Transcript Matricna analiza nosaca u ravni po Teoriji II reda

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
VI čas
3. Stabilnost konstrukcija
1
6.8 Metoda početnih parametara

Osnovne jednačine
štapa:


Linearizovana teorija
II reda-tačno rešenje
Linearizovana teorija
II redaaproksimativno
rešenje
R  K q  Q
R   K0  K g   q  Q
3. Stabilnost konstrukcija
2


Matrice krutosti po K i Kg linearizovanoj
Teoriji II reda, tačno i aproksimativno
rešenje, znamo da odredimo.
Treba odrediti vektor ekvivalentnog
opterećenja po linearizovanoj Teoriji II
reda, tj, Q = ?
3. Stabilnost konstrukcija
3


Vektor ekvivalentnog opterećenja ćemo
odrediti primenom metode početnih
parametara iz nehomogene
diferencijalne jednačine šapa.
Vrednost partikularnog integrala ćemo
odrediti u zavisnosti od zadatog
opterećenja.
3. Stabilnost konstrukcija
4
Metoda početnih parametara
6.8.1 Pritisnut štap

Pritisnut štap – homogena dif.jednačina
i rešenje
S
v  k v  0 ( k 
) 
EI
v( x )  C1  C2 kx  C3 sin kx  C4 cos kx
IV

2
2
Ci su integracione konstante koje se
određuju iz graničnih uslova štapa
3. Stabilnost konstrukcija
5

Integracione konstante se određuju iz
graničnih uslova na početku štapa:
- ugib
v0  v(0)
 0  v(0)
- nagib
M 0   EI v(0)
- momenat savijanja
V0   EIv(0) Sv(0)
- transverzalna sila
3. Stabilnost konstrukcija
6

Diferenciranjem se dobija
v( x)  C2 k  C3 k cos kx  C4 k sin kx
2
2


v ( x)  C3 k sin kx  C4 k cos kx
v( x)  C3 k cos kx  C4 k sin kx
3
3. Stabilnost konstrukcija
3
7

Unošenjem dobijenih izraza u granične uslove,
dobija se sistem jednačina po konstantama Ci
v(0)  v0  C1  C4
v(0)  0  C2 k  C3 k
M (0)   EI v(0)  M 0  C4 S
V (0)   EI v(0)  Sv(0)  V0  C3 kS  S (C2 k  C3 k )   SkC2
gde je S=k2EI
3. Stabilnost konstrukcija
8

Rešavanjem sistema jednačina dobija se:
V0
C2   ,
Sk
M0
,
C4 
S
M0
,
C1  v0 
S
0 V0
,
C3  
k Sk
3. Stabilnost konstrukcija
9
Rešenje homogene dif. jednačine pritisnutog
štapa Metodom početnih parametara glasi:

v( x)  v0   0 
sin kx
1  coskx
kx  sin kx
 M0  2
 V0 
k
k EI
k 3 EI
gde su v0, , M0 i V0 početni parametri (ugib,
nagib, momenat savijanja i transverzalna sila na
početku štapa)
3. Stabilnost konstrukcija
10
Opterećenje duž ose štapa py(x)=p(x)
x
p( )d
p(x)
y
S
M0
v0
d
0
v(x)
V0

x-
x
Nehomogena dif. jednačina:
p ( x)
v( x)  k v( x) 
EI
IV
2
3. Stabilnost konstrukcija
II
11

Rešenje nehomogene diferencijealne
jednačine je zbir rešenja homogenog
dela vh(x) i partikularnog integrala vp(x) :
v( x)  vh ( x)  v p ( x)

Partikularan integral pretpostavljamo u
pomeranje usled sile
obliku:
sila
x k ( x   )  sin k ( x   )
v p ( x)  

p
(

)
d

3
0
k EI
3. Stabilnost konstrukcija
12

Partikularan integral za pritisnut štap
opterećen raspodeljenim opterećenjem
p(x)=const je:
p
Fp ( x) 
kS
x
  k ( x   )  sin k ( x   )  d 
0
x
p

cos k ( x   ) 
Fp ( x) 

 kx  k

kS 
2
k
0
2
3. Stabilnost konstrukcija
13

Za konstantno opterećenje partikularan
integral je:
p
k 2 x2
Fp ( x)  2  (cos kx  1 
) za S  0 ( prit.)
2
k S
p
k 2 x2
Fp ( x)  2  (chkx  1 
) za S  0 ( zat.)
2
k S
3. Stabilnost konstrukcija
14

Opšte rešenje se može prikazati u
obliku:
sin kx
1  cos kx
kx  sin kx
v( x)  v0   0
 M0 2
 V0
 v p ( x)
3
k
k EI
k EI
sin kx
1  cos kx
 ( x)  v( x)   0 cos kx  M 0
 V0 2
 vp ( x)
k EI
k EI
sin kx
 EI vp ( x)
k
S
2
(k  )
EI
M ( x)   EI v( x)   0 EI k sin kx  M 0 cos kx  V0
x
V ( x)   EI v( x)  S v( x)  V0   p ( )d
0
3. Stabilnost konstrukcija
15

Ako uvedemo funkcije:
sin kx
F1 ( x)  1, F2 ( x) 
,
k
1  cos kx
kx  sin kx
F3 ( x)  
, F4 ( x)  
S
kS
3. Stabilnost konstrukcija
16

Opšte rešenje nehomogene dif.jedačine
x
v( x)  v0  F1 ( x)   0  F2 ( x)  M 0  F3 ( x)  V0  F4 ( x)   p( )  F4 ( x   )d
0
x
sin kx
 ( x)   0 cos kx  M 0
 V0  F3 ( x)   p ( )  F3 ( x   )d
k EI
0
x
M ( x)   0 EI k sin kx  M 0 cos kx  V0  F2 ( x)   p( )F2 ( x   )d
0
x
S
2
V ( x)  V0   p ( )d
(k  )
EI
0
3. Stabilnost konstrukcija
17
Ako uvedemo nove funkcije Ij(x), j=1,2,3,4:
x
I1 ( x)   F1 ( x   ) p( )d 
0
x
I 2 ( x)   F2 ( x   ) p( )d 
0
x
I 3 ( x)   F3 ( x   ) p( )d 
0
x
I 4 ( x)   F4 ( x   ) p( )d 
0
3. Stabilnost konstrukcija
18
dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i
sile u preseku:
v( x)  v0  F1 ( x)  0  F2 ( x)  M 0  F3 ( x)  V0  F4 ( x)  I 4 ( x)
k sin kx
 ( x)  0 cos kx  M 0
 V0  F3 ( x)  I 3 ( x)
S
M ( x)  0 EI k sin kx  M 0 cos kx  V0  F2 ( x)  I 2 ( x)
V ( x)  V0  I1 ( x)
S
(k  )
EI
2
3. Stabilnost konstrukcija
19
6.8.2 Zategnut štap


Diferencijalna jednačina zategnutog
štapa je :
p( x )
IV
2
v  k v 
EI
Koriste se rešenja za pritisnut štap, u
koja se unose sledeće izmene:
S   S k  ki i  1
cos iz  chz  i sin iz  shz
3. Stabilnost konstrukcija
20

Za pritisnut štap je:
sin kx
F1 ( x)  1 F2 ( x) 
k
1  cos kx
kx  sin kx
F3 ( x)  
F4 ( x)  
S
kS
3. Stabilnost konstrukcija
21

Za zategnut štap se dobija:
F1 ( x)  1
z
sin ikx i shkx
F ( x) 

ik i
k
1  cos ikx 1  chkx
z
F3 ( x)  

S
S
ikx  sin ikx i kx  shkx
z
F4 ( x)  

ikS
i
kS
z
2
3. Stabilnost konstrukcija
22
Konačni izrazi za zategnuti štap su:
x
v( x)  v0  F1 ( x)  0  F ( x)  M 0  F ( x)  V0  F ( x)   p( )  F4z ( x   ) d 
z
z
2
z
3
z
4
0
x
ksh(kx)
 ( x)  0 ch (kx)  M 0
 V0  F3z ( x)   p( )  F3z ( x   ) d 
S
0
x
M ( x)  0 EI k sh (kx)  M 0 ch (kx)  V0  F2z ( x)   p ( ) F2z ( x   ) d 
0
x
V ( x)  V0   p( )d 
0
(k 2 
S
)
EI
3. Stabilnost konstrukcija
23
Ako uvedemo funkcije Ij(x), j=1,2,3,4, dobijaju se
izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:
v( x)  v0  F1z ( x)  0  F2z ( x)  M 0  F3z ( x)  V0  F4z ( x)  I 4z ( x)
ksh(kx)
 ( x)  0 ch (kx)  M 0
 V0  F3z ( x)  I 3z ( x)
S
M ( x)  0 EI k sh (kx)  M 0 ch (kx)  V0  F2z ( x)  I 2z ( x)
V ( x)  V0  I ( x)
z
1
S
(k  )
EI
2
3. Stabilnost konstrukcija
24
gde je:
x
I1z ( x)   F1z ( x   ) p ( )d 
0
x
I 2z ( x)   F2z ( x   ) p ( )d 
0
x
I 3z ( x)   F3z ( x   ) p ( )d 
0
x
I 4z ( x)   F4z ( x   ) p ( )d 
0
3. Stabilnost konstrukcija
25
6.8.3 Stepenasto promenljivo
opterećenje pravog štapa

Metoda početnih parametara
P2
P1
M1
M0
M2
p2
p1
p0
S
V0
x
a1
a2
3. Stabilnost konstrukcija
26

Funkcija ugib grede je oblika:
v( x)  v0   0  F2 ( x)  M 0  F3 ( x)  V0  F4 ( x)  Fp 0 ( x) 
 | x a1 M1  F3 ( x  a1 )  P1  F4 ( x  a1)  Fp1 ( x  a1) 
 | x a2 M 2  F3 ( x  a2 )  P2  F4 ( x  a2 )  Fp 2 ( x  a2 )  
3. Stabilnost konstrukcija
27

Nagib grede je:
k sin kx
 V0  F3 ( x)  F p 0 ( x) 
S
k sin k ( x  a1 )
 | x  a1  M1
 P1  F3 ( x  a1 )  F p 1 ( x  a1 ) 
S
k sin k ( x  a2 )
 | x  a2  M 2
 P2  F3 ( x  a2 )  F p 2 ( x  a2 )  
S
 ( x)   0  cos kx  M 0
3. Stabilnost konstrukcija
28

Momenat savijanja je:
M ( x)   0  EI k sin kx  M 0 cos kx  V0  F2 ( x)  EI  F p0 ( x) 
 | x  a1 M1 cos k ( x  a1 )  P1  F2 ( x  a1 )  EI  Fp1 ( x  a1 ) 
 | x  a2 M 2 cos k ( x  a2 )  P2  F2 ( x  a2 )  EI  F p2 ( x  a2 )  
3. Stabilnost konstrukcija
29

Transverzalna sila je:
V ( x)  V0  p0 x  | x  a1  P1  p1 ( x  a1 ) 
 | x  a2  P2  p2 ( x  a2 )  
3. Stabilnost konstrukcija
30