的重点在于理解概念的内涵和基 本方法，并不追求理论上的严密性和过多的技 巧。