Transcript FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI Kolegij: Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu Studentice: Ana Jasak Danica Šabić Sadržaj  Uvod  Periodne funkcije  Eulerove formule  Fourierov red  Parne i neparne funkcije  Funkcije koje.

FOURIEROVI REDOVI
I INTEGRALI
Kolegij:
Matematičke metode u
kemijskom inženjerstvu
Studentice:
Ana Jasak
Danica Šabić
Sadržaj
 Uvod
 Periodne
funkcije
 Eulerove formule
 Fourierov red
 Parne i neparne funkcije
 Funkcije koje imaju proizvoljan period
 Poluperiodno proširenje reda
 Fourierov integral
Uvod
 Pri
rješavanju različitih inženjerskih
problema koriste se periodne funkcije:

trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
 Fourierovi
redovi rastavljaju periodnu
funkciju na zbroj jednostavnih funkcija,
sinusa i kosinusa
 Uveo
ih je veliki francuski fizičar Joseph
Fourier (1768-1830) kako bi riješio bilancu
topline metalne ploče
Periodne funkcije
 Funkcija
f(x) je periodna ako je definirana
za svaki realni x i ako postoji pozitivni broj
T za koji vrijedi:
f  x  T   f ( x)
za svaki x koji je element skupa R, realnih
brojeva
 Broj
T se tada zove period funkcije f(x)
 Grafovi
takve funkcije dobivaju se
periodičnim ponavljanjem grafa unutar bilo
kojeg intervala duljine perioda T
 Osnovne
periodne funkcije su
trigonometrijske funkcije:

sinus s periodom 2p
y
3 /2
/2
x
-5
-4
-3
-2
2
- /2
-
-3 /2
-2
sin x
3
4
5
 Osnovne
periodne funkcije su
trigonometrijske funkcije:

sinus s periodom p
y
3 /2
/2
x
-5
-4
-3
-2
2
- /2
-
-3 /2
-2
sin 2x
3
4
5
 Osnovne
periodne funkcije su
trigonometrijske funkcije:

sinus s periodom 2p/3
y
3 /2
/2
x
-5
-4
-3
-2
2
- /2
-
-3 /2
-2
sin 3x
3
4
5
 Osnovne
periodne funkcije su
trigonometrijske funkcije:

kosinus s periodom 2p
y
3 /2
/2
x
-5
-4
-3
-2
2
- /2
-
-3 /2
-2
cos x
3
4
5
 Osnovne
periodne funkcije su
trigonometrijske funkcije:

kosinus s periodom p
y
3 /2
/2
x
-5
-4
-3
-2
2
- /2
-
-3 /2
-2
cos 2x
3
4
5
 Osnovne
periodne funkcije su
trigonometrijske funkcije:

kosinus s periodom 2p/3
y
3 /2
/2
x
-5
-4
-3
-2
2
- /2
-
-3 /2
-2
cos 3x
3
4
5
 Bilo
koja periodna funkcija f(x) s periodom
2π može se aproksimirati trigonometrijskim
redom:
a0  a1 cos x  b1 sin x  a2 cos2x  b2 sin 2x 
• koeficijenti trigonometrijskog reda su:
a0 , a1, a2 , , an , b1, b2 , , bn
Eulerove formule
 Pretpostavimo
da je f(x) periodna funkcija s
periodom 2π, koju možemo prikazati
trigonometrijskim redom:

f ( x)  a0    an cos nx  bn sin nx 
n 1
 Želimo
odrediti koeficijente an i bn
 a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane
od -π do π:
p
p
p

p



f
(
x
)

dx

a

a
cos
nx

b
sin
nx
 n
dx
n
p
p  0 
n 1

p
p
p
 

f ( x)dx  a0  dx    an  cos nxdx bn  sin nxdx 
n 1 
p
p
p

p
p



p
p
 p

f ( x)dx  a0  dx    an  cos nxdx bn  sin nxdx 
n 1 
p
p
p


prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2πa0
dok su ostali integralni izrazi jednaki nuli
 Konačno
dobivamo:
1
a0 
2p
p
p f ( x)dx

 Koeficijente
način:
a1 , a2 ,
računamo na sličan


množimo izraz f ( x)  a0    an cos nx  bn sin nx 
n 1
s cosmx , gdje je m bilo koji fiksni pozitivni
cijeli broj, te dobijemo:
p
p


p



f ( x)cos mxdx   a0    an cos nx  bn sin nx  cos mxdx
n 1

p 
integriranjem član po član desna strana postaje
jednaka:
p
p
p
 

a0  cos mxdx    an  cos nx cos mxdx bn  sin nx cos mxdx 
n 1 
p
p
p

p
p
 p

a0  cos mxdx    an  cos nx cos mxdx bn  sin nx cos mxdx 
n 1 
p
p
p



prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer
je podintegralni izraz neparna funkcija)

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti
funkcije na drugi integral dobivamo izraz:
p
p
p
1
1
cos
nx
cos
mx

dx

cos
n

m
x

dx

cos  n  m  xdx


p


2 p
2 p

prvi integral s desne strane jednak je nuli za
svaki m i n koji se uzimaju u obzir, i posljednji
integral je jednak nuli kada je n≠m ili iznosi π za
svaki n=m
 Proizlazi
da je desna
strana jednaka amπ i
p
1
dobiva se: am  p  f ( x)cos mxdx
p
 Možemo
izračunati koeficijente b1 , b2 ,


množimo izraz f ( x)  a0    an cos nx  bn sin nx 
n 1
sa sin mx , gdje je m bilo koji fiksni pozitivni
cijeli broj i integriranjem u granicama od -π do
π dobijemo:
p
p


p



f ( x)sin mxdx   a0    an cos nx  bn sin nx  sin mxdx
n 1

p 
integriranjem član po član desna strana postaje
jednaka:
p
p
 p

a0  sin mxdx    an  cos nx sin mxdx  bn  sin nx sin mxdx 
n 1 
p
p
p


p
p
 p

a0  sin mxdx    an  cos nx sin mxdx  bn  sin nx sin mxdx 
n 1 
p
p
p



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral
također je jednak nuli za svaki n=1,2,…

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti
funkcije na zadnji integral dobivamo izraz:
p
p
p
1
1
p sin nx sin mxdx  2 p cos  n  m xdx  2 p cos  n  m  xdx

prvi i posljednji član integrala jednak je nuli
 Proizlazi
da je desna
strana jednaka bmπ i
p
1
dobiva se: bm   f ( x)sin mxdx
p
p
 Upisujući
n umjesto m u prethodno
dobivene formule za koeficijente, dobivaju
se Eulerove formule:
1
a0 
2p
p
p f ( x)dx

p
an 
1
f ( x)cos nxdx

p p
p
1
bn   f ( x)sin nxdx
p p
Fourierov red
 Pomoću
periodne funkcije f(x) sa zadanim
periodom 2π, možemo izračunati
koeficijente an i bn, prema Eulerovim
formulama i formirati trigonometrijski red:
a0  a1 cos x  b1 sin x 
 Ovaj
 an cos nx  bn sin nx 
red se naziva Fourierov red i odgovara
f(x) te njenim koeficijentima koje nazivamo
Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)
Teorem 1
 Ako
je periodna funkcija f(x) s periodom 2π
djelomično neprekinuta u intervalu p  x  p
i ima lijevu i desnu derivaciju u svakoj točki
intervala, onda je odgovarajući Fourierov
red konvergentan
 Koeficijenti
formulama
reda su dani Eulerovim
Primjedba
 Ako
Fourierov red koji odgovara funkciji f(x)
konvergira i ima sumu , kako je opisano u
Teoremu 1, red će se zvati Fourierov red
funkcije f(x) te možemo pisati:
f ( x)  a0  a1 cos x  b1 sin x 
 an cos nx  bn sin nx 
 Možemo
reći da je funkcija f(x) prikazana
ovim Fourierovim redom. Kako je ovaj niz
konvergentan, i novodobiveni red imat će
sumu jednaku sumi originalnog reda pa
možemo pisati: 
f ( x)  a0    an cos nx  bn sin nx 
n 1
Parne i neparne funkcije
y  g ( x) je parna ako je:
g ( x)  g ( x) za svaki x
 Funkcija
y
3 /2
/2
x
-5
-4
-3
-2
2
- /2
-
-3 /2
-2
3
4
5
y  h( x) je neparna ako vrijedi
h( x)  h( x) za svaki x
 Funkcija
y
3 /2
/2
x
-5
-4
-3
-2
2
- /2
-
-3 /2
-2
3
4
5
Teorem 1
 Fourierov
red parne periodne funkcije f(x) s
periodom 2π je kosinusni Fourierov red:

f ( x)  a0   an cos nx
n 1

s koeficijentima:
 Fourierov
p
p
1
2
a0   f ( x)dx,an   f ( x)cos nxdx
p0
p0
red neparne periodne funkcije f(x)
s periodom 2π je sinusni
Fourierov red:

f ( x)   bn sin nx
n 1
p
2
 s koeficijentima: bn 
f ( x)sin nxdx

p0
Teorem 2
 Fourierovi
koeficijenti sume f1+f2 su jednaki
sumi odgovarajućih Fourierovih
koeficijenata funkcija f1 i f2
Funkcije koje imaju proizvaljan period
 Prijelaz
s funkcija koje imaju period 2π na
funkcije s bilo kojim periodom T može se
provesti promjenom skale
 Ako
pretpostavimo da funkcija f(t) ima
period T onda možemo uvesti novu
varijablu x tako da f(t), kao funkcija od x,
ima period 2π

Ako je:
 Fourierov
T
t
x
2p
2p
onda vrijedi: x  t
T
red je sljedećeg oblika:

T


f (t )  f  x   a0    an cos nx  bn sin nx 
 2p 
n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim
formulama:
1
a0 
2p
p

p
T
f
 2p
p
1

x dx,an  
p p

T
f
 2p
p
1

x  cos nxdx,bn  
p p

T
f
 2p

x  sin nxdx

 Možemo
primijeniti i ove formule direktno
ali transformacija u t pojednostavljuje
računanje:
2p
2p
x
T
tdx 
T
dt
T
T
 interval integracije se mijenja i postaje:   t 
2
2
 Posljedično
dobivamo Eulerove formule za
Fourierove koeficijente funkcije f(t):
1
2
2np t
2
2np t
a0   f  t dt ,an   f  t  cos
dt ,bn   f t  sin
dt
T T / 2
T T / 2
T
T T / 2
T
T /2
T /2
T /2
 Fourierov
red u kojem je varijabla x
zamijenjena varijablom t ima oblik:
2np
2np 

f (t )  a0    an cos
t  bn sin
t
T
T 
n 1 

Teorem 1
 Fourierov
red parne funkcije f(t) s periodom
T je kosinusni Fourierov red:

2p n
f (t )  a0   an cos
t
T
n 1
2
 s koeficijentima: a0 
T
T /2

0
 Fourierov
4
f (t )dt ,an 
T
T /2

0
2np
f (t )cos
tdt
T
red neparne funkcije f(t) s
periodom T je sinusni Fourierov red:
2np
f (t )   bn sin
t
T
n 1
4
 s koeficijentima: bn 
p
T /2

0
f (t )sin
2np
tdt
T
Poluperiodno proširenje reda
 Neka
funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta
funkcija parna dobiva se kosinusni
Fourierov red:

np
f (t )  a0   an cos t
l
n 1
1
2
np
 s koeficijentima: a0   f (t )dt ,an   f (t )cos tdt
l0
l0
l
l
 Ako
l
je funkcija f(t) s periodom T=2l neparna
dobiva se sinusni Fourierov red:

np
f (t )   bn sin t
l
n 1
2
np
 s koeficijentima: bn 
f (t )sin tdt

l0
l
l
 Funkcija
f(t)
f(t)
l
t
 Periodičko
ponavljanje parne funkcije
perioda 2l
f 1(t)
l
l
t
 Periodičko
ponavljanje neparne funkcije
perioda 2l
f2(t)
-l
l
t
Fourierov integral
 Kako
mnogi praktični problemi ne
uključuju periodne funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovih redova
kako bi se mogla primijeniti i na neperiodne
funkcije
 Ako
započnemo s periodnom funkcijom fT(x)
s periodom T i pustimo da T neograničeno
raste (T→∞), onda tako dobivena funkcija
f(x) nije više periodna
 Imamo
funkciju fT(x) s periodom T koja se
može prikazati Fourierovim redom:
2p n
2p n 

fT ( x)  a0    an cos
x  bn sin
x
T
T 
n 1 

 ako uvedemo zamjenu: wn 

2np
T
uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama,
označimo varijablu integracije sa v dobivamo:
T /2
T /2
T /2

1
2  
fT ( x)   fT (v)dv   cos wn x  fT (v) cos wn vdv  sin wn x  fT (v)sin wnvdv 
T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


ako je:
wn 1  wn 
2(n  1)p 2np 2p
2p

 ,w  wn 1  wn 
T
T
T
T
da je 2 / T  w / p i Fourierov red
pišemo u obliku:
 Proizlazi
T /2
T /2
T /2

1
1  
fT ( x)   fT (v)dv   cos( wn x)w  fT (v) cos wn vdv  sin( wn x)w  fT (v)sin wnvdv 
T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


ovaj oblik vrijedi za svaki fiksni T proizvoljno
velik ali konačan
 Sada
pustimo da T neograničeno raste
(T→∞) i pretpostavimo da je rezultirajuću
neperiodnu funkciju:
f ( x)  lim fT ( x)
T 
moguće integrirati po osi x i da integral

f ( x) dx postoji


T /2
T /2
T /2

1
1  
fT ( x)   fT (v)dv   cos( wn x)w  fT (v) cos wn vdv  sin( wn x)w  fT (v)sin wnvdv 
T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1/T→0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani
približava se nuli

∆w=2 π/T→0
T /2
T /2
T /2

1
1  
fT ( x)   fT (v)dv   cos( wn x)w  fT (v) cos wn vdv  sin( wn x)w  fT (v)sin wnvdv 
T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2

 Beskonačan
red postaje integral od 0 do ∞
koji predstavlja f(x)




1 
f ( x)   cos wx  f (v) cos wvdv  sin wx  f (v)sin wvdv dw
p 0




ako uvedemo zamjenu
 f(x)
A(w) 




 f (v)cos wvdv,B(w)   f (v)sin wvdv
možemo pisati u obliku:

 Ovakav
integral
1
f ( x)    A( w)cos wx  B( w)sin wx dw
p0
oblik f(x) se naziva Fourierov
Teorem 1
 Ako
je f(x) po dijelovima neprekinuta u
svakom konačnom intervalu i ima lijevu i
desnu derivaciju u svakoj točki i ako
integral



f ( x) dx postoji onda se f(x) može
prikazati Fourierovim integralom
U
točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost
Fourierova integrala jednaka je prosječnoj
vrijednosti lijevog i desnog limesa funkcije
f(x) u toj točki
 Ako
je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i

slijedi:
A(w)  2 f (v)cos wvdv
0

Fourierov integral se reducira u jednostavniji
oblik:

1
f ( x)   A( w) cos wxdw
p0
 Ako
je f(x) neparna funkcija, onda je
A(w) = 0 i slijedi: 
B( w)  2 f (v)sin wvdv
0

Fourierov integral se može pisati prema:

1
f ( x)   B ( w)sin wxdw
p
0