Transcript PowerPoint-Präsentation

Periodične funkcije
3T/2
T/2
T
0
• Periodična funkcija je
tip funkcije koja
ponavlja svoje
vrednosti u određenim
intervalima
(periodama)
t
f (t )  f (t  T )
T
za t
• Period se definiše kao trajanje jednog ciklusa događaja koji se ponavlja.
• Učestanost (frekvencija) je broj ponavaljanja događaja u jedinici vremena
1 1
f  , s , Hz
T
1
Primeri periodičnih napona i struja
u(t)
i(t)
0
t
T
t
0
u(t) or i(t)
T
3T/2
T/2
T
0
t
T
2
Vremenski oblik
u(t) or i(t)
XM
π
2π
3π
ωt
0
X M  amplitudaili maksimalnavrednost
2π
f (t )  f (t  T )
za t
  ugaona frekvencija (rad/s)
 t  argument(rad)
sin(  t )  sin(  t    T )
  t   T    t  2 
2 
2 
 T  2  T 
,s  
 2    f , rad/s

T
3
u(t )  U m  sin(  t   )
u(t)
u(0)
Um
0
u(0)  U m  sin 
t
Amplituda ili maksimalna vrednost - U m
θ
Faza - 
Period:
sin(  t   )  sin(  t    T   )
  t   T      t   2 
2 
 T  2  T 
,s


f 
2 
• Učestanost naizmenične struje u
Evropi je 50 Hz
• Učestanost naizmenične struje u
Severnoj Americi je 60 Hz
4
Osnovi teorije naizmeničnih struja
ω
a
l
→
S
i
i
R
θ
→
B

Ako se metalni okvir u magnetnom polju B ,
koje je ortogonalno u odnosu na osu
rotacije, obrće ugaonom brzinom  i
primeni se Faradejev zakon:
et   
dΦ
dt
S  a l
Φ  B  S  B  S  cos  t   B  S  cos
d B  S  cos  t 
et   
   B  S  sin   t 
dt
et   Em  sin   t 
it  
et  Em

 sin   t   I m  sin   t 
R
R
5
Efektivna vrednost naizmenične struje
• Ako uporedimo energiju jednosmerne i naizmenične struje u intervalu T
W1  R  I 2  T
dW2  R  i  dt
2
T
W2   R  i 2  dt
0
T
W1  W2
T
I RMS
T
1 2
2
2
 R  I  T   R  i  dt  I 
i  dt

T 0
0
1

  i 2 (t )dt
T 0
• Efektivna (srednje kvadratna) vrednost
periodične struje ima isti efekat kao i
jednosmerna struja iste vrednosti.
T
U RMS
• Slično se može izračunati:
1

  u 2 (t )dt
T 0
• Proračun srednje vrednosti naizmenične struje nije preterano smislen:
i(t )  I m  sin  t 
T
dobijamo
1
isr    i(t )dt  0
T 0
6
Veza efektivne vrednosti i amplitude
i t   I m  sin   t    
T
2
  t    dt ;
I

sin
m
2
0
sin 2  
1
 1  cos2   
2
T
1
2
 I m   1  cos2    t   2  dt 
2
0
T
1
T

2 
  I m  t 
 sin 2    t   2  
2
 4 
0
T
2
i
  dt I m 
2
0
T
T
2
1
1
I
2 T
I
  i 2  dt 
 I m   m  0,707 I m
T 0
T
2
2
Slično:
U
Um
2
7
Proračun struje i snage u kolu sa naizmeničnom strujom
R
Naizmenični elektromotorni izvor povezan je
na otpornik:
et   R  i t   0
i(t)
e(t)
et   Em  sin   t   2  E  sin   t 
i t  
Em
 sin   t   I m  sin   t   2  I  sin   t 
R
Trenutna snaga definiše se kao:
pt   et   it   2  E  sin   t   2  I  sin   t 
pt   2  E  I  sin 2   t   E  I  1  cos2    t 
pt   E  I  E  I  cos2    t 
8
p
Em
EI
t
Im
2EI
i e
T
T
T
T
1
1
1
P    pt   dt    u t   i t   dt    E  I  E  I  cos2    t  dt
T 0
T 0
T 0
EI
EI
 EI 
  cos2    t   dt  E  I 
 sin 4  π   sin 0  E  I
T 0
2  T
T
1
P  E  I   Em  I m  R  I 2
2
9
Proračun struje i snage – induktivno opterećenje
Naizmenični elektromotorni izvor povezan je
na zavojnicu:
L
et   L 
i(t)
e(t)
di
0
dt
Em  sin   t   L 
di
0
dt
Em
it  
  sin   t   dt
L
it  
Em
 cos  t   k ; k  0
L
Em
E
π

Im 
 I
 it   I m  sin    t  
L
L
2

10
π

pt   et   it   2  E  I  sin   t   sin    t  
2

sin   sin  
1
 cos     cos   
2
1  π
π 

pt   2  E  I   cos   cos 2    t  
2  2
2 

cos     cos  cos   sin   sin 
pt    E  I  sin 2    t 
e
p
T
1
P    pt   dt
T 0
i
t
T
EI
P
  sin 2    t   dt  0
T 0
T
11
Proračun struje i snage – kapacitivno opterećenje
Naizmenični elektromotorni izvor povezan je na
kondenzator:
i(t)
q
et    0
c
C
e(t)
Em
i  dt

 sin   t  
0
 i  dt  C  E
C
m
 sin   t 
d
/
dt
π

i t     C  Em  cos  t     C  Em  sin    t  
2

I m    C  Em
π

 I    C  E  it   I m  sin   t  
2

12
π

pt   et   it   2  E  I  sin   t   sin    t  
2

1
sin   sin    cos     cos   
2
1   π
π 

pt   2  E  I   cos    cos 2    t  
2   2
2 

cos     cos  cos   sin   sin 
pt   E  I  sin 2    t 
T
e
1
P    pt   dt
T 0
i
t
p
T
EI
P
  sin 2    t   dt  0
T 0
T
13
Fazori
A
A
Am
0 ωt
Am
0
ωt
• Fazor je predstava sinusoidne
funkcije čija amplituda (A),
ugaona učestanost (ω) i faza (θ)
ne zavise od vremena
• Fazor je vektor koji se okreće
ugaonom brzinom ω
• Kako je ugaona učestanost
jedinstvena u kolima naizmenične
struje, može se izostaviti, tako da
ostaju samo A i θ
• Korišćenjem fazora, zamenjujemo
trigonometriju algebrom, a
linearne diferencijalne jednačine
postaju algebarske
• Kada se utvrđuju odnosi faza na
fazorskom dijagramu,
pretpostavlja se da se fazori
okreću u smeru suprotnom od
kazaljke na satu.
14
ω
y
Em
E2m
α
φ
φ2
φ2-φ1
E1m
φ1
x
Em  E1m  E2 m  2  E1m  E2 m  cos
2
2
2
  π   2  1 
Em  E1m  E2 m  2  E1m  E2 m  cosπ   2  1 
2
tg 
2
E1m  sin 1  E2 m  sin  2
E1m  cos1  E2 m  cos 2
15
Redno RLC kolo
R
i(t)
L
di  i  dt
et   R  i  L  
0
dt
C
C
di  i  dt
Em  sin   t   R  i  L  
dt
C
e(t)
it   I m  sin   t    Ako uzmemo da struja kasni u odnosu na napon za ugao φ
π
di

   I m  cos  t       I m  sin    t    
2
dt

π

 i  dt     cos  t       sin   t    2 
Im
Im
Em  sin   t  
π
π I


R  I m  sin   t       L  I m  sin    t      m  sin    t    
2
2   C


16
π I
π


Em 0  R  I m       L  I m       m     
2   C 
2

y
π I
 π
Em   R  I m 0    L  I m    m   
 2   C  2 
Im
 C
  L  Im
1 

I m    L 

 C 

Em
φ
RIm
X L
1
;
 C
  arctg
x
X
R
Ako je pretpostavka da struja kasni u odnosu na
napon bila netačna, rezultujuće φ je negativno.
17
Predstava naizmeničnih struja i napona kao
kompleksnih brojeva
Im
Iz Ojlerove jednačine:
e j  cos  j  sin 
A
A  A  e j  A  cos  j  A  sin 
A  sin 
Re{A}  A  cos

A  cos 
Im{A}  A  sin 
Re
  arctg


Im{A}
Re{A}
A2  Re{A}2  Im{A}2
- j se koristi kao imaginarna jedinica j  1 da bi se izbeglo mešanje
sa oznakama za struju
- sabiranje/oduzimanje kompleksnih brojeva - a  j  b “Kartezijanski” oblik
- množenje/ deljenje kompleksnih brojeva - A  e j - polarni oblik
18
• Ako imamo struju: i(t )  I m  sin(  t  )
• Ona se može predstaviti kao:
i(t )  I m  e j t    I m  e jt  e  I 2  e jt  e
• Ako je učestanost kola poznata unapred
dobijamo:
i(t )  I 2  sin(  t  )
2  e jt se može izostaviti, tako da

I  I  e j
• U literaturi se može pronaći još jedna forma ove transformacije, zasnovana na
kosinusnoj funkciji:
j
i(t )  I 2  cos(  t  )

I  I e
• Ne postoji značajna razlika, jer ovim transformacijama uzimamo jednu sliku pozicije
fazora (rotirajućih vektora). Korišćenje kosinusne umesto sinusne funkcije znači da
se ta slika uzima kada se vektori pomere za dodatni ugao (π/2). Značajno je
međutim, prilikom rešavanja kola, pridržavati se jedne transformacije. Nekada je
transformacija zasnova na maksimalnoj ( I m), a ne srednje efektivnoj vrednosti (I).
• Da bi se izbegla konfuzija, fazori se predstavljaju preko njihovih efektivnih, a ne
maksimalnih vrednosti, s obzirom da smo više zainteresovani za efektivne
vrednosti. Pišemo:
i(t )  I m  sin(  t  )  I 2  sin(  t  )  I  I  e j
19
Primer konverzije iz vremenskog u kompleksni domen
• Ako u kolu postoje struja i napon:
2  

i(t )  20  sin 103  t 
 mA
3 

3 

u (t )  50  cos103  t 
V
4 

prevesti ove funkcije u njihove kompleksne predstave.


cos  sin    
2

 
3
u (t )  50  sin   103  t 
4
2 



3

V

50

sin

10

t



V
4


sin( )   sin   sin(   )

5 


u (t )  50 sin103  t   V  50 sin103  t 
4
4



V

20
2  
20  j
 3
i (t )  20  sin 10  t 
e
 mA  I 
3 
2

5 

u (t )  50  sin 103  t 
4

2
3
mA
50 j 54

e
V
V U 
2



U
I
21
Alternativno:
2  

i(t )  20  sin 103  t 
 mA
3 

3 

u (t )  50  cos103  t 
V
4 



sin   cos   
2

 
2 
i (t )  20  cos  103  t 
3
2 
7 


3

mA

20

cos

10

t



6



 mA

cos  cos( )
7 

i(t )  20 cos  103  t 
6

7 

 3
mA

20

cos
10

t



6



 mA

22
7 

i (t )  20  cos103  t 
6

20  j

e
 mA  I 
2

7
6
mA
3 
50 j 34
 3
u (t )  50  cos10  t 
e
V
V U 
4 
2

U
I


Najčešće, uglovi se svode tako da pripadnu
  ,  ili 1800 ,1800  opsegu.
23
Primer konverzije iz kompleksnog u vremenski domen
• Ako je struja definisana kao:
I  30 (1  j  3) mA,
  2000s1
I  Re{ I }2  Im{ I }2  60 mA
Za konverziju je neophodna
frekvencija (obična ili kružna)
- Efektivna vrednost struje
Im{I } π
π
2π
arctg
 , Re{I }  0     π  
Re{I } 3
3
3
- Faza
Kada se računa faza, mora se obratiti pažnja u kom
kvadrantu, na osnovu Kartezijanskog oblika, leži
Im
 π π
 ,  opsegu.
fazor, jer arctg daje rezultat u  2
2

I  I  e j  60 e
 j
2π
3
Re
mA
i(t )  I  2  sin(  t  )
I

2 π 

i(t )  60  2  sin 2000 t 
 mA
3 

24
Rešavanje rednog RLC kola u kompleksnom domenu
R
• Ponovo posmatramo prosto redno RLC kolo
di  i  dt
et   R  i  L  
0
dt
C
di  i  dt
Em  sin   t   R  i  L  
dt
C
i(t)
L
C
e(t)
π I
π


Em  sin   t   R  I m  sin   t       L  I m  sin    t      m  sin    t    
2   C
2


π I 2
π


E 2  sin   t   R  I 2  sin   t       L  I 2  sin    t     
 sin    t    
2   C
2


π
I
π


E  sin   t   R  I  sin   t       L  I  sin    t     
 sin    t    
2   C
2


E  e j 0  R  I  e  j
E  e j 0  R  I  e  j
π

j    
2


π
j    
I
  L I e

e  2
 C
π
π
j
j
I

j

  L I e 2 e 
 e 2  e  j
 C
25
• Na osnovu Ojlerove formule možemo da izračunamo:
e
j
π
2
π
π
 cos   j sin    0  j  j
2
2
π
2
 π
 π
e  cos    j sin     0  j   j
 2
 2
e  j 0  cos0  j sin 0  1  j  0  1
I
E  e j 0  R  I  e  j    L  I  j  e  j 
  j   e  j
 C
1 

 j
E  e j0   R  j   L  j 
 I e
 C 

E  e j0 
1 

  R  j     L 
 
 j
I e
 C 


j
E
E
j
 Z  Ze , Z 
I
I
Z je parametar koji se naziva impedansa
26
1
 C
X
  arctg
R
X L
X
ωL
X
0 
0
ω
0
1
L C
- rezonantna učestanost
1/ωC
2
1 

2
2
Z  R2    L 
  R X
 C 



E 2  R  I    X  I   I 2  R 2  X 2  Z 2  I 2
E
E
I   Im  m
Z
Z
2
2
27
Z
I
R=0
R>0
R=0
R1
R2>R1
ω0
φ
π/2
ω
ω0
log(ω)
R1
R2>R1
ω0
-π/2
log(ω)
R=0
28
Faktor dobrote kola
• ukazuje na kvalitet zavojnice u kolu
L
2π f  L
Q

R
R
0  L 2  π  f 0  L 2  π L
π
π
Q0 


 

R
R
T R  T 
29
Selektivnost kola
• predstavlja meru sposobnosti kola da izdvoji željenu učestanost
E
I
R
 Z  
I0 E Z
R
X
R
X
R
R
R2  X 2

1
X2
1 2
R
1
L
1
2


C

;
0 
R
LC
  0 
 0  L   0 

     Q0    
R  0  
 0  
30
I

I0
1
1

 0,707
2
2




2
1  Q0  
 0 
 0  
I/I0
1,0
0,707
ω1 ω ω2
0
ω
31
 1 0 
Q0      1
 0 1 
2

Q0  1
 
 0   1
1  0

1

 0   1
0
Q0
2
  2 0 
Q0      1
 0  2 
2

Q0  2
 
 0   1
 2  0

2 2

 0  2
0
Q0
2 2  12 1  2

0
Q0
2  1   1  2   1  2
0
Q0
2  1 1

0
Q0
2   
1

0
Q0
0
f0
Q0 

2  1 f 2  f1
π
2 , 1 : tg  1    
4
Z  2R
32