Transcript 实验一

实验一
计算复变函数极限、微分、积分、
留数、泰勒级数展开式
（一） 实验类型：验证性
（二） 实验类别：基础实验
（三） 实验学时数：2学时
MATLAB实现内容
1、MATLAB求复变函数极限
2、MATLAB求复变函数微分
3、MATLAB求复变函数积分
4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数
5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式
MATLAB基本命令
1、MATLAB求复变函数极限
用函数limit求复变函数极限
【Matlab源程序】
syms z
f=;
limit(f,z,z0)
返回极限结果
ze z
f (z) 
sinz
例1 求
在z=0的极限
解 syms z;
f=z*exp(z)/(sin(z))
limit(f,z,0)
ans =
1
例2 设
f ( z) 
sin z
z
f ( z)
求 lim
z 0
lim f ( z)
z 1i
解 【Matlab源程序】
syms z
f=sin(z)/z;
limit(f,z,0)
ans=
1
limit(f,z,1+i)
..
ans=
1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)
+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)
2、 MATLAB求复变函数微分
用函数diff求复变函数极限
【Matlab源程序】
syms z
f=（）;
diff(f,z)
返回微分结果
z
e
f
(
z
)

, 求f z 
例3设
1  z sinz
解 syms z
f=exp(z)/((1+z)*(sin(z)));
diff(f)
ans =
exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)
-exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)
3、 MATLAB求复变函数积分
(1)用函数int求解非闭合路径的积分.
【Matlab源程序】
syms z a b
f=
int(f,z,a,b)
返回积分结果
0
i
例 4 求积分 x1= i ch3zdz; x2  0 ( z 1)e z dz
π
6
解 syms z
x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)
x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)
结果为：
x1 = -1/3*i
x2 = -i/exp(i)
(2) 用函数int 求解闭合路径的积分.
例5 计算积分
1
 |z|2 ( z  i)10 ( z 1)( z  3) dz
的值．
解 【Matlab源程序】
syms t z
z=2*cos(t)+i*2*sin(t);
f=1/(z+i)^10/(z-1)/(z-3);
inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)
结果为 inc =779/78125000*i*pi+237/312500000*pi
若只输出6位有效数值，使用语句 vpa(inc,6)
结果为 ans =.238258e-5+.313254e-4*i
4、 MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数
（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的
多项式
用函数residue求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数
【Matlab源程序】
[R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点
说明：向量B为f(z)的分子系数；
向量A为f(z)的分母系数；
向量R为留数；
向量P为极点位置；
向量k为直接项:
例6 求函数
z2 1
z 1
在奇点处的留数．
解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1])
结果为：
R=
2
P =
-1
K = 1 -1
z
例7 计算积分  C z 4  1 dz 的值，其中C是正向圆周 z  2
．
解 先求被积函数的留数
[R,P,K]= residue ([1,0],[1,0,0,0,-1])
结果为：
R=
可见在圆周 z  2
0.2500
内有四个极点,所以积分值等于
0.2500
-0.2500 + 0.0000i
S  2πisum(R)
-0.2500 - 0.0000i
P=
S=2*pi*i*sum(R)
-1.0000
结果为S =0
1.0000
故原积分
0.0000 + 1.0000i
0.0000 - 1.0000i
z
dz  2πi  sum(R)=0
4

C
K=
z 1
[]
（2）如果已知函数奇点z0的重数为m,则可用下面的
MATLAB语句求出相应的留数．
R=limit(F*(z-z0),z,z0) %单奇点
R=limit(diff(F*(z-z0)^m,z,m-1)
/prod(1:m-1);z,z0)
例8 求函数
1
  2z

f z   3
sin z  e
z z  1 
3
在孤立奇点处的留数．
% m重奇点
解 分析原函数可知：z
 0 是三重奇点，
z  1 是单奇点，因此可以直接使 用下面的
MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数．
syms z
f=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z^3*(z-1))
R=limit(diff(f*z^3,z,2)/prod(1:2),z,0)
结果为：R = -1/4*3^(1/2)+1/2 ;
limit(f*(z-1),z,1)
ans =
1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3^(1/2)
5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式
（1）用函数taylor求f(z)泰勒级数展开式
【Matlab源程序】
syms z
f=
Taylor(f,z0)
返回f(z)在点z0泰勒级数展开式
例9 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项
syms z a b;
f=1/(z-b);
taylor(f,z,a,4)
ans =
1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2
-1/(a-b)^4*(z-a)^3
（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数
展开式.
【Matlab源程序】
syms x y; f=();
F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,m)
返回在(0,0)点处
的泰勒级数展开式的前m项.
F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=x0,y=y0]’,m) 返回在
(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.
F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,m)
返回对单变量
在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.
 x2  y2  xy
例10 求函数z  f ( x, y)  ( x  2x)e
2
在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式．
【Matlab源程序】
syms x y;
f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4)
在(0,0)点处的泰勒级数展开式：
ans =
-2*x+x^2+2*x^3+2*y*x^2+2*y^2*x
maple(‘mtaylor’,f,‘[x=1,y=a]’,2)
在(1,a)点处的泰勒级数展开式：
ans =
-exp(-1-a-a^2)-exp(-1-a-a^2)*(-2-a)*(x-1)
-exp(-1-a-a^2)*(-2*a-1)*(y-a)
maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,2) 在x=a处泰勒级数展开式：
ans =
(a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)
+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y)
+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)
作业：
课本上例题每一类型各选一题，写出实验报告
P51: 习题二，2.1，2.3
P76: 习题三，3.8（1），（2）。3.11（2）
P91: 例4.8（前4项），例4.9（前4项）。
P132: 5.2
求函数 z 2  9 z 4 在z  0处留数
P132: 5.7（2）， 5.8（2）。