Transcript 圆弧长为定长的曲边三角形AOB面积最大。

等周问题
圆是最完美的图形。
——但丁
引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）
• 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一
天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但
太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。
• 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。
• 巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐，
• 又跑了许多路再向左拐第二个直弯，
• 此时正值中午，巴霍姆又跑了2里，
• 还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。
• 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1
千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。
• 托尔斯泰通过小说告诫世人：
• 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。
本课题学习的意义
• 苏步青认为：等周问题是人类理性文明中，
既精要又美妙的一个古典几何问题，是数
学教师理想的进修课题。”
• 等周问题是17世纪数学家感兴趣的问题之
一。它在数学发展史上占有重要地位，对
变分法的产生和发展起了重要作用。
等周问题的发现——自然界的现象
 大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，千万种美
丽的花朵，都是圆形的。
 水管等管道
 大自然也偏爱球形
 树叶上的露珠，太阳、地球、月亮、行星，
头盖骨等都自然地形成球形或近似于球形。
 寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽
可能蜷伏成球形。
 很多水果是球形的，等等。
 这是为什么？
等周问题的发现——泡沫实验
17世纪各种泡沫实验在数
学家中风靡一时，实验的
目的是从中获取数学猜想。
•把一根柔软的细线两端连接起来，围成一个任意
形状的封闭曲线，把它轻轻放在充满泡沫的肥皂液
上，用烧热的针刺破曲线内的薄膜，此时这条封闭
曲线立即变成一个圆.
泡沫实验获得的猜
想：在周长为定值
的一切封闭曲线中,
以圆所围成的面积
为最大。
笛卡尔的验证
这个简短的表强烈地
暗示出等周定理，因
为再在表中增加几个
图形，也增加不了多
少启发性。
周长为1的图形的面积
图形
面积
圆
0.0793
正方形
0.0625
象限角形900
0.0616
矩形（3：2）
0.0601
半圆
0.0595
等边扇形600
0.0564
矩形（2：1）
0.0556
等边三角形
0.0481
矩形（3：1）
0.0464
等腰直角三角形
0.0427
等周定理：周长定值的一切封闭
曲线中,圆围成的面积最大 。
• 假设φ是周长为定值
面积最大的封闭曲线。
• 最后证平分周长与面积
的弦AB必是直径；
• 首先证明φ是凸图形,
• 然后证明平分φ周长的
弦必平分面积；
• 综上所述φ为圆.
等周定理的2种形式及其等价
形式1：在所有等周的平面封闭图形中，
以圆面积最大。
•形式2：在所有等面积的平面封闭图形中，
以圆周长最小。
设

是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的
非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。
设

是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的
非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。
证明：假设 p  q 。作 的同心圆  / ，使其有周长q，于是由
pq
知，圆  / 必在圆
A A
/

的内部，圆
.但另一方面，由于

/ 的面积
/
和P有相同的周长，依据等周定理1，应有 A  A
/
这就产生了矛盾。
故必有p<q
等周定理应用——纪塔娜问题
•传说古代非洲沿海某部落
酋长答应给纪塔娜一块
“由灰鼠皮能包住”的土
地。纪塔娜想出了巧妙的
办法，在海岸边划出了一
块意想不到大的土地。问：
纪塔娜如何围呢？
将灰鼠皮尽量剪细，结
成尽可能长的一条线。
沿海岸线对称，则构成一
周长为定值的封闭图形。
结论：沿海岸线
用这条长线围成
一半圆时，“土
地”面积最大。
多边形等周定理
•在周长为定值l的n(n≥3)边形中，怎样的n
边形面积最大？
•注意：⊿ABC的边AB固定，其它两边之和一定的所
有三角形中，以等腰三角形的面积为最大。
法1
利用三角形面积的海伦公式
法2 顶点C的轨迹是椭圆，故当点C在短
轴的顶点时面积最大。
•引理1： 在周长为定值l的n(n≥3)边形中，
要使其面积最大，各边必须相等。
多边形等周定理
An+1
A1
• 确认一个事实：
• 在边长给定的n边形中，一定
存在一个内接于圆的n边形。
A2
• 引理2：在各边之长固定的所有n边形
中，能内接于圆的n边形面积最大。
An
• 多边形等周定理：
• 在周长为定值l的一切
n(n≥3)边形中，正n边形的
面积最大。
多边形等周定理
的证明
证明：设Φ是那个面积最大的n边形，
则Φ的各边相等（等于l/n），
否则，据引理1可找到比Φ的面积更大的n边形。
Φ既然是边长为l/n的n边形，
由引理2，Φ一定内接于圆。
综上所述，Φ是正n边形。
总结：等周定理系列
• 在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最
大。
• 在所有等面积的平面封闭图形中，圆周长
最小。
• 在所有等周的n(n≥3)边形中，正n边形面
积最大。
• 在所有等面积的n(n≥3)边形中，正n边形
的周长最小。
• 空间中有类似的定理。
应用2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）
• 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一
天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但
太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。
• 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。
• 巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐，
• 又跑了许多路再向左拐第二个直弯，
• 此时正值中午，巴霍姆又跑了2里，
• 还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。
• 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1
千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。
• 托尔斯泰通过小说告诫世人：
• 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。
等周问题的应用3——杆和绳
•已知一根杆和一条绳，把杆的各端与绳的
相应各端系在一起（当然绳比杆长），怎
样才能围出最大的面积?
弓形
弓形
结论：当绳构成一段圆弧时，由杆
和绳所围成的面积最大。
杆和绳问题推广
两根杆AB和CD，两条定长的绳BC和AD，如何
结成一曲边四边形ABCD，才能围出最大面积？
答：当绳BC和AD是以杆
AB和CD为弦的同一圆的
圆弧时有最大值。
类似的，n根杆与n条绳交
替相连，当所有杆均为同
一圆的弦，所有绳均为该
圆的圆弧时，由这2n段组
成的封闭曲线有最大面积。
等周定理应用4——海角问题
•已知一张开小于1800的角。用一定长的线截此
角，怎样才可使截下的曲边三角形面积最大？
•考虑特殊角，如120度，90度，
45度等情形，你能获得什么结论？
结论：若已知角的n倍恰为
360度，则以角的顶点为圆
心且圆弧为定长所围成的曲
边三角形最大面积。
进一步猜想：
用一定长的线截一小于1800的
角，则以角的顶点为圆心、定
长为圆弧所围成的曲边三角形
面积最大。
对吗？
问题的解决—猜想的证明
1.给定一个角和分别在两边
上的定点A,B，问如何由此
角和连接A,B的定长曲线围
出最大面积的曲边三角形？
连结A,B两点，转化为
“一根杆和一条绳”问
题
A
B
1的结论：当具有已知长度
的曲线为圆弧时面积最大
2.给定一角和其中一边上的定
点A，求由此角和过点A的定长
曲线围出的最大面积。
A
C
O
将角AOC关于OC反射，问题归结为1
2的结论：当具有已知长度的曲
线为垂直OC的圆弧时有最大值
A
C
O
但尚不知给定的一角为
钝角的情形。？？
A1
3.给定一锐角，如何由此角
和定长曲线围出最大面积的
曲边三角形AOB？
利用局部变动法。把A当成
固定的，由2知其解为垂直
于OB的圆弧；把B当成固
定的，由2知其解为垂直于
OA的圆弧。最后，解是既
垂直于OA又垂直于OB的圆
弧，因此其圆心为O。
A
O
B
A
B
O
所以，以O为圆心，圆弧长
为定长的曲边三角形AOB面
积最大。
A1
C
A
征解：给定一钝角，如何由
此角和定长曲线围出最大面
积的曲边三角形？
练习
• 5、水槽问题
• 已知马口铁的宽度为b，用它来制作水槽。由于水槽
的截面愈大，水的流量就愈多，因此希望截面尽可
能地大。
• ①若要求水槽的截面为等腰梯形，那么如何设计水
槽的底与腰长以及底角，才能使水槽中水的流量最
大？若水槽的截面为五边形，又该如何设计？说明
理由。
• ②问怎样利用马口铁的现有宽度，来满足水槽具有
最大截面的要求？说明理由。
• 6、（1978年北京市数学竞赛题）设有一直角O，试
在直角的一边上求一点A，在另一边上求一点B，在
直角内求一点C，使BC+CA等于定长l，且使四边形
ACBO的面积最大。
问题探讨
• 1.表面积为定值，体积最大的n棱柱
的形状如何？说明理由。
• 2.表面积为定值，体积最大的柱体形
状如何？说明理由。
结语
• 等周定理能启迪我们不断提出问题；
• 波利亚说，等周的根深札于我们的
经验直觉之中，它是灵感的不竭源
泉。