Transcript 3复变函数

复变函数论
主讲：王明华
§1复数
§2复平面上的点集
1、复数域
1、平面点集的基本概念
2、复平面
2、 区域与曲线
3、复数的模与辐角
4、复数的乘幂与方根
5、公轭复数
6、复数在集合上的应用
§3复变函数
1、复变函数的概念
2、复变函数的极限
3、复变函数的连续性
4、复球面与无穷远点
第一章
复数与复变函数
§1复数
1、复数域：
每个复数z具有x+iy的形状，其中x和y∈R ，i 
1
是虚数单位;
x和y分别称为z的实部和虚部，分别记作x=Rez,y=Imz。
复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2相等是指它们的实部与虚部分别
相等。
如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz≠0，那么z称
为一个虚数；如果Imz≠0，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。
。
复数的四则运算定义为：设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2
( z1  z 2 )  ( x1  x 2 )  i ( y1  y 2 )
z1 z 2  ( x1 x 2  y1 y 2 )  i ( x1 y 2  x 2 y1 )
z1
z2

x1 x 2  y1 y 2
x2  y2
2
2
i
x 2 y1  x1 y 2
x2  y2
2
2
 z2
 0
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。
2、复平面：
C也可以看成平面 R2，我们称为复平面。
2
作映射：C  R : z  x  iy  ( x , y ) 则在复数集与平面R2之
间建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称
为z-平面，w-平面等。
复数可以等同于平面中的向量，z=x+iy。
引进了复平面后，我们在“数”和“点”之间建立了联系。
为了方便起见，今后我们不在区分“数”和“点”。
3、复数的模与辐角
、
表示复数z位置，也可以借助z极坐标 r ,  来表示。
这里使原点与直角坐标的原点重合，极轴与正实轴重合。
向量的长度称为复数的模 r  | z | x  y 。
2
2
( x, y )
设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相
加减，几何意义如下图：
y
z2
z1  z 2
z2
0
 z2
z1
x
z1  z 2
(1)、| z 1  z 2 | | z 1 |  | z 2 | ；
(2) 、| z 1  z 2 | || z 1 |  | z 2 || ；
( 3 )、| z 1  z 2 | | z 1 |  | z 2 | ；
( 4 )、| z 1  z 2 | || z 1 |  | z 2 || ；
( 5 )、| Re z | | z |, | Im z | | z | ；
( 6 )、| z |  z z ；
2
当 z  0时，则把正实轴与向量
op的夹角称为 z 的辐角（ arg ument ）,
记作 Argz   .
注意1：任 何 一 个 复 数
z  0 有 无 穷 多 个 辐 角 . 如 果  1 是 其 中 一 个 辐 角,
那么z的全部辐角为Arg z   1  2 k π
( k 为 任 意 整 数 ).
注意2：当z=0时，辐角不确定，没有辐角。
辐角主值的定义：
在 z (  0) 的 辐 角 中, 把 满 足  π   0  π 的  0 称 为 Arg z 的 主 值 , 记 作  0  arg z
A rgz  arg z  2 k  ，k  0,  1,  2,
已 知 复 数 z  x  iy , 如 何 确 定 辐 角 ？
z  0 辐角的主值
y

arctan
当x  0

x

π

当 x  0, y 

2

y

arg z   arctan
+π
当 x  0, y 
x


y
arctan
-π

x
当 x  0, y 

π

当 x  0, y 



2
0
0
0
0
例1 求 A rg (2  2 i ) 及 A rg (  3  4 i )
解:
A rg (2  2 i )  arg(2  2 i )  2 k 
 arctan
2
 2 k  
2

 2 k
4
k  0,  1,  2,
,
A rg (  3  4 i )  arg(
3  4i)  2 k
 arctan
4
3
   2 k    2 k  1    arctan
利用直角坐标与极坐标的关系 x  r co s  ,
z  x  iy  r (cos   i sin  )
.
特别当r=1时有 z  co s 
利用Euler公式 e
i
4
k  0,  1,  2,
3
y  r sin 
,复数可以表示成
(1.6)
 i sin 
 cos   i sin  ,
,这种复数称为单位复数.
(1.7)
并且容易验证 e
i 1
e
i 2
e
i 1   2 
,
e
e
i 1
i 2
 e
i 1   2

我们利用(1.7)把(1.6)写成 z  re i
(1.9)
我们分别称(1.6)、(1.9)为非零复数的三角形式和指数形式. 利用
复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：
设z1、z2是两个非零复数，则有
z 1  | z 1 | (cos Argz 1  i sin Argz 1 )
z 2  | z 2 | (cos Argz
则有
z1 z 2  | z1 || z 2 | [cos( Argz 1  Argz 2 )
 i sin( Argz 1  Argz 2 )]
即
| z 1 z 2 | | z 1 || z 2 |
，Arg ( z z
1
2
)  Argz 1  Argz
2
其中后一个式子应理解为集合相等。
2
 i sin Argz 2 )
同理，对除法，有
z1 / z 2  | z1 | / | z 2 | [cos( Argz 1  Argz 2 )
 i sin( Argz 1  Argz 2 )]
即
| z1 / z 2 | | z1 | / | z 2 |
，Arg ( z1 / z 2 )  Argz 1  Argz
其后一个式子也应理解为集合相等。
2
4、复数的乘幂与方根
4．1 乘幂
设 复 数 z1 和 z 2 的 三 角 形 式 分 别 为
z1  r1 (cos  1  i sin  1）, z 2  r2 (cos  2  i sin  2）,
z1  z 2  r1 (cos  1  i sin  1 )  r2 (cos  2  i sin  2 )
 r1  r2 [(cos  1 cos  2  sin  1 sin  2 )  i (sin  1 cos  2  cos  1 sin  2 )]
z1  z 2  r1  r2 [cos( 1   2 )  i sin( 1   2 )]
,
z1 z 2  r1  r2  z1  z 2
Arg ( z1 z 2 )  Arg z1  Arg z 2 .
两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。
当r=1时，则得De Moivre公式：  cos 
 i sin 

n
 cos n  i sin n
4．2 开方
设 z  re i ，则 n z  ?  w  ，设 w   e i ，因为 w n  z ， n e in  re i ，从而
  e , n    2 k  ，故
n
 z

n
i
n
ze
n
z 
n
i
  2 k
re
n

i
n
ze
arg z  2 k 
n
, k  0,1, 2,
n 1 ，
arg z  2 k 
, k  0,1, 2,
n
n  1。
k
注意：从几何上看,
n个顶点。
1
n
z 的 n 个值就是以原点为中心， r n 为半径圆的内接正n边形的
例2：求 3  8
解：
8 
3

3

3

3
8
8
8


3
8 e

3
8 e

3
i
  2 k
3
i

3
0


8 e
3
i

 

 2  cos  i sin   1 
3
3

  2
3
1
2
8 e
i
, k  0,1, 2
  4
3
3i
 2  cos   i sin     2
5
5 

 2  cos
 i sin
 1
3
3 

3i
5、公轭复数
z  x  iy 的公轭复数：z  x  iy 。
注：
 z 
z
z  z , A rgz   A rgz , z  z , z1  z 2  z1  z 2 , z1 z 2  z 1 z 2 ,  1  
 z2  z2
R ez 
zz
, Im z 
2
例3.证明
2
z1  z 2
证明：
zz
2
 z1
z1  z 2
2
2
 z2
2
, R  a, b,
2
 z2
c

 2 R e  z1 z 2 
  z1  z 2   z1  z 2    z1  z 2   z1  z 2 
 z1 z1  z 2 z 2  z1 z 2  z1 z 2  z1
 z1
c  R a ,b ,
2
 2 R e  z1 z 2 
2
 z2
2
 z1 z 2   z1 z 2 
，z
2
 zz
6、复数在集合上的应用
6.1 曲线的复方程
1) 、连接z1和z2两点的线段:
过z1和z2两点的直线:
注: Z1、z2和z3共线 
z  z1  t  z 2  z1  , 0  t  1
z  z1  t  z 2  z1  ,    t   
z 2  z1
z3  z 2
t
(t为非零实数)
i
2)、以z0为心R为半径的圆: z  z 0  R 或者 z  z 0  R e
3)、实轴 Im z  0 虚轴 R e z  0
4)、射线 arg z  
6.2 用复数证明几何问题
2
2
2
例4.  z1 z 2 z 3 为等边三角形  z1  z 2  z 3  z1 z 2  z1 z 3  z 2 z 3
 z1 z 2 z 3 为等边 
证明:
即
z 3  z1
z 2  z1

1
2

3
i
2
,
z 3  z1   z 2  z1  e
z 3  z1
z 2  z1

1
2

3
2
i
2
2

3
,平方得:
z1  z 2  z 3  z1 z 2  z 1 z 3  z 2 z 3
2
i
§2复平面上的点集
1、平面点集的基本概念
1.1 原始概念---------距离
定义1:设有点Z1和Z2，则
z1  z 2
为点Z1和Z2的距离,记为 d  z1 , z 2 
1.2 基础概念---------领域
定义2:以Z0为心， 为半径的圆
z  z0  
即为点Z0的  -领域,记为
N   z0 
1.3 点与点集关系概念
定义3:设有点 z 0 ,点集 E
1) 若  
 0, N   z 0 
含有E 的无穷多点，则 z 0 为 E 的聚点
2) 若 z 0  E ，但 z 0 不是 E 的聚点,即  
注: 聚点的其他三个等价定义
 0, s .t .
N   z0   z0
不含 E 的点,则 z 0 为 E 的孤立点
 P 22 
定义4:设有点 z 0 ,点集 E
注:
1) 若  
 0, s .t . N   z 0   E
2) 若  
 0, s .t . N   z 0 
3) 若  
 0, N   z 0  既有 E 中点也有非 E的点,
,则 z 0 为 E 的内点
E 
,则 z 0 为 E 的外点
则 z 0 为E 的边界点
E 全部边界点的集合,称为 E 的边界,记为  E
2、 区域与曲线
2.1 区域
定义5: 如果 r  0 ，使得 E  U ( 0 , r ) ，则称E是有界集，否则称E是无界集。
定义6: 若E的所有点为内点的,则E为开集.
若E的所有聚点均属于E ,则E为闭集.
定义7: 点集E，如果满足：
（1）是开集；
（2） E中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，
而使这条折线上的点完全属于E 。 (或连通)
则称E是一个区域。区域E加上其边界C称为闭域。记为 E
 E C
。
 z 1
例 
 Im z  0
2.2曲线
设已给
z  z ( t ), ( a  t  ,b )如果 Re z ( t ) 和 Im z ( t ) 都在闭区间 [ a , b ]
上连续，则称集合
{ z ( t ) | t  [ a , b ]} 为一条连续曲线。
如果对
[ a , b ]上任意不同两点t1及t2 ，但不同时是 [ a , b ] 的端点，我们有 z ( t1 )  z ( t 2 )
，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z(a)=z(b)，则称为一条
简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。
定理1(若尔当定理)：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区
域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在[a,b]上，
z ' (t )  0
则称集合 { z ( t ) | t  [ a , b ]} 为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线的内区域中每一点都
属于D，则称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。
2.3 几个重要的定理
定理2: 有界无穷点集必有聚点
定理3: (闭集套定理)
定理4: 有界闭域存在有限覆盖
§3复变函数
1、复变函数的概念
1.1 定义：设E为一复数集，若对E内每一个复数z，有惟一确定的复数w与之对应，
则称在E上确定了一个单值函数 w  f  z   z  E  ，若对E内每一个复数z，
有几个或无穷个多个复数w与之对应，则称在E上确定了一个多值函数
w f
 z   z  E  。E为函数
w f
 z  的定义域，对与E，w的全体所成集M称
为函数 w  f  z  的值域。
z 1
2
例：
w  z ,w  z,w 
w  A rgz , w 
z 1
n
z
单值函数
多值函数
注 1：若无声明，一般均指单值函数
2：
w f
 z  常写成
1) 若 z 
x  iy，则 w  f  z   u  x , y   iv  x , y 
i
2) 若 z  re ，则 w  f  z   P  r ,    iQ  r ,  

例1：将 f  z   x  1  x

解：因为
x



1

iy
1


2 
2
2 
 y 
x  y 

1
2
zz
,y
zz
2
所以 f  z  
写成z的一元函数。
, x  y  zz
2
2
2
z
1
z
1.2 几何表示
2
例2：映射 w  z ，试问它把 z 平面上的下列曲线分别映为w平面的何种曲线
1) 以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧 c1
2) 倾角 


3
3) 双曲线 x
2
的直线（可以看成是两条射线
 y 4
2
R  r ,   2
2

3
c3
解：设 z  x  iy  r  co s   i sin  
则
arg z 
w  u  iv  R  co s   i sin  
以及 arg z 

3
）
c2
从而
1） c1 为：r  2 ，0  arg z

2） c 2 ：arg z  ，arg z 

3）由 w  z ，有 w 
变成R  4, 0  arg w   ，即
2

两射线变成 
3
3
2


x  y  2 xyi ，故
2
2

w  4 的上半圆
2
3
2
u  x  y , v  2 xy ，从而 c 3 变成直线u=4
2
2、复变函数的极限
定义2：设 w  f  z  定义于E ，z 0 为 E 的聚点，w 0 为一复数，若 
0  z  z 0   ，有 f  z   w 0  
lim
z  z 0 , z E
。则称 f  z  沿E趋于 z 0 时，存在极限 w 0 ，记为
f  z   w0
注3：复变函数极限有与实变函数类似性质：
唯一性、局部有解性、局部保号性、四则运算。
注4：

f
 xlim
  x0
lim
z  z0 , z E
x 
f
A  lim  f
z 
x  x0
x 
lim  f
x  x0
x 
w0  对  E  E , 有
'
 0,    0,  z  E

A

lim
‘
z  z 0 , z E
f
z 
w0
定理1：设 f  z   u  x , y   iv  x , y  z 0  x 0  iy 0 , w0  a  ib
则
lim
z  z 0 , z E
f  z   w0 
f  z   w0
证明：z lim
z , z E
lim
 x , y    x0 , y 0 
 x , y  E
u  x, y   a,
lim
 x , y    x0 , y 0 
 x , y  E
v  x, y   b
    0,    0,  z  E 0  z  z 0  
，有 f  z   w 0
0
而
f
 z   w0
 [ u  x , y   a ]  i[ v  x , y   b ]
v  x, y   b  f
u  x, y   a  f
 z   w0 ，
 z   w0 ， f  z   w0  u  x , y   a  v  x , y   b
由此即证。
例3：讨论
 x  y  x2  y2

x y

f z  


0

z0
在 z  0 处的极限。
z0

解：当z沿直线y=mx趋于0时有
lim f  z  
z0
y  mx
x yx  y
2
lim
( x , y )  ( 0 ,0 )
y  mx
2
x y

1 m
1 m
由于沿不同斜率m的直线y=mx趋于z=0，对应极限不同，故
lim f
z 0
 z  不存在。
3、复变函数的连续性
定义3：设 w  f  z  定义于E ，z 0 为
E
的聚点，若 lim f  z   f  z  ，则称 f  z 
0
z  z0
z E
沿E 在 z 0 连续。
注5：复变函数连续与实变函数类似性质：
局部有解性、局部保号性、四则运算连续性、复合函数的连续性
定理2：设 f  z   u  x , y   iv  x , y  ，在 z 0
 x 0  iy 0 连续 
u , v 在  x 0 , y 0  连续。
'
''
'
''
定义4：设 w  f  z  定义于E，若    0,    0  z , z , z  z
有 f  z   f  z    ，则 f  z  在E上一致连续。
'
''

定理3：若 w  f  z  在有界闭集E上连续则
1） f  z  在E上有界
2） f  z  在E上有最大值和最小值
3） f  z  在E上一致连续
例4：设
f
z 
f z 
1 z z
2
2i
zz
2

1
z  z z  z 
2i
r
2
 sin 2
lim f
0
 z  （沿正实轴
lim f
 z   1 （沿第一象限的平分角线 
z 0
z 0
故
，试证 f  z  在原点不存在极限，从而在原点不连续。
z  r  co s   i sin ，则

证：令变点
从而
1  z z 
   z  0
2i  z
z 
f
 ）
0


4
）
 z  在原点不存在极限，从而在原点不连续。
4、复球面与无穷远点
1．扩充复平面：复平面+无穷远点   
2．扩充复平面解析集合模型：复球面
在点坐标是
( x , y , u ) 的三维空间中，把
xOy面看作就是 z  x  iy 面。考虑球面：S
x  y u 1
2
2
2
取定球面上一点N ( 0 , 0 ,1) 称为球极。我们可以建立一个复平面C到 S
u
N ( 0 , 0 ,1)
y
A' ( x ' , y ' , u ' )
A ( x , y ,0 )
x
O
S ( 0 , 0 ,  1)
 { N } 之间的一个1-1
对应：
z  x  iy 
x'
zz
| z | 1
2
zz
x ' iy '
1  u'
| z | 1
2
，y '  | z | 2  1 ，u '  | z | 2  1 。
我们称上面的映射为球极射影。
对应于球极射影为 N ，我们引入一个新的非正常复数无穷远点  ，称 C  { }
为扩充复平 C  。
 的运算
3．“数”
其实部、虚部、辐角无意义，模等于   ；基本运算为（a为有限复数）：
a a
a    a  
a
0
  ( a  0 );
a

(a  0)
 0(a   )
本章《完》