Zakon potencije (“Power Law”)

f(x) ~ x



α logf(x) ~



αlogx

Zakon potencije u biomehanici

Ćelija Molekul

1 0.1

1

Tkivo

After elastase, same mean force  =0.049

Control,  =0.053

After elastase, same length  =0.054

 = a + b*t  10 time (sec) 100

Sistem

Karakteristike zakona potencije • • • Zakon potencija nema određenu vremensku skalu. Konsekventno: Puzanje:

J

(

t

) ~

t

α Relaksacija:

G

(

t

) ~

t

 α Fazni pomak: tgφ  α

Frakcioni izvod kao matematički okvir za opis ponašanja po zakonu potencije Rimanova definicija frakcionog izvoda:

D t

(  ) (

f

)  1  ( 1   )

d dt

0 

t f

(

t

(  )

d

   )  gde je 0  α < 1.

Osnovni reološki model Relacija napon-deformacija pri smicanju:

T



D t

(α) (γ)

α = 0 

T



D t

(0) (γ) = γ(

t

) - Hukov zakon α  1  

T



D t

(1) (

t

)

Generalni reološki model

T



bD t

(  ) (

T

) 

G S

 

k n

  1 

k D t

( 

k

) (  ) gde su 0  β < 1 and 0  α 1 < α 2 <…< α

n

< 1.

(Pritz, 1996)

Rezultati reoloških merenja na živim ćelijama

G*



M/u

(Fabry et al., 2001)

Prelaz iz vremenskog u frekventni domen Dinamički modul:

G

* =

F

[

T

]/

F

[γ] =

G

 +

iG



F

[

D t

(α) (

f

)] = (

i

ω) α

F

[

f

]

G

* 

G S

1 

n

 

k

(

i

 ) 

k

 1

b

(

i

 )  

k

Ponašanje na visokim frekvencijama Merenja: ω   , 

d

(log

G

 )/

d

(logω)  1.

Model: ω   :  α

n

 β 

G

" ~ 

n b

1  α

n

 

n

  sin  1 i β (  

n

0.

  )  2  ( 1 

b

)

T



G S

 

k

 1

n

  1 

k D t

( 

k

) (  )  

n

 

Pojednostavljenje modela Pretpostavke i definicije:

b

= 0; α

n

= 1;

n

= 2; λ 1  λ; λ 2  μ; α 1  α 

T



G S

  

D t

(  ) (  )    

Predviđanja modela •Dinamički modul: 

G

* (  ) 

G S

 γ = γ 0

e i

ωt   cos  2 

i

  sin •Modul relaksacije napona: 

G

(

t

) 

G S H

(

t

)  

t

   ( 1   ) γ = γ 0

H

(

t

)   (

t

) •Modul puzanja:

T

=

T

0

H

(t) 

t

 0 

J

(

t

)  0 ,   2 

t

  

J

(

t

) 

G S

 1 Zadovoljen uslov:

G

(

t

) = 1

/J

(

t

) kada

t

 0,  .

Elastični i viskozni moduli

G

' 

G S

   cos  2

G

"    sin    2

Fitovanje modela

Uslovi



Pa(s/rad)



Kontrolni

1162.1905



G s

(Pa)

598.4835



(Pa.s)

1.5393

0.2335

p

0.0064

Histamin

1383.2984

<0.0001

0.2212

0.1552

1139.7425

<0.0001

1.067

p

0.0125

DBcAMP

345.0529

p

CytoD

p

0.009

215.1585

<0.0001

0.0002

0.3097

<0.0001

0.286

<0.0001

0.0545

186.1381

0.2506

0 1 <0.0001

1.3356

<0.0001

0.7654

<0.0001

Dalje pojednostavljenje modela

G S

= 0, λ 

G

0 /Ω 0 α

G

' 

G

0     0    cos  2

G

" 

G

0     0    sin    2

Fitovanje pojdnostavljenog modela Vrednosti parametara sa intervalom sigurnosti od 95%

Uslovi Kontrolni Histamin DBcAMP CytoD

G

0 (kPa)

38.9

47.2

30.7

Ω 0 (rad/s)

2.01

4.87

0.83

 10 7

α

0.185

0.190

0.180

0.164

0.169

0.158

0.256

0.260

0.251

0.320

0.307

μ (Pa·s)

1.93

1.59

1.37

1.09

1.63

1.36

0.86

0.70

Fizička interpretacija modela reologija mekog stakla • Enegretski kavez • • Kada je efektivna temperatura fluktuacije  = 0, element ostaje zarobljen u energetskom kavezu – čvrsto (“stakleno”) stanje.

Kada je  > 0, element iskače iz kaveza – prelaz od čvrstog ka tečnom stanju.

Kada je  fluid.

= 1 – njutnovski (Sollich, 1998)

Veza izmedju reologije stakla i modela sa frakcionim izvodima

G

* 

G

0      0        cos   2

i

sin  2    • α = 0 

G

 =

G

0 ,

G

 modul elastičnosti

G

0 ; = 0; čvrsto telo čiji je • α = 1 

G

 = 0,

G

 = (

G

0 /Ω 0 )ω; njutnovski fluid čija je viskoznost

G

0 /Ω 0 .

(Fabry et al., 2001)

Furijeova naponska mikroskopija

E = 1.3 kPa h = 70 μm 20



m

Faza Fluorescencija (0.2 μm) Ćelijski prednapon deformiše elastičnu podlogu

Furijeova naponska mikroskopija

200 Pa

Matematički algoritam

150 100 50 0

Displacement field Polje deformacije (Butler et al., 2002)

Furijeova naponska mikroskopija

200 Pa

Matematički algoritam

150 100 50 0

Displacement field Polje deformacije (Butler et al., 2002) Polje napona

Izračunavanje prednapona

PA



= τA



Fizička interpretacija modela – uloga prednapona (Stamenović et al., 2002)

Veza između eksponenta α i prednapona Za ω = 0.1 Hz:

G

' 

cP G

' 

G

0   0 .

1  0    cos  2 

P



G

0

c

  0 .

1  0    cos  2 (Stamenović et al., 2004)

On Power Laws in Nature “In ordinary systems all quantities follow bell curves, and correlations decay rapidly, obeying exponential laws. But all that changes if the system is forced to undergo a phase transition. Then power laws emerge – nature’s unmistakable sign that chaos is departing in favor of order. The theory of phase transitions told us … that power laws are not just another way of characterizing a system’s behavior. They are the patent signatures of self organization in complex systems.” Albert-László Barabási:

Linked: The New Science of Networks.

Perseus Publishing, Cambridge, MA, 2002.