Slide 1

- ROTACIJA OKO ISHODIŠTA

GIBANJE U RAVNINI
y

v

K0  r  q

x

0

ω

K0  K0 k  ( r q )k

K0  r  m   r  mr 
2

K 0  I0  
dK 0



dt
I0

za r  v

v r

m

r

q  m   r

q  m   r

q  mv

q

d
dt

d
dt

K 0  I0 

I0  m  r

 I0    M 0

(F )

2

MOMENT TROMOSTI
(INERCIJE) MASE
ČESTICE NA
ISHODIŠTE

ZAKON MOMENTA IMPULSA:

 I0    M 0

( Fv )

DIFERENCIJALNA
MEHANIKA 2
JEDNADŽBA
PREDAVANJE 8, 2014./15.
ROTACIJE

I 2  I1  M

S
1 ,2

NA CENTAR ROTACIJE

2. Newtonov aksiom:
Promjena količine gibanja jednaka je vanjskoj sili koja je tu promjenu izazvala i
odvija se u smjeru sile.
Promjena momenta količine gibanja ili kinetičkog momenta, jednaka je momentu
od vanjskih sila koje su tu promjenu izazvale
Komponente vektora količine gibanja i vektora kinetičkog momenta mijenjaju se ili
ostaju konstantne, ovisno o djelovanju vanjskih sila!

TRANSLACIJA
dQ
dt

 F

V

ROTACIJA (OKO ISHODIŠTA!)
dK 0

Q  m v

dt

DIFERENCIJALNE
V

m a   F
ZAKON IMPULSA



m v ( t 2 )  m v ( t1 )  S 

 M0

F

V



K 0  I0 

JEDNADŽBE GIBANJA:
 V

I0    M 0
ZAKON MOMENTA IMPULSA

t2




F dt


 SS

I 0K
 ( t(2t) ) 
I 0
M0 

K(0t1()t1) 
 M
0
2
0

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

t1

t 22

 
 rr FFdtdt



t1

t1

RAD SILE
• Ukupni rad sile na pomaku od položaja 1 do 2
jednak je integralu elementarnog rada

2

W 1, 2 

 dW
1

• Elementarni rad sile na diferencijalnom pomaku

dW  F  dr  F  dr  cos 

F  Fx i  F y j  Fz k

dr  dx i  dy j  dz k

dW  F x dx  F y dy  F z dz

• Jedinica za rad je Joul:
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

1J=1 N m

PRIMJER 1:
Na materijalnu točku djeluje sila F konstantnog iznosa i promjenjivog
smjera. U svakom trenutku sila F usmjerena je tangentno na kružnicu
polumjera r. Treba odrediti rad te sile od položaja A (φ=0) do položaja
B (φ=π/2) na kružnici.



y
F ( )  F sin  i  F cos  j



r   r cos  i  r sin 


d r  ( r sin  i  r cos 
 
dW  F  d r

B

F
φ

x

A


2

W A,B 

dW  ( F r sin



  F r cos  ) d 
2

 /2

 dW  F  r (sin

 0

2


j

j )d

0

2

  cos  ) d   F  r  
2

=1

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

W A,B  F  r 

 /2
0


2

PRIMJER 2: Rad sile koja je funkcija vremena



Treba odrediti rad sile F  3 i  4 t j na pomaku od ishodišta do točke
A na zadanoj trajektoriji, ako je poznato xA=4
TRAJEKTORIJA JE
ZADANA
PARAMETARSKIM
FUNKCIJAMA:

x (t )  t

PODINTEGRALNA
VARIJABLA JE VRIJEME!
ZA, x1=0, t1=0
ZA x2=4, t2=2

y ( t )  3t  t

2

2

r  t i  (3t  t ) j
2



2

dr  (2 t i  (6 t  1) j ) dt

 
2
dW  F  d r  6 t  4 t ( 6 t  1) dt  ( 2 t  24 t ) dt
t2  2

W 



t1  0

dW  t  8 t
2

3

2
0

 68 J

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

RAD ELASTIČNE SILE
RAD IZVRŠEN PRI
DEFORMACIJI
F0
ELASTIČNE
OPRUGE?

Fo  F  k  x


Fo   k  x i

F
L0

x

F
Krutost je sila potrebna za jediničnu k
deformaciju opruge
1

dW  F x  dx   k  x dx
x  x1

W 1, 2  



k x1

k x1

x  x2

 k x dx

x  x1

 (

x
x1

2

0

W 1 ,2  

Fo
2

k x dx  

x

kx
2

2
2



kx

2
1

)

2
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

x2

KINETIČKA ENERGIJA
• Energija gibanja
• Kinetička energija – svojstvo mase za vrijeme gibanja

• Čestica mase m, koja se giba brzinom v ima kinetičku
energiju:

Ek 

 
mv v
2



m v
2

• Skalarna i uvijek pozitivna veličina

• jedinica Joul:

J=Nm

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2

ZAKON PROMJENE
KINETIČKE ENERGIJE

1

2

W 1, 2

r(t)
y
x


dv

2

  mv
  m v dv 
2
1

2

2

2



2

F

2

1

m


 

 dr
  m a dr   m
dr   m dv

dt
dt
1
1
1
2

W 1, 2

1



  dW   F  d r
2

W 1 ,2

z

mv 2

1

2

W 1 ,2  E k 2  E k 1   E k
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2



mv 1

2

 
 m dv  v
1

2

2
PROMJENA KINETIČKE
ENERGIJE OD TRENUTKA 1
DO TRENUTKA 2, JEDNAKA JE
IZVRŠENOM RADU OD
POLOŽAJA 1 DO POLOŽAJA 2

2.sat
Ponavljanje prije kolokvija!!!
Što treba ponoviti???
Što je ostalo nejasno???
SADA VI PITATE!!!!
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.


Slide 2

- ROTACIJA OKO ISHODIŠTA

GIBANJE U RAVNINI
y

v

K0  r  q

x

0

ω

K0  K0 k  ( r q )k

K0  r  m   r  mr 
2

K 0  I0  
dK 0



dt
I0

za r  v

v r

m

r

q  m   r

q  m   r

q  mv

q

d
dt

d
dt

K 0  I0 

I0  m  r

 I0    M 0

(F )

2

MOMENT TROMOSTI
(INERCIJE) MASE
ČESTICE NA
ISHODIŠTE

ZAKON MOMENTA IMPULSA:

 I0    M 0

( Fv )

DIFERENCIJALNA
MEHANIKA 2
JEDNADŽBA
PREDAVANJE 8, 2014./15.
ROTACIJE

I 2  I1  M

S
1 ,2

NA CENTAR ROTACIJE

2. Newtonov aksiom:
Promjena količine gibanja jednaka je vanjskoj sili koja je tu promjenu izazvala i
odvija se u smjeru sile.
Promjena momenta količine gibanja ili kinetičkog momenta, jednaka je momentu
od vanjskih sila koje su tu promjenu izazvale
Komponente vektora količine gibanja i vektora kinetičkog momenta mijenjaju se ili
ostaju konstantne, ovisno o djelovanju vanjskih sila!

TRANSLACIJA
dQ
dt

 F

V

ROTACIJA (OKO ISHODIŠTA!)
dK 0

Q  m v

dt

DIFERENCIJALNE
V

m a   F
ZAKON IMPULSA



m v ( t 2 )  m v ( t1 )  S 

 M0

F

V



K 0  I0 

JEDNADŽBE GIBANJA:
 V

I0    M 0
ZAKON MOMENTA IMPULSA

t2




F dt


 SS

I 0K
 ( t(2t) ) 
I 0
M0 

K(0t1()t1) 
 M
0
2
0

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

t1

t 22

 
 rr FFdtdt



t1

t1

RAD SILE
• Ukupni rad sile na pomaku od položaja 1 do 2
jednak je integralu elementarnog rada

2

W 1, 2 

 dW
1

• Elementarni rad sile na diferencijalnom pomaku

dW  F  dr  F  dr  cos 

F  Fx i  F y j  Fz k

dr  dx i  dy j  dz k

dW  F x dx  F y dy  F z dz

• Jedinica za rad je Joul:
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

1J=1 N m

PRIMJER 1:
Na materijalnu točku djeluje sila F konstantnog iznosa i promjenjivog
smjera. U svakom trenutku sila F usmjerena je tangentno na kružnicu
polumjera r. Treba odrediti rad te sile od položaja A (φ=0) do položaja
B (φ=π/2) na kružnici.



y
F ( )  F sin  i  F cos  j



r   r cos  i  r sin 


d r  ( r sin  i  r cos 
 
dW  F  d r

B

F
φ

x

A


2

W A,B 

dW  ( F r sin



  F r cos  ) d 
2

 /2

 dW  F  r (sin

 0

2


j

j )d

0

2

  cos  ) d   F  r  
2

=1

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

W A,B  F  r 

 /2
0


2

PRIMJER 2: Rad sile koja je funkcija vremena



Treba odrediti rad sile F  3 i  4 t j na pomaku od ishodišta do točke
A na zadanoj trajektoriji, ako je poznato xA=4
TRAJEKTORIJA JE
ZADANA
PARAMETARSKIM
FUNKCIJAMA:

x (t )  t

PODINTEGRALNA
VARIJABLA JE VRIJEME!
ZA, x1=0, t1=0
ZA x2=4, t2=2

y ( t )  3t  t

2

2

r  t i  (3t  t ) j
2



2

dr  (2 t i  (6 t  1) j ) dt

 
2
dW  F  d r  6 t  4 t ( 6 t  1) dt  ( 2 t  24 t ) dt
t2  2

W 



t1  0

dW  t  8 t
2

3

2
0

 68 J

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

RAD ELASTIČNE SILE
RAD IZVRŠEN PRI
DEFORMACIJI
F0
ELASTIČNE
OPRUGE?

Fo  F  k  x


Fo   k  x i

F
L0

x

F
Krutost je sila potrebna za jediničnu k
deformaciju opruge
1

dW  F x  dx   k  x dx
x  x1

W 1, 2  



k x1

k x1

x  x2

 k x dx

x  x1

 (

x
x1

2

0

W 1 ,2  

Fo
2

k x dx  

x

kx
2

2
2



kx

2
1

)

2
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

x2

KINETIČKA ENERGIJA
• Energija gibanja
• Kinetička energija – svojstvo mase za vrijeme gibanja

• Čestica mase m, koja se giba brzinom v ima kinetičku
energiju:

Ek 

 
mv v
2



m v
2

• Skalarna i uvijek pozitivna veličina

• jedinica Joul:

J=Nm

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2

ZAKON PROMJENE
KINETIČKE ENERGIJE

1

2

W 1, 2

r(t)
y
x


dv

2

  mv
  m v dv 
2
1

2

2

2



2

F

2

1

m


 

 dr
  m a dr   m
dr   m dv

dt
dt
1
1
1
2

W 1, 2

1



  dW   F  d r
2

W 1 ,2

z

mv 2

1

2

W 1 ,2  E k 2  E k 1   E k
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2



mv 1

2

 
 m dv  v
1

2

2
PROMJENA KINETIČKE
ENERGIJE OD TRENUTKA 1
DO TRENUTKA 2, JEDNAKA JE
IZVRŠENOM RADU OD
POLOŽAJA 1 DO POLOŽAJA 2

2.sat
Ponavljanje prije kolokvija!!!
Što treba ponoviti???
Što je ostalo nejasno???
SADA VI PITATE!!!!
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.


Slide 3

- ROTACIJA OKO ISHODIŠTA

GIBANJE U RAVNINI
y

v

K0  r  q

x

0

ω

K0  K0 k  ( r q )k

K0  r  m   r  mr 
2

K 0  I0  
dK 0



dt
I0

za r  v

v r

m

r

q  m   r

q  m   r

q  mv

q

d
dt

d
dt

K 0  I0 

I0  m  r

 I0    M 0

(F )

2

MOMENT TROMOSTI
(INERCIJE) MASE
ČESTICE NA
ISHODIŠTE

ZAKON MOMENTA IMPULSA:

 I0    M 0

( Fv )

DIFERENCIJALNA
MEHANIKA 2
JEDNADŽBA
PREDAVANJE 8, 2014./15.
ROTACIJE

I 2  I1  M

S
1 ,2

NA CENTAR ROTACIJE

2. Newtonov aksiom:
Promjena količine gibanja jednaka je vanjskoj sili koja je tu promjenu izazvala i
odvija se u smjeru sile.
Promjena momenta količine gibanja ili kinetičkog momenta, jednaka je momentu
od vanjskih sila koje su tu promjenu izazvale
Komponente vektora količine gibanja i vektora kinetičkog momenta mijenjaju se ili
ostaju konstantne, ovisno o djelovanju vanjskih sila!

TRANSLACIJA
dQ
dt

 F

V

ROTACIJA (OKO ISHODIŠTA!)
dK 0

Q  m v

dt

DIFERENCIJALNE
V

m a   F
ZAKON IMPULSA



m v ( t 2 )  m v ( t1 )  S 

 M0

F

V



K 0  I0 

JEDNADŽBE GIBANJA:
 V

I0    M 0
ZAKON MOMENTA IMPULSA

t2




F dt


 SS

I 0K
 ( t(2t) ) 
I 0
M0 

K(0t1()t1) 
 M
0
2
0

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

t1

t 22

 
 rr FFdtdt



t1

t1

RAD SILE
• Ukupni rad sile na pomaku od položaja 1 do 2
jednak je integralu elementarnog rada

2

W 1, 2 

 dW
1

• Elementarni rad sile na diferencijalnom pomaku

dW  F  dr  F  dr  cos 

F  Fx i  F y j  Fz k

dr  dx i  dy j  dz k

dW  F x dx  F y dy  F z dz

• Jedinica za rad je Joul:
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

1J=1 N m

PRIMJER 1:
Na materijalnu točku djeluje sila F konstantnog iznosa i promjenjivog
smjera. U svakom trenutku sila F usmjerena je tangentno na kružnicu
polumjera r. Treba odrediti rad te sile od položaja A (φ=0) do položaja
B (φ=π/2) na kružnici.



y
F ( )  F sin  i  F cos  j



r   r cos  i  r sin 


d r  ( r sin  i  r cos 
 
dW  F  d r

B

F
φ

x

A


2

W A,B 

dW  ( F r sin



  F r cos  ) d 
2

 /2

 dW  F  r (sin

 0

2


j

j )d

0

2

  cos  ) d   F  r  
2

=1

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

W A,B  F  r 

 /2
0


2

PRIMJER 2: Rad sile koja je funkcija vremena



Treba odrediti rad sile F  3 i  4 t j na pomaku od ishodišta do točke
A na zadanoj trajektoriji, ako je poznato xA=4
TRAJEKTORIJA JE
ZADANA
PARAMETARSKIM
FUNKCIJAMA:

x (t )  t

PODINTEGRALNA
VARIJABLA JE VRIJEME!
ZA, x1=0, t1=0
ZA x2=4, t2=2

y ( t )  3t  t

2

2

r  t i  (3t  t ) j
2



2

dr  (2 t i  (6 t  1) j ) dt

 
2
dW  F  d r  6 t  4 t ( 6 t  1) dt  ( 2 t  24 t ) dt
t2  2

W 



t1  0

dW  t  8 t
2

3

2
0

 68 J

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

RAD ELASTIČNE SILE
RAD IZVRŠEN PRI
DEFORMACIJI
F0
ELASTIČNE
OPRUGE?

Fo  F  k  x


Fo   k  x i

F
L0

x

F
Krutost je sila potrebna za jediničnu k
deformaciju opruge
1

dW  F x  dx   k  x dx
x  x1

W 1, 2  



k x1

k x1

x  x2

 k x dx

x  x1

 (

x
x1

2

0

W 1 ,2  

Fo
2

k x dx  

x

kx
2

2
2



kx

2
1

)

2
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

x2

KINETIČKA ENERGIJA
• Energija gibanja
• Kinetička energija – svojstvo mase za vrijeme gibanja

• Čestica mase m, koja se giba brzinom v ima kinetičku
energiju:

Ek 

 
mv v
2



m v
2

• Skalarna i uvijek pozitivna veličina

• jedinica Joul:

J=Nm

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2

ZAKON PROMJENE
KINETIČKE ENERGIJE

1

2

W 1, 2

r(t)
y
x


dv

2

  mv
  m v dv 
2
1

2

2

2



2

F

2

1

m


 

 dr
  m a dr   m
dr   m dv

dt
dt
1
1
1
2

W 1, 2

1



  dW   F  d r
2

W 1 ,2

z

mv 2

1

2

W 1 ,2  E k 2  E k 1   E k
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2



mv 1

2

 
 m dv  v
1

2

2
PROMJENA KINETIČKE
ENERGIJE OD TRENUTKA 1
DO TRENUTKA 2, JEDNAKA JE
IZVRŠENOM RADU OD
POLOŽAJA 1 DO POLOŽAJA 2

2.sat
Ponavljanje prije kolokvija!!!
Što treba ponoviti???
Što je ostalo nejasno???
SADA VI PITATE!!!!
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.


Slide 4

- ROTACIJA OKO ISHODIŠTA

GIBANJE U RAVNINI
y

v

K0  r  q

x

0

ω

K0  K0 k  ( r q )k

K0  r  m   r  mr 
2

K 0  I0  
dK 0



dt
I0

za r  v

v r

m

r

q  m   r

q  m   r

q  mv

q

d
dt

d
dt

K 0  I0 

I0  m  r

 I0    M 0

(F )

2

MOMENT TROMOSTI
(INERCIJE) MASE
ČESTICE NA
ISHODIŠTE

ZAKON MOMENTA IMPULSA:

 I0    M 0

( Fv )

DIFERENCIJALNA
MEHANIKA 2
JEDNADŽBA
PREDAVANJE 8, 2014./15.
ROTACIJE

I 2  I1  M

S
1 ,2

NA CENTAR ROTACIJE

2. Newtonov aksiom:
Promjena količine gibanja jednaka je vanjskoj sili koja je tu promjenu izazvala i
odvija se u smjeru sile.
Promjena momenta količine gibanja ili kinetičkog momenta, jednaka je momentu
od vanjskih sila koje su tu promjenu izazvale
Komponente vektora količine gibanja i vektora kinetičkog momenta mijenjaju se ili
ostaju konstantne, ovisno o djelovanju vanjskih sila!

TRANSLACIJA
dQ
dt

 F

V

ROTACIJA (OKO ISHODIŠTA!)
dK 0

Q  m v

dt

DIFERENCIJALNE
V

m a   F
ZAKON IMPULSA



m v ( t 2 )  m v ( t1 )  S 

 M0

F

V



K 0  I0 

JEDNADŽBE GIBANJA:
 V

I0    M 0
ZAKON MOMENTA IMPULSA

t2




F dt


 SS

I 0K
 ( t(2t) ) 
I 0
M0 

K(0t1()t1) 
 M
0
2
0

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

t1

t 22

 
 rr FFdtdt



t1

t1

RAD SILE
• Ukupni rad sile na pomaku od položaja 1 do 2
jednak je integralu elementarnog rada

2

W 1, 2 

 dW
1

• Elementarni rad sile na diferencijalnom pomaku

dW  F  dr  F  dr  cos 

F  Fx i  F y j  Fz k

dr  dx i  dy j  dz k

dW  F x dx  F y dy  F z dz

• Jedinica za rad je Joul:
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

1J=1 N m

PRIMJER 1:
Na materijalnu točku djeluje sila F konstantnog iznosa i promjenjivog
smjera. U svakom trenutku sila F usmjerena je tangentno na kružnicu
polumjera r. Treba odrediti rad te sile od položaja A (φ=0) do položaja
B (φ=π/2) na kružnici.



y
F ( )  F sin  i  F cos  j



r   r cos  i  r sin 


d r  ( r sin  i  r cos 
 
dW  F  d r

B

F
φ

x

A


2

W A,B 

dW  ( F r sin



  F r cos  ) d 
2

 /2

 dW  F  r (sin

 0

2


j

j )d

0

2

  cos  ) d   F  r  
2

=1

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

W A,B  F  r 

 /2
0


2

PRIMJER 2: Rad sile koja je funkcija vremena



Treba odrediti rad sile F  3 i  4 t j na pomaku od ishodišta do točke
A na zadanoj trajektoriji, ako je poznato xA=4
TRAJEKTORIJA JE
ZADANA
PARAMETARSKIM
FUNKCIJAMA:

x (t )  t

PODINTEGRALNA
VARIJABLA JE VRIJEME!
ZA, x1=0, t1=0
ZA x2=4, t2=2

y ( t )  3t  t

2

2

r  t i  (3t  t ) j
2



2

dr  (2 t i  (6 t  1) j ) dt

 
2
dW  F  d r  6 t  4 t ( 6 t  1) dt  ( 2 t  24 t ) dt
t2  2

W 



t1  0

dW  t  8 t
2

3

2
0

 68 J

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

RAD ELASTIČNE SILE
RAD IZVRŠEN PRI
DEFORMACIJI
F0
ELASTIČNE
OPRUGE?

Fo  F  k  x


Fo   k  x i

F
L0

x

F
Krutost je sila potrebna za jediničnu k
deformaciju opruge
1

dW  F x  dx   k  x dx
x  x1

W 1, 2  



k x1

k x1

x  x2

 k x dx

x  x1

 (

x
x1

2

0

W 1 ,2  

Fo
2

k x dx  

x

kx
2

2
2



kx

2
1

)

2
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

x2

KINETIČKA ENERGIJA
• Energija gibanja
• Kinetička energija – svojstvo mase za vrijeme gibanja

• Čestica mase m, koja se giba brzinom v ima kinetičku
energiju:

Ek 

 
mv v
2



m v
2

• Skalarna i uvijek pozitivna veličina

• jedinica Joul:

J=Nm

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2

ZAKON PROMJENE
KINETIČKE ENERGIJE

1

2

W 1, 2

r(t)
y
x


dv

2

  mv
  m v dv 
2
1

2

2

2



2

F

2

1

m


 

 dr
  m a dr   m
dr   m dv

dt
dt
1
1
1
2

W 1, 2

1



  dW   F  d r
2

W 1 ,2

z

mv 2

1

2

W 1 ,2  E k 2  E k 1   E k
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2



mv 1

2

 
 m dv  v
1

2

2
PROMJENA KINETIČKE
ENERGIJE OD TRENUTKA 1
DO TRENUTKA 2, JEDNAKA JE
IZVRŠENOM RADU OD
POLOŽAJA 1 DO POLOŽAJA 2

2.sat
Ponavljanje prije kolokvija!!!
Što treba ponoviti???
Što je ostalo nejasno???
SADA VI PITATE!!!!
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.


Slide 5

- ROTACIJA OKO ISHODIŠTA

GIBANJE U RAVNINI
y

v

K0  r  q

x

0

ω

K0  K0 k  ( r q )k

K0  r  m   r  mr 
2

K 0  I0  
dK 0



dt
I0

za r  v

v r

m

r

q  m   r

q  m   r

q  mv

q

d
dt

d
dt

K 0  I0 

I0  m  r

 I0    M 0

(F )

2

MOMENT TROMOSTI
(INERCIJE) MASE
ČESTICE NA
ISHODIŠTE

ZAKON MOMENTA IMPULSA:

 I0    M 0

( Fv )

DIFERENCIJALNA
MEHANIKA 2
JEDNADŽBA
PREDAVANJE 8, 2014./15.
ROTACIJE

I 2  I1  M

S
1 ,2

NA CENTAR ROTACIJE

2. Newtonov aksiom:
Promjena količine gibanja jednaka je vanjskoj sili koja je tu promjenu izazvala i
odvija se u smjeru sile.
Promjena momenta količine gibanja ili kinetičkog momenta, jednaka je momentu
od vanjskih sila koje su tu promjenu izazvale
Komponente vektora količine gibanja i vektora kinetičkog momenta mijenjaju se ili
ostaju konstantne, ovisno o djelovanju vanjskih sila!

TRANSLACIJA
dQ
dt

 F

V

ROTACIJA (OKO ISHODIŠTA!)
dK 0

Q  m v

dt

DIFERENCIJALNE
V

m a   F
ZAKON IMPULSA



m v ( t 2 )  m v ( t1 )  S 

 M0

F

V



K 0  I0 

JEDNADŽBE GIBANJA:
 V

I0    M 0
ZAKON MOMENTA IMPULSA

t2




F dt


 SS

I 0K
 ( t(2t) ) 
I 0
M0 

K(0t1()t1) 
 M
0
2
0

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

t1

t 22

 
 rr FFdtdt



t1

t1

RAD SILE
• Ukupni rad sile na pomaku od položaja 1 do 2
jednak je integralu elementarnog rada

2

W 1, 2 

 dW
1

• Elementarni rad sile na diferencijalnom pomaku

dW  F  dr  F  dr  cos 

F  Fx i  F y j  Fz k

dr  dx i  dy j  dz k

dW  F x dx  F y dy  F z dz

• Jedinica za rad je Joul:
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

1J=1 N m

PRIMJER 1:
Na materijalnu točku djeluje sila F konstantnog iznosa i promjenjivog
smjera. U svakom trenutku sila F usmjerena je tangentno na kružnicu
polumjera r. Treba odrediti rad te sile od položaja A (φ=0) do položaja
B (φ=π/2) na kružnici.



y
F ( )  F sin  i  F cos  j



r   r cos  i  r sin 


d r  ( r sin  i  r cos 
 
dW  F  d r

B

F
φ

x

A


2

W A,B 

dW  ( F r sin



  F r cos  ) d 
2

 /2

 dW  F  r (sin

 0

2


j

j )d

0

2

  cos  ) d   F  r  
2

=1

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

W A,B  F  r 

 /2
0


2

PRIMJER 2: Rad sile koja je funkcija vremena



Treba odrediti rad sile F  3 i  4 t j na pomaku od ishodišta do točke
A na zadanoj trajektoriji, ako je poznato xA=4
TRAJEKTORIJA JE
ZADANA
PARAMETARSKIM
FUNKCIJAMA:

x (t )  t

PODINTEGRALNA
VARIJABLA JE VRIJEME!
ZA, x1=0, t1=0
ZA x2=4, t2=2

y ( t )  3t  t

2

2

r  t i  (3t  t ) j
2



2

dr  (2 t i  (6 t  1) j ) dt

 
2
dW  F  d r  6 t  4 t ( 6 t  1) dt  ( 2 t  24 t ) dt
t2  2

W 



t1  0

dW  t  8 t
2

3

2
0

 68 J

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

RAD ELASTIČNE SILE
RAD IZVRŠEN PRI
DEFORMACIJI
F0
ELASTIČNE
OPRUGE?

Fo  F  k  x


Fo   k  x i

F
L0

x

F
Krutost je sila potrebna za jediničnu k
deformaciju opruge
1

dW  F x  dx   k  x dx
x  x1

W 1, 2  



k x1

k x1

x  x2

 k x dx

x  x1

 (

x
x1

2

0

W 1 ,2  

Fo
2

k x dx  

x

kx
2

2
2



kx

2
1

)

2
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

x2

KINETIČKA ENERGIJA
• Energija gibanja
• Kinetička energija – svojstvo mase za vrijeme gibanja

• Čestica mase m, koja se giba brzinom v ima kinetičku
energiju:

Ek 

 
mv v
2



m v
2

• Skalarna i uvijek pozitivna veličina

• jedinica Joul:

J=Nm

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2

ZAKON PROMJENE
KINETIČKE ENERGIJE

1

2

W 1, 2

r(t)
y
x


dv

2

  mv
  m v dv 
2
1

2

2

2



2

F

2

1

m


 

 dr
  m a dr   m
dr   m dv

dt
dt
1
1
1
2

W 1, 2

1



  dW   F  d r
2

W 1 ,2

z

mv 2

1

2

W 1 ,2  E k 2  E k 1   E k
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2



mv 1

2

 
 m dv  v
1

2

2
PROMJENA KINETIČKE
ENERGIJE OD TRENUTKA 1
DO TRENUTKA 2, JEDNAKA JE
IZVRŠENOM RADU OD
POLOŽAJA 1 DO POLOŽAJA 2

2.sat
Ponavljanje prije kolokvija!!!
Što treba ponoviti???
Što je ostalo nejasno???
SADA VI PITATE!!!!
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.


Slide 6

- ROTACIJA OKO ISHODIŠTA

GIBANJE U RAVNINI
y

v

K0  r  q

x

0

ω

K0  K0 k  ( r q )k

K0  r  m   r  mr 
2

K 0  I0  
dK 0



dt
I0

za r  v

v r

m

r

q  m   r

q  m   r

q  mv

q

d
dt

d
dt

K 0  I0 

I0  m  r

 I0    M 0

(F )

2

MOMENT TROMOSTI
(INERCIJE) MASE
ČESTICE NA
ISHODIŠTE

ZAKON MOMENTA IMPULSA:

 I0    M 0

( Fv )

DIFERENCIJALNA
MEHANIKA 2
JEDNADŽBA
PREDAVANJE 8, 2014./15.
ROTACIJE

I 2  I1  M

S
1 ,2

NA CENTAR ROTACIJE

2. Newtonov aksiom:
Promjena količine gibanja jednaka je vanjskoj sili koja je tu promjenu izazvala i
odvija se u smjeru sile.
Promjena momenta količine gibanja ili kinetičkog momenta, jednaka je momentu
od vanjskih sila koje su tu promjenu izazvale
Komponente vektora količine gibanja i vektora kinetičkog momenta mijenjaju se ili
ostaju konstantne, ovisno o djelovanju vanjskih sila!

TRANSLACIJA
dQ
dt

 F

V

ROTACIJA (OKO ISHODIŠTA!)
dK 0

Q  m v

dt

DIFERENCIJALNE
V

m a   F
ZAKON IMPULSA



m v ( t 2 )  m v ( t1 )  S 

 M0

F

V



K 0  I0 

JEDNADŽBE GIBANJA:
 V

I0    M 0
ZAKON MOMENTA IMPULSA

t2




F dt


 SS

I 0K
 ( t(2t) ) 
I 0
M0 

K(0t1()t1) 
 M
0
2
0

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

t1

t 22

 
 rr FFdtdt



t1

t1

RAD SILE
• Ukupni rad sile na pomaku od položaja 1 do 2
jednak je integralu elementarnog rada

2

W 1, 2 

 dW
1

• Elementarni rad sile na diferencijalnom pomaku

dW  F  dr  F  dr  cos 

F  Fx i  F y j  Fz k

dr  dx i  dy j  dz k

dW  F x dx  F y dy  F z dz

• Jedinica za rad je Joul:
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

1J=1 N m

PRIMJER 1:
Na materijalnu točku djeluje sila F konstantnog iznosa i promjenjivog
smjera. U svakom trenutku sila F usmjerena je tangentno na kružnicu
polumjera r. Treba odrediti rad te sile od položaja A (φ=0) do položaja
B (φ=π/2) na kružnici.



y
F ( )  F sin  i  F cos  j



r   r cos  i  r sin 


d r  ( r sin  i  r cos 
 
dW  F  d r

B

F
φ

x

A


2

W A,B 

dW  ( F r sin



  F r cos  ) d 
2

 /2

 dW  F  r (sin

 0

2


j

j )d

0

2

  cos  ) d   F  r  
2

=1

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

W A,B  F  r 

 /2
0


2

PRIMJER 2: Rad sile koja je funkcija vremena



Treba odrediti rad sile F  3 i  4 t j na pomaku od ishodišta do točke
A na zadanoj trajektoriji, ako je poznato xA=4
TRAJEKTORIJA JE
ZADANA
PARAMETARSKIM
FUNKCIJAMA:

x (t )  t

PODINTEGRALNA
VARIJABLA JE VRIJEME!
ZA, x1=0, t1=0
ZA x2=4, t2=2

y ( t )  3t  t

2

2

r  t i  (3t  t ) j
2



2

dr  (2 t i  (6 t  1) j ) dt

 
2
dW  F  d r  6 t  4 t ( 6 t  1) dt  ( 2 t  24 t ) dt
t2  2

W 



t1  0

dW  t  8 t
2

3

2
0

 68 J

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

RAD ELASTIČNE SILE
RAD IZVRŠEN PRI
DEFORMACIJI
F0
ELASTIČNE
OPRUGE?

Fo  F  k  x


Fo   k  x i

F
L0

x

F
Krutost je sila potrebna za jediničnu k
deformaciju opruge
1

dW  F x  dx   k  x dx
x  x1

W 1, 2  



k x1

k x1

x  x2

 k x dx

x  x1

 (

x
x1

2

0

W 1 ,2  

Fo
2

k x dx  

x

kx
2

2
2



kx

2
1

)

2
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

x2

KINETIČKA ENERGIJA
• Energija gibanja
• Kinetička energija – svojstvo mase za vrijeme gibanja

• Čestica mase m, koja se giba brzinom v ima kinetičku
energiju:

Ek 

 
mv v
2



m v
2

• Skalarna i uvijek pozitivna veličina

• jedinica Joul:

J=Nm

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2

ZAKON PROMJENE
KINETIČKE ENERGIJE

1

2

W 1, 2

r(t)
y
x


dv

2

  mv
  m v dv 
2
1

2

2

2



2

F

2

1

m


 

 dr
  m a dr   m
dr   m dv

dt
dt
1
1
1
2

W 1, 2

1



  dW   F  d r
2

W 1 ,2

z

mv 2

1

2

W 1 ,2  E k 2  E k 1   E k
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2



mv 1

2

 
 m dv  v
1

2

2
PROMJENA KINETIČKE
ENERGIJE OD TRENUTKA 1
DO TRENUTKA 2, JEDNAKA JE
IZVRŠENOM RADU OD
POLOŽAJA 1 DO POLOŽAJA 2

2.sat
Ponavljanje prije kolokvija!!!
Što treba ponoviti???
Što je ostalo nejasno???
SADA VI PITATE!!!!
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.


Slide 7

- ROTACIJA OKO ISHODIŠTA

GIBANJE U RAVNINI
y

v

K0  r  q

x

0

ω

K0  K0 k  ( r q )k

K0  r  m   r  mr 
2

K 0  I0  
dK 0



dt
I0

za r  v

v r

m

r

q  m   r

q  m   r

q  mv

q

d
dt

d
dt

K 0  I0 

I0  m  r

 I0    M 0

(F )

2

MOMENT TROMOSTI
(INERCIJE) MASE
ČESTICE NA
ISHODIŠTE

ZAKON MOMENTA IMPULSA:

 I0    M 0

( Fv )

DIFERENCIJALNA
MEHANIKA 2
JEDNADŽBA
PREDAVANJE 8, 2014./15.
ROTACIJE

I 2  I1  M

S
1 ,2

NA CENTAR ROTACIJE

2. Newtonov aksiom:
Promjena količine gibanja jednaka je vanjskoj sili koja je tu promjenu izazvala i
odvija se u smjeru sile.
Promjena momenta količine gibanja ili kinetičkog momenta, jednaka je momentu
od vanjskih sila koje su tu promjenu izazvale
Komponente vektora količine gibanja i vektora kinetičkog momenta mijenjaju se ili
ostaju konstantne, ovisno o djelovanju vanjskih sila!

TRANSLACIJA
dQ
dt

 F

V

ROTACIJA (OKO ISHODIŠTA!)
dK 0

Q  m v

dt

DIFERENCIJALNE
V

m a   F
ZAKON IMPULSA



m v ( t 2 )  m v ( t1 )  S 

 M0

F

V



K 0  I0 

JEDNADŽBE GIBANJA:
 V

I0    M 0
ZAKON MOMENTA IMPULSA

t2




F dt


 SS

I 0K
 ( t(2t) ) 
I 0
M0 

K(0t1()t1) 
 M
0
2
0

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

t1

t 22

 
 rr FFdtdt



t1

t1

RAD SILE
• Ukupni rad sile na pomaku od položaja 1 do 2
jednak je integralu elementarnog rada

2

W 1, 2 

 dW
1

• Elementarni rad sile na diferencijalnom pomaku

dW  F  dr  F  dr  cos 

F  Fx i  F y j  Fz k

dr  dx i  dy j  dz k

dW  F x dx  F y dy  F z dz

• Jedinica za rad je Joul:
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

1J=1 N m

PRIMJER 1:
Na materijalnu točku djeluje sila F konstantnog iznosa i promjenjivog
smjera. U svakom trenutku sila F usmjerena je tangentno na kružnicu
polumjera r. Treba odrediti rad te sile od položaja A (φ=0) do položaja
B (φ=π/2) na kružnici.



y
F ( )  F sin  i  F cos  j



r   r cos  i  r sin 


d r  ( r sin  i  r cos 
 
dW  F  d r

B

F
φ

x

A


2

W A,B 

dW  ( F r sin



  F r cos  ) d 
2

 /2

 dW  F  r (sin

 0

2


j

j )d

0

2

  cos  ) d   F  r  
2

=1

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

W A,B  F  r 

 /2
0


2

PRIMJER 2: Rad sile koja je funkcija vremena



Treba odrediti rad sile F  3 i  4 t j na pomaku od ishodišta do točke
A na zadanoj trajektoriji, ako je poznato xA=4
TRAJEKTORIJA JE
ZADANA
PARAMETARSKIM
FUNKCIJAMA:

x (t )  t

PODINTEGRALNA
VARIJABLA JE VRIJEME!
ZA, x1=0, t1=0
ZA x2=4, t2=2

y ( t )  3t  t

2

2

r  t i  (3t  t ) j
2



2

dr  (2 t i  (6 t  1) j ) dt

 
2
dW  F  d r  6 t  4 t ( 6 t  1) dt  ( 2 t  24 t ) dt
t2  2

W 



t1  0

dW  t  8 t
2

3

2
0

 68 J

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

RAD ELASTIČNE SILE
RAD IZVRŠEN PRI
DEFORMACIJI
F0
ELASTIČNE
OPRUGE?

Fo  F  k  x


Fo   k  x i

F
L0

x

F
Krutost je sila potrebna za jediničnu k
deformaciju opruge
1

dW  F x  dx   k  x dx
x  x1

W 1, 2  



k x1

k x1

x  x2

 k x dx

x  x1

 (

x
x1

2

0

W 1 ,2  

Fo
2

k x dx  

x

kx
2

2
2



kx

2
1

)

2
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

x2

KINETIČKA ENERGIJA
• Energija gibanja
• Kinetička energija – svojstvo mase za vrijeme gibanja

• Čestica mase m, koja se giba brzinom v ima kinetičku
energiju:

Ek 

 
mv v
2



m v
2

• Skalarna i uvijek pozitivna veličina

• jedinica Joul:

J=Nm

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2

ZAKON PROMJENE
KINETIČKE ENERGIJE

1

2

W 1, 2

r(t)
y
x


dv

2

  mv
  m v dv 
2
1

2

2

2



2

F

2

1

m


 

 dr
  m a dr   m
dr   m dv

dt
dt
1
1
1
2

W 1, 2

1



  dW   F  d r
2

W 1 ,2

z

mv 2

1

2

W 1 ,2  E k 2  E k 1   E k
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2



mv 1

2

 
 m dv  v
1

2

2
PROMJENA KINETIČKE
ENERGIJE OD TRENUTKA 1
DO TRENUTKA 2, JEDNAKA JE
IZVRŠENOM RADU OD
POLOŽAJA 1 DO POLOŽAJA 2

2.sat
Ponavljanje prije kolokvija!!!
Što treba ponoviti???
Što je ostalo nejasno???
SADA VI PITATE!!!!
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.


Slide 8

- ROTACIJA OKO ISHODIŠTA

GIBANJE U RAVNINI
y

v

K0  r  q

x

0

ω

K0  K0 k  ( r q )k

K0  r  m   r  mr 
2

K 0  I0  
dK 0



dt
I0

za r  v

v r

m

r

q  m   r

q  m   r

q  mv

q

d
dt

d
dt

K 0  I0 

I0  m  r

 I0    M 0

(F )

2

MOMENT TROMOSTI
(INERCIJE) MASE
ČESTICE NA
ISHODIŠTE

ZAKON MOMENTA IMPULSA:

 I0    M 0

( Fv )

DIFERENCIJALNA
MEHANIKA 2
JEDNADŽBA
PREDAVANJE 8, 2014./15.
ROTACIJE

I 2  I1  M

S
1 ,2

NA CENTAR ROTACIJE

2. Newtonov aksiom:
Promjena količine gibanja jednaka je vanjskoj sili koja je tu promjenu izazvala i
odvija se u smjeru sile.
Promjena momenta količine gibanja ili kinetičkog momenta, jednaka je momentu
od vanjskih sila koje su tu promjenu izazvale
Komponente vektora količine gibanja i vektora kinetičkog momenta mijenjaju se ili
ostaju konstantne, ovisno o djelovanju vanjskih sila!

TRANSLACIJA
dQ
dt

 F

V

ROTACIJA (OKO ISHODIŠTA!)
dK 0

Q  m v

dt

DIFERENCIJALNE
V

m a   F
ZAKON IMPULSA



m v ( t 2 )  m v ( t1 )  S 

 M0

F

V



K 0  I0 

JEDNADŽBE GIBANJA:
 V

I0    M 0
ZAKON MOMENTA IMPULSA

t2




F dt


 SS

I 0K
 ( t(2t) ) 
I 0
M0 

K(0t1()t1) 
 M
0
2
0

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

t1

t 22

 
 rr FFdtdt



t1

t1

RAD SILE
• Ukupni rad sile na pomaku od položaja 1 do 2
jednak je integralu elementarnog rada

2

W 1, 2 

 dW
1

• Elementarni rad sile na diferencijalnom pomaku

dW  F  dr  F  dr  cos 

F  Fx i  F y j  Fz k

dr  dx i  dy j  dz k

dW  F x dx  F y dy  F z dz

• Jedinica za rad je Joul:
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

1J=1 N m

PRIMJER 1:
Na materijalnu točku djeluje sila F konstantnog iznosa i promjenjivog
smjera. U svakom trenutku sila F usmjerena je tangentno na kružnicu
polumjera r. Treba odrediti rad te sile od položaja A (φ=0) do položaja
B (φ=π/2) na kružnici.



y
F ( )  F sin  i  F cos  j



r   r cos  i  r sin 


d r  ( r sin  i  r cos 
 
dW  F  d r

B

F
φ

x

A


2

W A,B 

dW  ( F r sin



  F r cos  ) d 
2

 /2

 dW  F  r (sin

 0

2


j

j )d

0

2

  cos  ) d   F  r  
2

=1

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

W A,B  F  r 

 /2
0


2

PRIMJER 2: Rad sile koja je funkcija vremena



Treba odrediti rad sile F  3 i  4 t j na pomaku od ishodišta do točke
A na zadanoj trajektoriji, ako je poznato xA=4
TRAJEKTORIJA JE
ZADANA
PARAMETARSKIM
FUNKCIJAMA:

x (t )  t

PODINTEGRALNA
VARIJABLA JE VRIJEME!
ZA, x1=0, t1=0
ZA x2=4, t2=2

y ( t )  3t  t

2

2

r  t i  (3t  t ) j
2



2

dr  (2 t i  (6 t  1) j ) dt

 
2
dW  F  d r  6 t  4 t ( 6 t  1) dt  ( 2 t  24 t ) dt
t2  2

W 



t1  0

dW  t  8 t
2

3

2
0

 68 J

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

RAD ELASTIČNE SILE
RAD IZVRŠEN PRI
DEFORMACIJI
F0
ELASTIČNE
OPRUGE?

Fo  F  k  x


Fo   k  x i

F
L0

x

F
Krutost je sila potrebna za jediničnu k
deformaciju opruge
1

dW  F x  dx   k  x dx
x  x1

W 1, 2  



k x1

k x1

x  x2

 k x dx

x  x1

 (

x
x1

2

0

W 1 ,2  

Fo
2

k x dx  

x

kx
2

2
2



kx

2
1

)

2
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

x2

KINETIČKA ENERGIJA
• Energija gibanja
• Kinetička energija – svojstvo mase za vrijeme gibanja

• Čestica mase m, koja se giba brzinom v ima kinetičku
energiju:

Ek 

 
mv v
2



m v
2

• Skalarna i uvijek pozitivna veličina

• jedinica Joul:

J=Nm

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2

ZAKON PROMJENE
KINETIČKE ENERGIJE

1

2

W 1, 2

r(t)
y
x


dv

2

  mv
  m v dv 
2
1

2

2

2



2

F

2

1

m


 

 dr
  m a dr   m
dr   m dv

dt
dt
1
1
1
2

W 1, 2

1



  dW   F  d r
2

W 1 ,2

z

mv 2

1

2

W 1 ,2  E k 2  E k 1   E k
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2



mv 1

2

 
 m dv  v
1

2

2
PROMJENA KINETIČKE
ENERGIJE OD TRENUTKA 1
DO TRENUTKA 2, JEDNAKA JE
IZVRŠENOM RADU OD
POLOŽAJA 1 DO POLOŽAJA 2

2.sat
Ponavljanje prije kolokvija!!!
Što treba ponoviti???
Što je ostalo nejasno???
SADA VI PITATE!!!!
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.


Slide 9

- ROTACIJA OKO ISHODIŠTA

GIBANJE U RAVNINI
y

v

K0  r  q

x

0

ω

K0  K0 k  ( r q )k

K0  r  m   r  mr 
2

K 0  I0  
dK 0



dt
I0

za r  v

v r

m

r

q  m   r

q  m   r

q  mv

q

d
dt

d
dt

K 0  I0 

I0  m  r

 I0    M 0

(F )

2

MOMENT TROMOSTI
(INERCIJE) MASE
ČESTICE NA
ISHODIŠTE

ZAKON MOMENTA IMPULSA:

 I0    M 0

( Fv )

DIFERENCIJALNA
MEHANIKA 2
JEDNADŽBA
PREDAVANJE 8, 2014./15.
ROTACIJE

I 2  I1  M

S
1 ,2

NA CENTAR ROTACIJE

2. Newtonov aksiom:
Promjena količine gibanja jednaka je vanjskoj sili koja je tu promjenu izazvala i
odvija se u smjeru sile.
Promjena momenta količine gibanja ili kinetičkog momenta, jednaka je momentu
od vanjskih sila koje su tu promjenu izazvale
Komponente vektora količine gibanja i vektora kinetičkog momenta mijenjaju se ili
ostaju konstantne, ovisno o djelovanju vanjskih sila!

TRANSLACIJA
dQ
dt

 F

V

ROTACIJA (OKO ISHODIŠTA!)
dK 0

Q  m v

dt

DIFERENCIJALNE
V

m a   F
ZAKON IMPULSA



m v ( t 2 )  m v ( t1 )  S 

 M0

F

V



K 0  I0 

JEDNADŽBE GIBANJA:
 V

I0    M 0
ZAKON MOMENTA IMPULSA

t2




F dt


 SS

I 0K
 ( t(2t) ) 
I 0
M0 

K(0t1()t1) 
 M
0
2
0

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

t1

t 22

 
 rr FFdtdt



t1

t1

RAD SILE
• Ukupni rad sile na pomaku od položaja 1 do 2
jednak je integralu elementarnog rada

2

W 1, 2 

 dW
1

• Elementarni rad sile na diferencijalnom pomaku

dW  F  dr  F  dr  cos 

F  Fx i  F y j  Fz k

dr  dx i  dy j  dz k

dW  F x dx  F y dy  F z dz

• Jedinica za rad je Joul:
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

1J=1 N m

PRIMJER 1:
Na materijalnu točku djeluje sila F konstantnog iznosa i promjenjivog
smjera. U svakom trenutku sila F usmjerena je tangentno na kružnicu
polumjera r. Treba odrediti rad te sile od položaja A (φ=0) do položaja
B (φ=π/2) na kružnici.



y
F ( )  F sin  i  F cos  j



r   r cos  i  r sin 


d r  ( r sin  i  r cos 
 
dW  F  d r

B

F
φ

x

A


2

W A,B 

dW  ( F r sin



  F r cos  ) d 
2

 /2

 dW  F  r (sin

 0

2


j

j )d

0

2

  cos  ) d   F  r  
2

=1

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

W A,B  F  r 

 /2
0


2

PRIMJER 2: Rad sile koja je funkcija vremena



Treba odrediti rad sile F  3 i  4 t j na pomaku od ishodišta do točke
A na zadanoj trajektoriji, ako je poznato xA=4
TRAJEKTORIJA JE
ZADANA
PARAMETARSKIM
FUNKCIJAMA:

x (t )  t

PODINTEGRALNA
VARIJABLA JE VRIJEME!
ZA, x1=0, t1=0
ZA x2=4, t2=2

y ( t )  3t  t

2

2

r  t i  (3t  t ) j
2



2

dr  (2 t i  (6 t  1) j ) dt

 
2
dW  F  d r  6 t  4 t ( 6 t  1) dt  ( 2 t  24 t ) dt
t2  2

W 



t1  0

dW  t  8 t
2

3

2
0

 68 J

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

RAD ELASTIČNE SILE
RAD IZVRŠEN PRI
DEFORMACIJI
F0
ELASTIČNE
OPRUGE?

Fo  F  k  x


Fo   k  x i

F
L0

x

F
Krutost je sila potrebna za jediničnu k
deformaciju opruge
1

dW  F x  dx   k  x dx
x  x1

W 1, 2  



k x1

k x1

x  x2

 k x dx

x  x1

 (

x
x1

2

0

W 1 ,2  

Fo
2

k x dx  

x

kx
2

2
2



kx

2
1

)

2
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

x2

KINETIČKA ENERGIJA
• Energija gibanja
• Kinetička energija – svojstvo mase za vrijeme gibanja

• Čestica mase m, koja se giba brzinom v ima kinetičku
energiju:

Ek 

 
mv v
2



m v
2

• Skalarna i uvijek pozitivna veličina

• jedinica Joul:

J=Nm

MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2

ZAKON PROMJENE
KINETIČKE ENERGIJE

1

2

W 1, 2

r(t)
y
x


dv

2

  mv
  m v dv 
2
1

2

2

2



2

F

2

1

m


 

 dr
  m a dr   m
dr   m dv

dt
dt
1
1
1
2

W 1, 2

1



  dW   F  d r
2

W 1 ,2

z

mv 2

1

2

W 1 ,2  E k 2  E k 1   E k
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.

2



mv 1

2

 
 m dv  v
1

2

2
PROMJENA KINETIČKE
ENERGIJE OD TRENUTKA 1
DO TRENUTKA 2, JEDNAKA JE
IZVRŠENOM RADU OD
POLOŽAJA 1 DO POLOŽAJA 2

2.sat
Ponavljanje prije kolokvija!!!
Što treba ponoviti???
Što je ostalo nejasno???
SADA VI PITATE!!!!
MEHANIKA 2
PREDAVANJE 8, 2014./15.