Transcript Slide 1

Nuklearna fizika
- vježbe 1. Simetrije
Sakurai
Rotacije
 u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, rotacija se opisuje
realnom, ortogonalnom matricom dimenzije 3x3:


r '  Rr
 eksplicitan matrični zapis, u granici malih kutova:
 cos 

R z ( )   sin 
 0

 sin 
cos 
0
2


1 
2
0 
 
0   
1  
 0



1

2
2
0

0


0

1 

Rotacije
1

R x ( )   0
0


1
0  
 
 sin     0
cos   
0


0
cos 
sin 
 cos 

R y ( )   0
  sin 

0
1
0
0
1
2


1 
2
sin   
 
0  0
cos   
 



2
2

0
1
0

0 


 
2 


1
2 

 


0 
2 


1
2 
Rotacije
 trivijalno se pokazuje:
2


1 
2


2
R x ( ) R y ( )   

 


0
1

2
2


 


 

2
1   

2


1 
2


R y ( ) R x ( )   0

 



1
2

2
2

 rotacije oko različitih osi ne komutiraju ako ne zanemarimo
članove s drugom ili višim potencijama u :
 0

2
R x ( ) R y ( )  R y ( ) R x ( )   

 0

0
0
2
0

0

0

 


 

2
1   

Rotacije
 dakle:
R x ( ) R y ( )  R y ( ) R x ( )  R z ( )  1
2
o
 ”1” se može zapisati kao rotacija oko bilo koje osi za 0 (takav
zapis će nam trebati kasnije za povlačenje analogije s algebrom
momenta impulsa):
R x ( ) R y ( )  R y ( ) R x ( )  R z ( )  R any ( 0 )
2
Rotacije u kvantnoj mehanici
 rotaciji, opisanoj matricom
R, u kvantnoj mehanici se pridružuje
operator D(R), tako da vrijedi:




R
 D (R) 
... stanje prije rotacije
R
... stanje poslije rotacije
R – matrica, D(R) – operator koji se može reprezentirati matricom
 dimenzija te matrice ovisi o dimenziji
 N=2 (spin=1/2) 
 N=3 (spin=1) 
 ...
N prostora stanja |>
D(R) se opisuje matricom 2x2
D(R) se opisuje matricom 3x3
Rotacije u kvantnoj mehanici
Određivanje matrice operatora D(R):
1) infinitezimalni operator može se u QM napisati kao:
U   1  iG e
gdje je G hermitski operator, a e infinitezimalni pomak
2) za translaciju: G  px/ħ, e  dx,
za pomak u vremenu: G  H/ħ, e  dt,
za rotaciju: G  Jz/ħ, e  d.
3) dakle:
Jz
D ( z, d )  1  i
d

4) konačna rotacija:
(Jz-općenit operator
momenta impulsa)
Jz  

D ( z ,  )  lim  1  i
 N 
N  
N
e

iJ Z 

Rotacije u kvantnoj mehanici
R) u kvantnoj mehanici se
pridružuje operator D(R) koji ima ista grupna svojstva kao R
 dakle, svakoj rotaciji (opisanoj matricom
 budući da vrijedi:
R x ( ) R y ( )  R y ( ) R x ( )  R z ( )  1
2
za D(R) dobiva se (zanemarivanjem članova manjih od 2):
J x
J x2 2

1  i   2 2

J y
J y2 2  
J y
J y2 2

 1  i   2  2    1  i   2  2

 
J y
J y2 2
J x J y 2

J x
J x2 2
 1  i
i





2 2
2 2
2

J x
J x2 2 
J z 2


 1 i
1
 1  i
2 


2



J y
J y2 2
J y J x 2
 
J x
J x2 2
   1  i
i





2 2
2 2
2
 
J x J y  J y J x  iJ z
d
[ J x , J y ]  iJ z

J z 2
   i


Rotacije u kvantnoj mehanici
[ J i , J j ]  ie ijk J k
e ijk
 1 ... za parnu permutaciju i, j, k



  1 ... za neparnu permutaciju i, j, k

 0 ... za bilo koja 2 indeksa i, j, k jednaka 


 Jk-općenit operator momenta impulsa, generator rotacije oko
te osi
 nije definiran kao
r×p!
k-
Algebra momenta impulsa
 veza zakona sačuvanja i simetrije (Noetherin teorem, moment
impulsa generira rotacije) + infinitezimalna analiza
 komutacijske relacije za operator momenta impulsa:
[ J i , J j ]  ie ijk J k
2
J
 J J J
2
x
2
y
J z j m  m j m
 nadalje definiramo:
J
J


 J x  iJ y
 J x  iJ y
2
z
Zadatak 1. Dokazati:
J , J 2   0
 x

Rješenje 1.

 
 
J , J 2   J , J 2  J , J 2  J , J 2
x
x
x
y
x
z
 x


 A , BC    A , B C  B  A , C 




 J , J 2   J , J J  J J , J   J , J J  J  J , J 
x
y
y
y
x
y
x
z
z
z
x
z
 x

 J , J 2   i J J  J (i J )  (  i J ) J  J (  i J )
z y
y
z
y
z
z
y
 x

J 2, J   0
x


Zadatak 2. Pokazati da je J- operator poništavanja!
Rješenje 2.
JzJ
JzJ
-
jm  J z ( J x  iJ y ) jm
-
jm  ( J z J x  iJ z J y ) jm
(koristimo : J z J y  J y J z  i  J x )
JzJ
-
j m  [( J x J z  i  J y )  i ( J y J z  i  J x )] j m
(koristimo : J z j m   m j m )
JzJ
JzJ
JzJ
-
j m  [(  mJ
x
 i  J y )  ( i  mJ
-
j m   ( m  1)( J x  iJ y ) j m
-
j m   ( m  1) J
-
y
 i  J x )] j m
jm
(uspore dbo m s : J z j m  1   ( m  1) j m  1 )
J
-
j m  c j m 1
c je ovdje neizračunata
konstanta
Zadatak za domaću zadaću
 pokazati:
j' m' J  j m 
 krenuti od:

J J
 koristiti:
-
†
-
 J
(J )  J
2

( j  m )( j  m  1)  
2
Jz
j j ' m ' m 1
 J z

 i koristiti rezultat prošlog zadatka:
J

j m  c j m 1
 u slučaju problema, pogledati u skoro bilo koju knjigu iz
kvantne mehanike (Messiah, Sakurai, ...)
Eulerovi kutovi
 u klasičnoj mehanici rotiranje
tijela se najopćenitije opisuje
Eulerovim kutovima , b, g:
1) rotacija oko z-osi za kut ,
2) rotacija oko nove, y’-osi, za
kut b,
3) rotacija oko nove, z’’–osi,
za kut g.
-sve rotacije vrše se u smjeru
obrnutom od kazaljke na satu
D-funkcija
 u kvantnoj mehanici rotacija se opisuje s tri nezavisne konstante
gibanja – uvodi se tzv. D-funkcija (“D” dolazi od njemačkog izraza
za rotaciju: Drehung)
 D-funkcija je rotacijska valna funkcija, tj. vlastita funkcija
operatora momenta impulsa
 njima se također opisuju transformacije između različitih
koordinatnih sistema
 ovisno o području fizike, koriste se razne konvencije što se tiče
faze i predzanka (na ovom kolegiju koristit će se standard uveden
od Bohra i Mottelsona)...
D-funkcija
 za Eulerove kutove , b i g, D-funkcija se definira kao:
D( , b , g )  e
iJz '' /  ibJy ' /  igJz / 
e
e
 njen efekt na valnu funkciju s kvantnim brojevima
J i M dan je s:
J M ' D( , b , g ) J M  DM 'M ( , b , g )
J
 dakle:
D( , b , g ) J M   DM 'M ( , b , g ) J M '
J
M'
 reducirana matrica rotacije definira se ovom relacijom:
d
J
M 'M
(b )  J M ' e
 i b Jy / 
J M
 veza je, dakle, dana s:
J
M 'M
D
( , b , g )  e
 i ( M '  gM )
d
J
M 'M
(b )
D-funkcija
 ako se neko stanje pri rotaciji transformira ovako:
J M  D( R) J M
onda se očekivana vrijednost vektorskog operatora V
transformira ovako:
*
J M V i J M '  J M D ( R )V i D ( R ) J M ' 
 R ij
i
 transformacija tenzorskih operatora?
J M Vj J M'
Wignerove D-matrice
 D-matrice su vlastite funkcije operatora momenta impulsa:
M'
 MD M
M'
 J ( J  1) D M
J
J z DM
2
J
J
J DM
M'
J
M'
 drugim riječima, D-funkcija ne mijenja vrijednost
J D ( , b , g ) J M  D ( , b , g ) J
2
2
J:
J M 
 J ( J  1) D ( , b , g ) J M

 DMM’ su također koeficijenti reprezentacije grupe rotacija:
YJM ( ' ,  ' )   D
J
M 'M
M'
( , b , g )YJM ' ( ,  )
Svojstva Wignerovih D-matrica
 reducirana matrica rotacije je posve realna i ima svojstva:
d MM ' ( b )  (  1)
J
M M '
d M 'M ( b )
J
d  M ' M ( b )  d M 'M ( b )
J
J
d M ' M (   b )  (  1)
J
J M '
d M 'M ( b )
J
1
d
J
MM '
(b ) d
J'
MM '
( b ) d (cos b ) 
1
2
2J 1
 JJ '
 može se pokazati (ali nije trivijalno – vidi Sakurai pp.221-223):
(  1) (cos
k
d m m ( b ) 
j
( j  m )! ( j  m )! ( j  m ' )! ( j  m )' ! 
k
WIGNEROVA formula
b
)
2 j  m  m '2 k
(sin
b
)
m ' m  2 k
2
2
( j  m ' k )! ( j  m  k )! ( k  m ' m )! k !
Simetričan rotor

M – projekcija ukupnog impulsa vrtnje J u smjeru osi kvantizacije
z (dakle, u laboratorijskom sustavu)

K – projekcija ukupnog impulsa vrtnje J u intrinsičnom
koordinatnom sustavu (os x3)
(K u intrinsičnom sustavu ima istu ulogu kao M u laboratorijskom)
 D-matrica je vlastita funkcija operatora
K
 MD M
K
 KD M
K
 J ( J  1) D M
J
J z DM
J
J
J 3DM
2
K
J
J
J DM
Jz, J3 i J2:
K
J
K
D-funkcija
 transformacija pariteta daje (shematski zapis):
J
PD M
K
 (  1)
J K
J
DM
K
 proizvoljna D-funkcija nema, dakle, dobro definiran paritet
 konstrukcija valne funkcije dobrog pariteta:
J M K
rot

2J 1
16  (1   K 0 )
2
D
J
M K
( , b , g )  (  1 )
J K
J
DM
K
( , b , g )

Primjer 1. Spin 1/2
 produkt operatora rotacije
D( , b , g )  Dz ( ) Dy ( b ) Dz (g )
se u reprezentaciji matricama 2x2 svodi na:
e
 i 3 / 2
e
 i 2 b / 2
a to se može raspisati kao
 e  i / 2

 0

e
 i 3g / 2
0  cos( b / 2)

i / 2 
e
 sin( b / 2)
 e i ( g ) / 2 cos( b / 2)
   i (  g ) / 2
e
sin( b / 2)

 sin( b / 2)  e  ig / 2

cos( b / 2)  0
 i ( g ) / 2
sin( b / 2) 

i ( g ) / 2
e
cos( b / 2) 
e
0 

ig / 2 
e

Zadatak 3. Vlastita stanja momenta impulsa |j,m=mmax=j> zarotirana
su za infinitezimalni kut e oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza
za dMJ 'M , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u
originalnom stanju do na kvadratične članove u e.
Rješenje 3.
Zadatak 3. Vlastita stanja momenta impulsa |j,m=mmax=j> zarotirana
su za infinitezimalni kut e oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza
za dMJ 'M , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u
originalnom stanju do na kvadratične članove u e.
Rješenje 3.
Zarotirano stanje dano je s:
j, j

 R ( e , yˆ ) j , j  d ( e ) j , j   exp

j
R
2

iJ y e
(i) e
 1 

2


2

2
J
2
y

j, j
 iJ y e





 j, j 

 
Zadatak 3. Vlastita stanja momenta impulsa |j,m=mmax=j> zarotirana
su za infinitezimalni kut e oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza
za dMJ 'M , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u
originalnom stanju do na kvadratične članove u e.
Rješenje 3.
Zarotirano stanje dano je s:
j, j

 R ( e , yˆ ) j , j  d ( e ) j , j   exp

j
R
2

iJ y e
(i) e
 1 

2


2
Uvodimo:
J   J x  iJ y
J   J x  iJ y
 iJ y e





2
J
2
y

j, j
 Jy 
J  J
2i

 j, j 

 
Rješenje 3.
Dobivamo:
j, j
R
2


ie
e
2
 1 
(J   J  ) 
( J   J  )  j, j
2
2


8
Koristimo poznate relacije:
J  j , m   ( j  m )( j  m  1) j , m  1
J  j , m   ( j  m )( j  m  1) j , m  1
odnosno:
J  j, j  0
J  j, j   2 j j, j  1
J 
 J   j, j   J  j, j    2 j j, j  1
Rješenje 3.
J 
 J 
2
j, j   2 j J   J   j, j  1 
   2 j J  j , j  1  J  j , j  1
  2 j

2 j j, j 

2 ( 2 j  1) j , j  2

Dobivamo:
j, j
R
 j, j 
e
2 j j, j  1 
2
e
2
2 j j, j 
8
2 

e
e
 1 
j  j, j 


4
2


e
2
2
j ( 2 j  1) j , j  2 
8
2 j j, j  1 
e
2
j ( 2 j  1) j , j  2
4
Dakle, vjerojatnost da rotirano stanje nađemo u originalnom stanju
je:
2
2
j, j j, j
R
2 

e
 1 
j


4


 1
e
2
2
j  ...
Zadatak 4. Izračunajte
j

j
d m 'm
2
(b ) m
m j
za svaku vrijednost j . Provjerite rezultat za j =1/2.
Rješenje 4.
j

j
d m 'm
j
2
(b ) m 
m j
m
jm e
 iJ y b / 
2
jm '

jm '
jm e
jm '
jm ' e
m j
j


m jm e
 iJ y b / 
 iJ y b / 
jm '
*
m j
j


m jm e
 iJ y b / 
iJ y b / 
jm 
m j
j


m j
jm ' e
iJ y b / 
m jm
jm e
 iJ y b / 
jm '

Rješenje 4.
j

j
d m 'm

2
(b ) m 
jm ' e
iJ y b /  


1

1

jm ' e
m

 m
m j
iJ y b / 

  iJ y b
jm e


j
J ze
jm
j
 iJ y b / 
jm ' 
*
jm ' D ( b , yˆ ) J z D ( b , yˆ ) jm '
S druge strane vrijedi:
*
D ( b , yˆ ) J z D ( b , yˆ ) 
 R zj ( b , yˆ ) J j
j
 cos b

R ( b , yˆ )  
0
  sin b

0
1
0
sin b 

0 
cos b 
/
jm ' 
Rješenje 4.
j

j
d m 'm
2
(b ) m 
m j
1

 sin b

jm ' J x jm '  cos b jm ' J z jm ' 
J  J
1 
   sin b jm '
 
2

jm '   m ' cos b  

 m ' cos b
Za j =1/2 vrijedi:
1/ 2
d m 'm ( b )
 cos(b / 2)
 
 sin(b / 2)
 sin(b / 2) 

cos(b / 2) 
a) za m’ =1/2
1/ 2

m  1 / 2
1/ 2
d1 / 2 m
2
(b ) m  
1
2
sin
2
b
2

1
2
cos
2
b
2

1
2
cos b  m ' cos b
Rješenje 4.
b) za m’ = -1/2
1/ 2

m  1 / 2
1/ 2
d 1 / 2 m
2
(b ) m  
1
2
cos
2
b
2

1
2
sin
2
b
2

1
2
cos b  m ' cos b
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
 za
J=1 moramo korisiti matričnu reprezentaciju dimenzije 3x3
 za reducirane Wignerove matrice trebamo samo
koristimo:

Jy 

(J  J )
 koristimo:
2i
( j  m )( j  m  1)  
j' m' J  j m 
 da bi dobili:
( j 1)
Jy
Jy, zato
m=1
m=0
 0


   i 2
 2 
 0

i 2
0
i 2
m=-1
 m’=1

 i 2  m’=0

0  m’=-1

0
j j ' m ' m 1
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
 primjer: m=0 i m’=1
(1  0 )(1  0  1)   1 1 1 0 1
11 J  1 0 
(1  0 )(1  0  1)   1 1 1 0 1 
11 J  1 0 
(1  0 )(1  0  1)   1 1 1 0 1  0
11 J  1 0 

Jy 
2

(J  J )
2i

2  0
2i
 i 2

2
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
 sljedeći korak: razvoj u red
e
J
iJ y b / 
( j 1)
y

2
 1
iJ y b

 0
2

   i 2
2 
 0

2
2
 
   0
2 
 2
e
1  iJ y b
 
2!  
i 2
0
i 2
0
4
0
 2

0 
2 
 iJ y b / 
2

1  iJ y b
  

 
3
!


  0
 
 i 2  i 2
 
0   0
 
0
i 2
0
i 2
3

  ...




i 2 

0 

0
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.

( j 1)
Jy

3
2
2
 
   0
2 
 2

3
0

    i4 2
2 
 0

 0

2  
    i 2
 2 
 0

0
4
0
 0
 2
   
0     i 2
 2 

 0
2 

 i4 2
0
i4 2
i 2
0
i 2
i 2
0
i 2


 i4 2  

0 

0


2 ( j 1)

i 2   Jy

0 

0


i 2 

0 

0
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
e
iJ y b / 
 1
 1
iJ y b

iJ y b

1  iJ y b
 
2!  
1  iJ y b
 
2!  
2

1  iJ y b
  

 
3
!


2

1  iJ y b
  

 
4
!


3

1 J y (ib )
1  Jy
 
 

3!

4!  

3
  Jy
 J y 
(ib )

 ib 
 1  

...

  

3
!


 
 Jy
 1  i
 
3
2




2

 Jy 
 sin b  


   cos b  1



4

  ... 


2

4
 (ib )  ... 


 (ib ) 2 (ib ) 4



 ...  
 2!

4
!


Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
 0
i
1
d (b )  1   i 2
2
 0


 2

1
 i 2  sin b   0
4

0
 2

i 2
0
0
i 2
1
 (1  cos b )
2
 1

sin b

2

1
 (1  cos b )

2

1
sin b
2
cos b
1
2
sin b

(1  cos b ) 
2

1


sin b

2

1
(1  cos b ) 
2

1
0
4
0
 2

0 cos b  1 
2 
Zbrajanje dva momenta impulsa
 zbrajamo dva operatora momenta impulsa ( ˆj1 , ˆj 2 ) koji
zadovoljavaju uobičajene komutacijske relacije (u različitim
potprostorima):
Jˆ  ˆj1  ˆj 2
[ j1i , j1 j ]  i  e ijk j1 k
[ j 2 i , j 2 j ]  i  e ijk j 2 k
 za bilo koji par operatora iz različitih potprostora vrijedi:
[ j1i , j 2 j ]  0
 važno - sumirani moment impulsa zadovoljava iste komutacijske
relacije:
[ J i , J j ]  ie ijk J k
Zbrajanje dva momenta impulsa
 moguća su dva izbora baze čitavog sistema:


2
j1 ,
2
J ,
2
j2 ,
j1 z , j 2 z
2
j1 ,
2
j2 ,
Jz
 unitarna transformacija koja povezuje dvije baze:
Clebsch-Gordanov problem
j1 m 1 j 2 m 2  j1 m 1
–
j2 m 2

J M
 j1 j 2 J M
Zbrajanje dva momenta impulsa
j1
J M 

j2

j1 m1 j 2 m 2 J M
j1 m1 j 2 m 2
m1   j1 m 2   j 2
Clebsch-Gordanovi koeficijenti
 standardni izbor faze:
j1 j1 j 2 j 2 J J  0 (i realni)
 obrat:
j1 m 1 j 2 m 2 
j1  j 2

J  j1  j 2
J

M  J
j1 m 1 j 2 m 2 J M
J M
Clebsch-Gordanovi koeficijenti
 svojstva:
1) za m 1  m 2  M

j1 m 1 j 2 m 2 J M
J  j1  j 2
2) također za:
ili
J  j1  j 2
3)
j m 0 0 j m 1
4)
j1 j1 j 2 j 2 j1  j 2 j1  j 2  1
5)
j1

j2

j1 m1 j 2 m 2 J M
0
j1 m1 j 2 m 2 J ' M '   JJ ' MM
'
m1   j1 m 2   j 2
6)
j1  j 2

j1  j 2

j1 m 1 j 2 m 2 J M
J  j1  j 2 M   j1  j 2
j1 m 1 ' j 2 m 2 ' J M
  m m ' m
1
1
2m2
'
3j-simboli
 definicija:
 j1

 m1
j  j M
J  (1) 1 2
 
M 
2J 1
j2
m2
j1 m1 j2 m2 J M
 svojstva:
1)
2)
3)
 j1

 m1
j2
m2
 j1

 m1
 j1

  m1
j3   j3
  
m3   m3
j2
m2
j2
 m2
j1
m1
j 2   j2
  
m2   m2
j3 
j1  j2  j3  j2
  (1)

m3 
 m2
j3
m3
j1
m1
j3 
j1  j2  j3  j1
  (1)

 m3 
 m1
j1 

m1 
j3 

m3 
j2
m2
j3 

m3 
Zadatak 6. Krećući od definicije 3j-simbola “prevedite”
svojstva 1)-3) na Clebsch-Gordanove koeficijente
Rješenje 6.
1) 
(1)
(uzimamo j3=J, m3=-M)
j1  j2  M
2J 1
j1 m1 j2 m2 J M 
j1 m1 j2 m2 J M  (1)
(1)
J  j1  m2
2 j2  1
2J 1
J  j2  m1
2 j2  1
J M j1 m1 j2 m2
J M j1 m1 j2 m2
2) 
(1)
j1  j2  M
2J 1
j1 m1 j2 m2 J M  (1)
j1 m1 j2 m2 J M  (1)
j1  j2  J
j1  j2  J
(1)
j2  j1  M
2J 1
j2 m2 j1 m1 J M
j2 m2 j1 m1 J M
Zadatak 6. Krećući od definicije 3j-simbola “prevedite”
svojstva 1)-3) na Clebsch-Gordanove koeficijente
Rješenje 6.
(uzimamo j3=J, m3=-M)
3) 
(1)
j1  j2  M
2J 1
j1  m1 j2  m2 J  M  (1)
j1 m1 j2 m2 J M  (1)
j1  j2  J
j1  j2  J
(1)
j1  j2  M
2J 1
j1 m1 j2 m2 J M
j1  m1 j2  m2 J  M
Zadatak 7. Pokažite:
j1 m1 j2 m2 J M  (1)
 J  j2  m1
2 J 1
2 j2 1
j1  m1 J M j2 m2
Rješenje 7.
3) 
2) 

 j1

 m1
j2
m2
 j1

  m1
 j1

 m1
J 
j1  j2  J  j1
  (1)

M
  m1
j2
 m2
j2
m2
j2
 m2
J 
j1  j2  J  j1
  (1)

M
  m1
J   j1
  
 M    m1
J
M
J
M
J 

M
j2 

 m2 
j2 

 m2 
def 
(1)
j1  j2  M
2J 1
j1 m1 j2 m2 J M 
(1)
j1  J  m2
2 j2  1
j1  m1 J M j2 m2
Zadatak 7. Pokažite:
j1 m1 j2 m2 J M  (1)
 J  j2  m1
2 J 1
2 j2 1
j1  m1 J M j2 m2
Rješenje 7.
j1 m1 j2 m2 J M  (1)
j1  J  m2 ( j1  j2  M )
2J 1
2 j2  1
j1  m1 J M j2 m2
uz m1  m2  M

j1 m1 j2 m2 J M  (1)
 J  j2  m1
2J 1
2 j2  1
j1  m1 J M j2 m2
3j-simboli
 daljnja svojstva (relacije ortogonalnosti):
4)
j1

m1   j1
5)
 j1
  m
m2   j2  1
j2
j1  j2
j3
j2
m2
j3   j1
 
m3   m1
 j1
(2 j3  1) 
 m1
j3  j1  j2 m3   j3


j2
m2
j2
m2
,
j3 

,
m3 
j3   j1
 ,
m3   m1

j2
,
m2
1
2 j3  1
 j j m m
,
3 3
3
,
3
j3 

,    m m,  m m,
1 1
2 2
m3 
3j-simboli
 specijalni slučajevi:
1) m 1  j1
 j1

 j1
i
m 2  j2 
i
J  j1  j2
j j j j
j1  j2

( 1) 1 2 1 2
 
j1 j1 j2 j2 j1  j2 j1  j2 
 ( j1  j2 ) 
2( j1  j2 )  1
j2
j2

2)
M  j1  j2
j1  j
i
m1  m
i
 j

m

}
0
j2  0
m2
0
0
1
2( j1  j2 )  1
M m
i
Jj
j 0 m
j  (1)
 
 m
2 j 1
j m00 j m 
(1)
j m
2 j 1
Racahova formula za 3j-simbole
 općenita formula za bilo koji 3j-koeficijent:
a

d
b
e
c
a b  f
  (1)
f

t
( a, b, c) ( a  d )!( a  d )!(b  e)!(b  e)!(c  f )!(c  f )! 
( 1)
t
t!(c  b  t  d )! (c  a  t  e)! (a  b  c  t )!( a  t  d )!(b  t  e)!
 (a, b, c) 
( a  b  c )! ( b  c  a )! ( c  a  b )!
( a  b  c  1)!
Zadatak 8. Izračunati:
 j

 m
j 

m '
1
0
Rješenje 8.
 mora biti:
m  m'
 a  j , b  1, c  j , d  m, e  0, f  m
  j

 m
1
0
j 
j 1  m
  (  1)
m '

t
(  1)
 ( j ,1, j ) 
  j

 m
1
0
t
t ! ( j  1  t  m )! (1  t )! ( j  t  m )! (1  t )!
 mogući t-ovi: t  0

 ( j ,1, j ) ( j  m )! ( j  m )! ( j  m )! ( j  m )! 
i
1  t  0  t  0, 1
1!1! ( 2 j  1)!
( 2 j  2 )!
j 
j 1  m
  (  1)
m '


1
1
( j  m )! ( j  m )! 


( 2 j  2 )!
 ( j  m  1)! ( j  m )! ( j  m )! ( j  m  1)! 
( 2 j  1)!
 j

 m
Zadatak 8. Izračunati:
1
0
j 

m '
Rješenje 8.
 j

 m
1
0
j 
j 1  m
  (  1)
m '
 (  1)
 (  1)
 j

 m
1
0
j 1  m
 j  m  ( j  m) 
( j  m )! ( j  m )! 

( 2 j  1)! 2 j ( 2 j  1)( 2 j  2 )
(
j

m
)!
(
j

m
)!


( 2 j  1)!
1
1
2
j ( 2 j  1)( j  1)
jm
j
j m
  (1)
m' 
(2m ) 
m
j ( 2 j  1)( j  1)
m
j (2 j  1)( j  1)
 m m'
Zbrajanje tri momenta impulsa
Jˆ  ˆj1  ˆj 2  ˆj 3
j1 m 1 j 2 m 2 j 3 m 3
 moguća su tri izbora baze čitavog sistema, ovisno o redoslijedu
zbrajanja:



Jˆ  ( ˆj1  ˆj 2 )  ˆj 3  ˆj12  ˆj 3
Jˆ  ˆj1  ( ˆj 2  ˆj 3 )  ˆj1  ˆj 23
Jˆ  ( ˆj1  ˆj 3 )  ˆj 2  ˆj13  ˆj 2
Zbrajanje tri momenta impulsa
 tri baze su međusobno povezane, npr.:
j1 j 23 J ' M ' 

j12 j3 J M j1 j 23 J ' M '  j12 j 3 J M
j12
j12 j 3 J M
j1 j 23 J ' M ' 
( 2 j12  1)( 2 j 23  1) W ( j1 j 2 J j 3 ; j12 j 23 ) JJ ' MM ' 
 (  1)
j1  j 2  j 3  J
( 2 j12  1)( 2 j 23
 j1
 1) 
 j3
j2
J
j12 
 JJ ' MM
j 23 
 W je “Racahov W-koeficijent”, a vitičasta zagrada označava
“Wignerov 6j-simbol” (ili koeficijent)
 6j-koeficijent se mogu raspisati preko 3j-koeficijenata
(netrivijalno, po potrebi pogledati Supek II, str. 629)
'
Sferični tenzorski operatori
 sferičnim tenzorskim operatorom T q ranga
k
k zovemo skup 2k+1
veličina koje se pri rotaciji koordinatnog sustava transformiraju
ovako:
T
k
'q
 D ( , b , g
k
)T q
†
D ( , b , g ) 
k

k k
T q ' D q 'q
( , b , g )
q '  k
 osnovna razlika u odnosu na npr. Kartezijeve tenzore je u njihovoj
ireducibilnosti
 raspisujući gornji izraz za infinitezimalne rotacije, može se
pokazati (vidi npr. Sakurai, str. 236):
1)
2)
k
[ J z , Tq
k
[ J  , Tq
]
k
 qT q
]   ( k  q )( k  q
k
 1)T q 1
 ova dva izraza ponekad se koriste i kao definicija sferičnih
tenzorskih operatora (vidi Greiner, str. 162)
Wigner-Eckartov teorem
 matrični elementi sferičnog tenzorskog operatora u bazi
momenta impulsa mogu se uvijek napisati kao:
k
 ' , j ' m' Tq  , j m  j m k q j ' m'
 ', j ' T k  , j
2 j 1
gdje je s dvostrukom crtom označen “reducirani” matrični
element koji je neovisan o “magnetskim” kvantnim brojevima
m, m’ i q
 prvi član – orijentacija sistema s obzirom na z-os (geometrija +
simetrija!)
 smisao teorema: za neku vrijednost
m, m’ i q izračunati
reducirani matrični element i zatim ga koristiti za računanje
matričnih elemenata za svaki m, m’ i q
Wigner-Eckartov teorem
 primjer:
T J
 ' , j ' m'
 biramo:
 znajući:
k
q
1
Jm
1
i
m
j''  j'
 ' ' , j ' m' '  j ' m' ' 1 m j ' m'
 Jz ,
1
J 1
2 j '1
1
 ' , j ' m' J 0  ' ' , j ' m' '  m'  ' '' m'm''
j ' m' ' 1 0 j ' m'  (1)
1
0
 j'
2 j '1 
 m' '
j ' 1 m '
j' 
j ' m '
  (  1)
m '
m'
j ' ( 2 j ' 1)( j ' 1)
j ' m ' ' 1 0 j ' m '    m ' m ''
m'
j ' ( j '  1)

1
2
 ' , j' J 1  ' ' , j'
m0
 i:
 j'

  m''
1
J0
1
0
j' 

 m' 
 m '' m '
J
Wigner-Eckartov teorem
 primjer:
Tq  J m
k
1
i
j''  j'
 ' , j ' J  ' ' , j '   m '   ' '' m 'm ''
1
    ' '' m 'm ''
 ' , j ' m'
1
Jm
 ' ' , j ' m' '  j ' m' ' 1 m j ' m'
j ' ( j ' 1)
2 j ' 1 
m'
j ' ( j ' 1)( 2 j ' 1)
 ' , j' J1  ' ' , j'
2 j '1
 j ' m' ' 1 m j ' m'   ' '' m 'm ''

   ' '' m 'm '' j ' m' ' 1 m j ' m'

j ' ( j '1)( 2 j '1)
2 j '1
j ' ( j '1)

Projekcijski teorem
 specijalan slučaj Wigner-Eckartovog teorema za vektorske
operatore (za slučaj j’=j):
 ' , j m' Vq  , j m 
ˆ , j m
 ', j m ˆj V
2
 j ( j 1)
 primjer: magnetski dipolni moment

j m' J q j m
m neparne jezgre
Vˆ  mˆ  mˆ l  mˆ s  gl m N lˆ  g s m N lsˆ

j m' m z j m 

j m ˆj  mˆ j m
j ( j  1)
j m' j z j m 
m j m' ˆj  mˆ j m
j ( j  1)
...  Schmidtove granice