Transcript 3复变函数
复变函数论
主讲:王明华
§1复数
§2复平面上的点集
1、复数域
1、平面点集的基本概念
2、复平面
2、 区域与曲线
3、复数的模与辐角
4、复数的乘幂与方根
5、公轭复数
6、复数在集合上的应用
§3复变函数
1、复变函数的概念
2、复变函数的极限
3、复变函数的连续性
4、复球面与无穷远点
第一章
复数与复变函数
§1复数
1、复数域:
每个复数z具有x+iy的形状,其中x和y∈R ,i
1
是虚数单位;
x和y分别称为z的实部和虚部,分别记作x=Rez,y=Imz。
复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2相等是指它们的实部与虚部分别
相等。
如果Imz=0,则z可以看成一个实数;如果Imz≠0,那么z称
为一个虚数;如果Imz≠0,而Rez=0,则称z为一个纯虚数。
。
复数的四则运算定义为:设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2
( z1 z 2 ) ( x1 x 2 ) i ( y1 y 2 )
z1 z 2 ( x1 x 2 y1 y 2 ) i ( x1 y 2 x 2 y1 )
z1
z2
x1 x 2 y1 y 2
x2 y2
2
2
i
x 2 y1 x1 y 2
x2 y2
2
2
z2
0
复数在四则运算这个代数结构下,构成一个复数域,记为C。
2、复平面:
C也可以看成平面 R2,我们称为复平面。
2
作映射:C R : z x iy ( x , y ) 则在复数集与平面R2之
间建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴,纵坐标轴称为虚轴;复平面一般称
为z-平面,w-平面等。
复数可以等同于平面中的向量,z=x+iy。
引进了复平面后,我们在“数”和“点”之间建立了联系。
为了方便起见,今后我们不在区分“数”和“点”。
3、复数的模与辐角
、
表示复数z位置,也可以借助z极坐标 r , 来表示。
这里使原点与直角坐标的原点重合,极轴与正实轴重合。
向量的长度称为复数的模 r | z | x y 。
2
2
( x, y )
设z1、z2是两个复数,它们的加法、减法几何意义是向量相
加减,几何意义如下图:
y
z2
z1 z 2
z2
0
z2
z1
x
z1 z 2
(1)、| z 1 z 2 | | z 1 | | z 2 | ;
(2) 、| z 1 z 2 | || z 1 | | z 2 || ;
( 3 )、| z 1 z 2 | | z 1 | | z 2 | ;
( 4 )、| z 1 z 2 | || z 1 | | z 2 || ;
( 5 )、| Re z | | z |, | Im z | | z | ;
( 6 )、| z | z z ;
2
当 z 0时,则把正实轴与向量
op的夹角称为 z 的辐角( arg ument ),
记作 Argz .
注意1:任 何 一 个 复 数
z 0 有 无 穷 多 个 辐 角 . 如 果 1 是 其 中 一 个 辐 角,
那么z的全部辐角为Arg z 1 2 k π
( k 为 任 意 整 数 ).
注意2:当z=0时,辐角不确定,没有辐角。
辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的 辐 角 中, 把 满 足 π 0 π 的 0 称 为 Arg z 的 主 值 , 记 作 0 arg z
A rgz arg z 2 k ,k 0, 1, 2,
已 知 复 数 z x iy , 如 何 确 定 辐 角 ?
z 0 辐角的主值
y
arctan
当x 0
x
π
当 x 0, y
2
y
arg z arctan
+π
当 x 0, y
x
y
arctan
-π
x
当 x 0, y
π
当 x 0, y
2
0
0
0
0
例1 求 A rg (2 2 i ) 及 A rg ( 3 4 i )
解:
A rg (2 2 i ) arg(2 2 i ) 2 k
arctan
2
2 k
2
2 k
4
k 0, 1, 2,
,
A rg ( 3 4 i ) arg(
3 4i) 2 k
arctan
4
3
2 k 2 k 1 arctan
利用直角坐标与极坐标的关系 x r co s ,
z x iy r (cos i sin )
.
特别当r=1时有 z co s
利用Euler公式 e
i
4
k 0, 1, 2,
3
y r sin
,复数可以表示成
(1.6)
i sin
cos i sin ,
,这种复数称为单位复数.
(1.7)
并且容易验证 e
i 1
e
i 2
e
i 1 2
,
e
e
i 1
i 2
e
i 1 2
我们利用(1.7)把(1.6)写成 z re i
(1.9)
我们分别称(1.6)、(1.9)为非零复数的三角形式和指数形式. 利用
复数的三角表示,我们可以更简单的表示复数的乘法与除法:
设z1、z2是两个非零复数,则有
z 1 | z 1 | (cos Argz 1 i sin Argz 1 )
z 2 | z 2 | (cos Argz
则有
z1 z 2 | z1 || z 2 | [cos( Argz 1 Argz 2 )
i sin( Argz 1 Argz 2 )]
即
| z 1 z 2 | | z 1 || z 2 |
,Arg ( z z
1
2
) Argz 1 Argz
2
其中后一个式子应理解为集合相等。
2
i sin Argz 2 )
同理,对除法,有
z1 / z 2 | z1 | / | z 2 | [cos( Argz 1 Argz 2 )
i sin( Argz 1 Argz 2 )]
即
| z1 / z 2 | | z1 | / | z 2 |
,Arg ( z1 / z 2 ) Argz 1 Argz
其后一个式子也应理解为集合相等。
2
4、复数的乘幂与方根
4.1 乘幂
设 复 数 z1 和 z 2 的 三 角 形 式 分 别 为
z1 r1 (cos 1 i sin 1), z 2 r2 (cos 2 i sin 2),
z1 z 2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )
r1 r2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i (sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )]
z1 z 2 r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
,
z1 z 2 r1 r2 z1 z 2
Arg ( z1 z 2 ) Arg z1 Arg z 2 .
两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。
当r=1时,则得De Moivre公式: cos
i sin
n
cos n i sin n
4.2 开方
设 z re i ,则 n z ? w ,设 w e i ,因为 w n z , n e in re i ,从而
e , n 2 k ,故
n
z
n
i
n
ze
n
z
n
i
2 k
re
n
i
n
ze
arg z 2 k
n
, k 0,1, 2,
n 1 ,
arg z 2 k
, k 0,1, 2,
n
n 1。
k
注意:从几何上看,
n个顶点。
1
n
z 的 n 个值就是以原点为中心, r n 为半径圆的内接正n边形的
例2:求 3 8
解:
8
3
3
3
3
8
8
8
3
8 e
3
8 e
3
i
2 k
3
i
3
0
8 e
3
i
2 cos i sin 1
3
3
2
3
1
2
8 e
i
, k 0,1, 2
4
3
3i
2 cos i sin 2
5
5
2 cos
i sin
1
3
3
3i
5、公轭复数
z x iy 的公轭复数:z x iy 。
注:
z
z
z z , A rgz A rgz , z z , z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z 1 z 2 , 1
z2 z2
R ez
zz
, Im z
2
例3.证明
2
z1 z 2
证明:
zz
2
z1
z1 z 2
2
2
z2
2
, R a, b,
2
z2
c
2 R e z1 z 2
z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2
z1 z1 z 2 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
z1
c R a ,b ,
2
2 R e z1 z 2
2
z2
2
z1 z 2 z1 z 2
,z
2
zz
6、复数在集合上的应用
6.1 曲线的复方程
1) 、连接z1和z2两点的线段:
过z1和z2两点的直线:
注: Z1、z2和z3共线
z z1 t z 2 z1 , 0 t 1
z z1 t z 2 z1 , t
z 2 z1
z3 z 2
t
(t为非零实数)
i
2)、以z0为心R为半径的圆: z z 0 R 或者 z z 0 R e
3)、实轴 Im z 0 虚轴 R e z 0
4)、射线 arg z
6.2 用复数证明几何问题
2
2
2
例4. z1 z 2 z 3 为等边三角形 z1 z 2 z 3 z1 z 2 z1 z 3 z 2 z 3
z1 z 2 z 3 为等边
证明:
即
z 3 z1
z 2 z1
1
2
3
i
2
,
z 3 z1 z 2 z1 e
z 3 z1
z 2 z1
1
2
3
2
i
2
2
3
,平方得:
z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 1 z 3 z 2 z 3
2
i
§2复平面上的点集
1、平面点集的基本概念
1.1 原始概念---------距离
定义1:设有点Z1和Z2,则
z1 z 2
为点Z1和Z2的距离,记为 d z1 , z 2
1.2 基础概念---------领域
定义2:以Z0为心, 为半径的圆
z z0
即为点Z0的 -领域,记为
N z0
1.3 点与点集关系概念
定义3:设有点 z 0 ,点集 E
1) 若
0, N z 0
含有E 的无穷多点,则 z 0 为 E 的聚点
2) 若 z 0 E ,但 z 0 不是 E 的聚点,即
注: 聚点的其他三个等价定义
0, s .t .
N z0 z0
不含 E 的点,则 z 0 为 E 的孤立点
P 22
定义4:设有点 z 0 ,点集 E
注:
1) 若
0, s .t . N z 0 E
2) 若
0, s .t . N z 0
3) 若
0, N z 0 既有 E 中点也有非 E的点,
,则 z 0 为 E 的内点
E
,则 z 0 为 E 的外点
则 z 0 为E 的边界点
E 全部边界点的集合,称为 E 的边界,记为 E
2、 区域与曲线
2.1 区域
定义5: 如果 r 0 ,使得 E U ( 0 , r ) ,则称E是有界集,否则称E是无界集。
定义6: 若E的所有点为内点的,则E为开集.
若E的所有聚点均属于E ,则E为闭集.
定义7: 点集E,如果满足:
(1)是开集;
(2) E中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来,
而使这条折线上的点完全属于E 。 (或连通)
则称E是一个区域。区域E加上其边界C称为闭域。记为 E
E C
。
z 1
例
Im z 0
2.2曲线
设已给
z z ( t ), ( a t ,b )如果 Re z ( t ) 和 Im z ( t ) 都在闭区间 [ a , b ]
上连续,则称集合
{ z ( t ) | t [ a , b ]} 为一条连续曲线。
如果对
[ a , b ]上任意不同两点t1及t2 ,但不同时是 [ a , b ] 的端点,我们有 z ( t1 ) z ( t 2 )
,那么上述集合称为一条简单连续曲线,或若尔当曲线。若还有z(a)=z(b),则称为一条
简单连续闭曲线,或若尔当闭曲线。
定理1(若尔当定理):任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区
域:一个有界的称为内区域,一个无界的称为外区域。
光滑曲线:如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续,且有连续的导函数,在[a,b]上,
z ' (t ) 0
则称集合 { z ( t ) | t [ a , b ]} 为一条光滑曲线;类似地,可以定义分段光滑曲线。
设D是一个区域,在复平面C上,如果D内任何简单闭曲线的内区域中每一点都
属于D,则称D是单连通区域,否则称D是多连通区域。
2.3 几个重要的定理
定理2: 有界无穷点集必有聚点
定理3: (闭集套定理)
定理4: 有界闭域存在有限覆盖
§3复变函数
1、复变函数的概念
1.1 定义:设E为一复数集,若对E内每一个复数z,有惟一确定的复数w与之对应,
则称在E上确定了一个单值函数 w f z z E ,若对E内每一个复数z,
有几个或无穷个多个复数w与之对应,则称在E上确定了一个多值函数
w f
z z E 。E为函数
w f
z 的定义域,对与E,w的全体所成集M称
为函数 w f z 的值域。
z 1
2
例:
w z ,w z,w
w A rgz , w
z 1
n
z
单值函数
多值函数
注 1:若无声明,一般均指单值函数
2:
w f
z 常写成
1) 若 z
x iy,则 w f z u x , y iv x , y
i
2) 若 z re ,则 w f z P r , iQ r ,
例1:将 f z x 1 x
解:因为
x
1
iy
1
2
2
2
y
x y
1
2
zz
,y
zz
2
所以 f z
写成z的一元函数。
, x y zz
2
2
2
z
1
z
1.2 几何表示
2
例2:映射 w z ,试问它把 z 平面上的下列曲线分别映为w平面的何种曲线
1) 以原点为心,2为半径,在第一象限里的圆弧 c1
2) 倾角
3
3) 双曲线 x
2
的直线(可以看成是两条射线
y 4
2
R r , 2
2
3
c3
解:设 z x iy r co s i sin
则
arg z
w u iv R co s i sin
以及 arg z
3
)
c2
从而
1) c1 为:r 2 ,0 arg z
2) c 2 :arg z ,arg z
3)由 w z ,有 w
变成R 4, 0 arg w ,即
2
两射线变成
3
3
2
x y 2 xyi ,故
2
2
w 4 的上半圆
2
3
2
u x y , v 2 xy ,从而 c 3 变成直线u=4
2
2、复变函数的极限
定义2:设 w f z 定义于E ,z 0 为 E 的聚点,w 0 为一复数,若
0 z z 0 ,有 f z w 0
lim
z z 0 , z E
。则称 f z 沿E趋于 z 0 时,存在极限 w 0 ,记为
f z w0
注3:复变函数极限有与实变函数类似性质:
唯一性、局部有解性、局部保号性、四则运算。
注4:
f
xlim
x0
lim
z z0 , z E
x
f
A lim f
z
x x0
x
lim f
x x0
x
w0 对 E E , 有
'
0, 0, z E
A
lim
‘
z z 0 , z E
f
z
w0
定理1:设 f z u x , y iv x , y z 0 x 0 iy 0 , w0 a ib
则
lim
z z 0 , z E
f z w0
f z w0
证明:z lim
z , z E
lim
x , y x0 , y 0
x , y E
u x, y a,
lim
x , y x0 , y 0
x , y E
v x, y b
0, 0, z E 0 z z 0
,有 f z w 0
0
而
f
z w0
[ u x , y a ] i[ v x , y b ]
v x, y b f
u x, y a f
z w0 ,
z w0 , f z w0 u x , y a v x , y b
由此即证。
例3:讨论
x y x2 y2
x y
f z
0
z0
在 z 0 处的极限。
z0
解:当z沿直线y=mx趋于0时有
lim f z
z0
y mx
x yx y
2
lim
( x , y ) ( 0 ,0 )
y mx
2
x y
1 m
1 m
由于沿不同斜率m的直线y=mx趋于z=0,对应极限不同,故
lim f
z 0
z 不存在。
3、复变函数的连续性
定义3:设 w f z 定义于E ,z 0 为
E
的聚点,若 lim f z f z ,则称 f z
0
z z0
z E
沿E 在 z 0 连续。
注5:复变函数连续与实变函数类似性质:
局部有解性、局部保号性、四则运算连续性、复合函数的连续性
定理2:设 f z u x , y iv x , y ,在 z 0
x 0 iy 0 连续
u , v 在 x 0 , y 0 连续。
'
''
'
''
定义4:设 w f z 定义于E,若 0, 0 z , z , z z
有 f z f z ,则 f z 在E上一致连续。
'
''
定理3:若 w f z 在有界闭集E上连续则
1) f z 在E上有界
2) f z 在E上有最大值和最小值
3) f z 在E上一致连续
例4:设
f
z
f z
1 z z
2
2i
zz
2
1
z z z z
2i
r
2
sin 2
lim f
0
z (沿正实轴
lim f
z 1 (沿第一象限的平分角线
z 0
z 0
故
,试证 f z 在原点不存在极限,从而在原点不连续。
z r co s i sin ,则
证:令变点
从而
1 z z
z 0
2i z
z
f
)
0
4
)
z 在原点不存在极限,从而在原点不连续。
4、复球面与无穷远点
1.扩充复平面:复平面+无穷远点
2.扩充复平面解析集合模型:复球面
在点坐标是
( x , y , u ) 的三维空间中,把
xOy面看作就是 z x iy 面。考虑球面:S
x y u 1
2
2
2
取定球面上一点N ( 0 , 0 ,1) 称为球极。我们可以建立一个复平面C到 S
u
N ( 0 , 0 ,1)
y
A' ( x ' , y ' , u ' )
A ( x , y ,0 )
x
O
S ( 0 , 0 , 1)
{ N } 之间的一个1-1
对应:
z x iy
x'
zz
| z | 1
2
zz
x ' iy '
1 u'
| z | 1
2
,y ' | z | 2 1 ,u ' | z | 2 1 。
我们称上面的映射为球极射影。
对应于球极射影为 N ,我们引入一个新的非正常复数无穷远点 ,称 C { }
为扩充复平 C 。
的运算
3.“数”
其实部、虚部、辐角无意义,模等于 ;基本运算为(a为有限复数):
a a
a a
a
0
( a 0 );
a
(a 0)
0(a )
本章《完》