Transcript Slide 1
Nuklearna fizika
- vježbe 1. Simetrije
Sakurai
Rotacije
u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, rotacija se opisuje
realnom, ortogonalnom matricom dimenzije 3x3:
r ' Rr
eksplicitan matrični zapis, u granici malih kutova:
cos
R z ( ) sin
0
sin
cos
0
2
1
2
0
0
1
0
1
2
2
0
0
0
1
Rotacije
1
R x ( ) 0
0
1
0
sin 0
cos
0
0
cos
sin
cos
R y ( ) 0
sin
0
1
0
0
1
2
1
2
sin
0 0
cos
2
2
0
1
0
0
2
1
2
0
2
1
2
Rotacije
trivijalno se pokazuje:
2
1
2
2
R x ( ) R y ( )
0
1
2
2
2
1
2
1
2
R y ( ) R x ( ) 0
1
2
2
2
rotacije oko različitih osi ne komutiraju ako ne zanemarimo
članove s drugom ili višim potencijama u :
0
2
R x ( ) R y ( ) R y ( ) R x ( )
0
0
0
2
0
0
0
2
1
Rotacije
dakle:
R x ( ) R y ( ) R y ( ) R x ( ) R z ( ) 1
2
o
”1” se može zapisati kao rotacija oko bilo koje osi za 0 (takav
zapis će nam trebati kasnije za povlačenje analogije s algebrom
momenta impulsa):
R x ( ) R y ( ) R y ( ) R x ( ) R z ( ) R any ( 0 )
2
Rotacije u kvantnoj mehanici
rotaciji, opisanoj matricom
R, u kvantnoj mehanici se pridružuje
operator D(R), tako da vrijedi:
R
D (R)
... stanje prije rotacije
R
... stanje poslije rotacije
R – matrica, D(R) – operator koji se može reprezentirati matricom
dimenzija te matrice ovisi o dimenziji
N=2 (spin=1/2)
N=3 (spin=1)
...
N prostora stanja |>
D(R) se opisuje matricom 2x2
D(R) se opisuje matricom 3x3
Rotacije u kvantnoj mehanici
Određivanje matrice operatora D(R):
1) infinitezimalni operator može se u QM napisati kao:
U 1 iG e
gdje je G hermitski operator, a e infinitezimalni pomak
2) za translaciju: G px/ħ, e dx,
za pomak u vremenu: G H/ħ, e dt,
za rotaciju: G Jz/ħ, e d.
3) dakle:
Jz
D ( z, d ) 1 i
d
4) konačna rotacija:
(Jz-općenit operator
momenta impulsa)
Jz
D ( z , ) lim 1 i
N
N
N
e
iJ Z
Rotacije u kvantnoj mehanici
R) u kvantnoj mehanici se
pridružuje operator D(R) koji ima ista grupna svojstva kao R
dakle, svakoj rotaciji (opisanoj matricom
budući da vrijedi:
R x ( ) R y ( ) R y ( ) R x ( ) R z ( ) 1
2
za D(R) dobiva se (zanemarivanjem članova manjih od 2):
J x
J x2 2
1 i 2 2
J y
J y2 2
J y
J y2 2
1 i 2 2 1 i 2 2
J y
J y2 2
J x J y 2
J x
J x2 2
1 i
i
2 2
2 2
2
J x
J x2 2
J z 2
1 i
1
1 i
2
2
J y
J y2 2
J y J x 2
J x
J x2 2
1 i
i
2 2
2 2
2
J x J y J y J x iJ z
d
[ J x , J y ] iJ z
J z 2
i
Rotacije u kvantnoj mehanici
[ J i , J j ] ie ijk J k
e ijk
1 ... za parnu permutaciju i, j, k
1 ... za neparnu permutaciju i, j, k
0 ... za bilo koja 2 indeksa i, j, k jednaka
Jk-općenit operator momenta impulsa, generator rotacije oko
te osi
nije definiran kao
r×p!
k-
Algebra momenta impulsa
veza zakona sačuvanja i simetrije (Noetherin teorem, moment
impulsa generira rotacije) + infinitezimalna analiza
komutacijske relacije za operator momenta impulsa:
[ J i , J j ] ie ijk J k
2
J
J J J
2
x
2
y
J z j m m j m
nadalje definiramo:
J
J
J x iJ y
J x iJ y
2
z
Zadatak 1. Dokazati:
J , J 2 0
x
Rješenje 1.
J , J 2 J , J 2 J , J 2 J , J 2
x
x
x
y
x
z
x
A , BC A , B C B A , C
J , J 2 J , J J J J , J J , J J J J , J
x
y
y
y
x
y
x
z
z
z
x
z
x
J , J 2 i J J J (i J ) ( i J ) J J ( i J )
z y
y
z
y
z
z
y
x
J 2, J 0
x
Zadatak 2. Pokazati da je J- operator poništavanja!
Rješenje 2.
JzJ
JzJ
-
jm J z ( J x iJ y ) jm
-
jm ( J z J x iJ z J y ) jm
(koristimo : J z J y J y J z i J x )
JzJ
-
j m [( J x J z i J y ) i ( J y J z i J x )] j m
(koristimo : J z j m m j m )
JzJ
JzJ
JzJ
-
j m [( mJ
x
i J y ) ( i mJ
-
j m ( m 1)( J x iJ y ) j m
-
j m ( m 1) J
-
y
i J x )] j m
jm
(uspore dbo m s : J z j m 1 ( m 1) j m 1 )
J
-
j m c j m 1
c je ovdje neizračunata
konstanta
Zadatak za domaću zadaću
pokazati:
j' m' J j m
krenuti od:
J J
koristiti:
-
†
-
J
(J ) J
2
( j m )( j m 1)
2
Jz
j j ' m ' m 1
J z
i koristiti rezultat prošlog zadatka:
J
j m c j m 1
u slučaju problema, pogledati u skoro bilo koju knjigu iz
kvantne mehanike (Messiah, Sakurai, ...)
Eulerovi kutovi
u klasičnoj mehanici rotiranje
tijela se najopćenitije opisuje
Eulerovim kutovima , b, g:
1) rotacija oko z-osi za kut ,
2) rotacija oko nove, y’-osi, za
kut b,
3) rotacija oko nove, z’’–osi,
za kut g.
-sve rotacije vrše se u smjeru
obrnutom od kazaljke na satu
D-funkcija
u kvantnoj mehanici rotacija se opisuje s tri nezavisne konstante
gibanja – uvodi se tzv. D-funkcija (“D” dolazi od njemačkog izraza
za rotaciju: Drehung)
D-funkcija je rotacijska valna funkcija, tj. vlastita funkcija
operatora momenta impulsa
njima se također opisuju transformacije između različitih
koordinatnih sistema
ovisno o području fizike, koriste se razne konvencije što se tiče
faze i predzanka (na ovom kolegiju koristit će se standard uveden
od Bohra i Mottelsona)...
D-funkcija
za Eulerove kutove , b i g, D-funkcija se definira kao:
D( , b , g ) e
iJz '' / ibJy ' / igJz /
e
e
njen efekt na valnu funkciju s kvantnim brojevima
J i M dan je s:
J M ' D( , b , g ) J M DM 'M ( , b , g )
J
dakle:
D( , b , g ) J M DM 'M ( , b , g ) J M '
J
M'
reducirana matrica rotacije definira se ovom relacijom:
d
J
M 'M
(b ) J M ' e
i b Jy /
J M
veza je, dakle, dana s:
J
M 'M
D
( , b , g ) e
i ( M ' gM )
d
J
M 'M
(b )
D-funkcija
ako se neko stanje pri rotaciji transformira ovako:
J M D( R) J M
onda se očekivana vrijednost vektorskog operatora V
transformira ovako:
*
J M V i J M ' J M D ( R )V i D ( R ) J M '
R ij
i
transformacija tenzorskih operatora?
J M Vj J M'
Wignerove D-matrice
D-matrice su vlastite funkcije operatora momenta impulsa:
M'
MD M
M'
J ( J 1) D M
J
J z DM
2
J
J
J DM
M'
J
M'
drugim riječima, D-funkcija ne mijenja vrijednost
J D ( , b , g ) J M D ( , b , g ) J
2
2
J:
J M
J ( J 1) D ( , b , g ) J M
DMM’ su također koeficijenti reprezentacije grupe rotacija:
YJM ( ' , ' ) D
J
M 'M
M'
( , b , g )YJM ' ( , )
Svojstva Wignerovih D-matrica
reducirana matrica rotacije je posve realna i ima svojstva:
d MM ' ( b ) ( 1)
J
M M '
d M 'M ( b )
J
d M ' M ( b ) d M 'M ( b )
J
J
d M ' M ( b ) ( 1)
J
J M '
d M 'M ( b )
J
1
d
J
MM '
(b ) d
J'
MM '
( b ) d (cos b )
1
2
2J 1
JJ '
može se pokazati (ali nije trivijalno – vidi Sakurai pp.221-223):
( 1) (cos
k
d m m ( b )
j
( j m )! ( j m )! ( j m ' )! ( j m )' !
k
WIGNEROVA formula
b
)
2 j m m '2 k
(sin
b
)
m ' m 2 k
2
2
( j m ' k )! ( j m k )! ( k m ' m )! k !
Simetričan rotor
M – projekcija ukupnog impulsa vrtnje J u smjeru osi kvantizacije
z (dakle, u laboratorijskom sustavu)
K – projekcija ukupnog impulsa vrtnje J u intrinsičnom
koordinatnom sustavu (os x3)
(K u intrinsičnom sustavu ima istu ulogu kao M u laboratorijskom)
D-matrica je vlastita funkcija operatora
K
MD M
K
KD M
K
J ( J 1) D M
J
J z DM
J
J
J 3DM
2
K
J
J
J DM
Jz, J3 i J2:
K
J
K
D-funkcija
transformacija pariteta daje (shematski zapis):
J
PD M
K
( 1)
J K
J
DM
K
proizvoljna D-funkcija nema, dakle, dobro definiran paritet
konstrukcija valne funkcije dobrog pariteta:
J M K
rot
2J 1
16 (1 K 0 )
2
D
J
M K
( , b , g ) ( 1 )
J K
J
DM
K
( , b , g )
Primjer 1. Spin 1/2
produkt operatora rotacije
D( , b , g ) Dz ( ) Dy ( b ) Dz (g )
se u reprezentaciji matricama 2x2 svodi na:
e
i 3 / 2
e
i 2 b / 2
a to se može raspisati kao
e i / 2
0
e
i 3g / 2
0 cos( b / 2)
i / 2
e
sin( b / 2)
e i ( g ) / 2 cos( b / 2)
i ( g ) / 2
e
sin( b / 2)
sin( b / 2) e ig / 2
cos( b / 2) 0
i ( g ) / 2
sin( b / 2)
i ( g ) / 2
e
cos( b / 2)
e
0
ig / 2
e
Zadatak 3. Vlastita stanja momenta impulsa |j,m=mmax=j> zarotirana
su za infinitezimalni kut e oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza
za dMJ 'M , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u
originalnom stanju do na kvadratične članove u e.
Rješenje 3.
Zadatak 3. Vlastita stanja momenta impulsa |j,m=mmax=j> zarotirana
su za infinitezimalni kut e oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza
za dMJ 'M , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u
originalnom stanju do na kvadratične članove u e.
Rješenje 3.
Zarotirano stanje dano je s:
j, j
R ( e , yˆ ) j , j d ( e ) j , j exp
j
R
2
iJ y e
(i) e
1
2
2
2
J
2
y
j, j
iJ y e
j, j
Zadatak 3. Vlastita stanja momenta impulsa |j,m=mmax=j> zarotirana
su za infinitezimalni kut e oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza
za dMJ 'M , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u
originalnom stanju do na kvadratične članove u e.
Rješenje 3.
Zarotirano stanje dano je s:
j, j
R ( e , yˆ ) j , j d ( e ) j , j exp
j
R
2
iJ y e
(i) e
1
2
2
Uvodimo:
J J x iJ y
J J x iJ y
iJ y e
2
J
2
y
j, j
Jy
J J
2i
j, j
Rješenje 3.
Dobivamo:
j, j
R
2
ie
e
2
1
(J J )
( J J ) j, j
2
2
8
Koristimo poznate relacije:
J j , m ( j m )( j m 1) j , m 1
J j , m ( j m )( j m 1) j , m 1
odnosno:
J j, j 0
J j, j 2 j j, j 1
J
J j, j J j, j 2 j j, j 1
Rješenje 3.
J
J
2
j, j 2 j J J j, j 1
2 j J j , j 1 J j , j 1
2 j
2 j j, j
2 ( 2 j 1) j , j 2
Dobivamo:
j, j
R
j, j
e
2 j j, j 1
2
e
2
2 j j, j
8
2
e
e
1
j j, j
4
2
e
2
2
j ( 2 j 1) j , j 2
8
2 j j, j 1
e
2
j ( 2 j 1) j , j 2
4
Dakle, vjerojatnost da rotirano stanje nađemo u originalnom stanju
je:
2
2
j, j j, j
R
2
e
1
j
4
1
e
2
2
j ...
Zadatak 4. Izračunajte
j
j
d m 'm
2
(b ) m
m j
za svaku vrijednost j . Provjerite rezultat za j =1/2.
Rješenje 4.
j
j
d m 'm
j
2
(b ) m
m j
m
jm e
iJ y b /
2
jm '
jm '
jm e
jm '
jm ' e
m j
j
m jm e
iJ y b /
iJ y b /
jm '
*
m j
j
m jm e
iJ y b /
iJ y b /
jm
m j
j
m j
jm ' e
iJ y b /
m jm
jm e
iJ y b /
jm '
Rješenje 4.
j
j
d m 'm
2
(b ) m
jm ' e
iJ y b /
1
1
jm ' e
m
m
m j
iJ y b /
iJ y b
jm e
j
J ze
jm
j
iJ y b /
jm '
*
jm ' D ( b , yˆ ) J z D ( b , yˆ ) jm '
S druge strane vrijedi:
*
D ( b , yˆ ) J z D ( b , yˆ )
R zj ( b , yˆ ) J j
j
cos b
R ( b , yˆ )
0
sin b
0
1
0
sin b
0
cos b
/
jm '
Rješenje 4.
j
j
d m 'm
2
(b ) m
m j
1
sin b
jm ' J x jm ' cos b jm ' J z jm '
J J
1
sin b jm '
2
jm ' m ' cos b
m ' cos b
Za j =1/2 vrijedi:
1/ 2
d m 'm ( b )
cos(b / 2)
sin(b / 2)
sin(b / 2)
cos(b / 2)
a) za m’ =1/2
1/ 2
m 1 / 2
1/ 2
d1 / 2 m
2
(b ) m
1
2
sin
2
b
2
1
2
cos
2
b
2
1
2
cos b m ' cos b
Rješenje 4.
b) za m’ = -1/2
1/ 2
m 1 / 2
1/ 2
d 1 / 2 m
2
(b ) m
1
2
cos
2
b
2
1
2
sin
2
b
2
1
2
cos b m ' cos b
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
za
J=1 moramo korisiti matričnu reprezentaciju dimenzije 3x3
za reducirane Wignerove matrice trebamo samo
koristimo:
Jy
(J J )
koristimo:
2i
( j m )( j m 1)
j' m' J j m
da bi dobili:
( j 1)
Jy
Jy, zato
m=1
m=0
0
i 2
2
0
i 2
0
i 2
m=-1
m’=1
i 2 m’=0
0 m’=-1
0
j j ' m ' m 1
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
primjer: m=0 i m’=1
(1 0 )(1 0 1) 1 1 1 0 1
11 J 1 0
(1 0 )(1 0 1) 1 1 1 0 1
11 J 1 0
(1 0 )(1 0 1) 1 1 1 0 1 0
11 J 1 0
Jy
2
(J J )
2i
2 0
2i
i 2
2
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
sljedeći korak: razvoj u red
e
J
iJ y b /
( j 1)
y
2
1
iJ y b
0
2
i 2
2
0
2
2
0
2
2
e
1 iJ y b
2!
i 2
0
i 2
0
4
0
2
0
2
iJ y b /
2
1 iJ y b
3
!
0
i 2 i 2
0 0
0
i 2
0
i 2
3
...
i 2
0
0
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
( j 1)
Jy
3
2
2
0
2
2
3
0
i4 2
2
0
0
2
i 2
2
0
0
4
0
0
2
0 i 2
2
0
2
i4 2
0
i4 2
i 2
0
i 2
i 2
0
i 2
i4 2
0
0
2 ( j 1)
i 2 Jy
0
0
i 2
0
0
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
e
iJ y b /
1
1
iJ y b
iJ y b
1 iJ y b
2!
1 iJ y b
2!
2
1 iJ y b
3
!
2
1 iJ y b
4
!
3
1 J y (ib )
1 Jy
3!
4!
3
Jy
J y
(ib )
ib
1
...
3
!
Jy
1 i
3
2
2
Jy
sin b
cos b 1
4
...
2
4
(ib ) ...
(ib ) 2 (ib ) 4
...
2!
4
!
Zadatak 5. Izračunati:
1
dm
m'
(b )
Rješenje 5.
0
i
1
d (b ) 1 i 2
2
0
2
1
i 2 sin b 0
4
0
2
i 2
0
0
i 2
1
(1 cos b )
2
1
sin b
2
1
(1 cos b )
2
1
sin b
2
cos b
1
2
sin b
(1 cos b )
2
1
sin b
2
1
(1 cos b )
2
1
0
4
0
2
0 cos b 1
2
Zbrajanje dva momenta impulsa
zbrajamo dva operatora momenta impulsa ( ˆj1 , ˆj 2 ) koji
zadovoljavaju uobičajene komutacijske relacije (u različitim
potprostorima):
Jˆ ˆj1 ˆj 2
[ j1i , j1 j ] i e ijk j1 k
[ j 2 i , j 2 j ] i e ijk j 2 k
za bilo koji par operatora iz različitih potprostora vrijedi:
[ j1i , j 2 j ] 0
važno - sumirani moment impulsa zadovoljava iste komutacijske
relacije:
[ J i , J j ] ie ijk J k
Zbrajanje dva momenta impulsa
moguća su dva izbora baze čitavog sistema:
2
j1 ,
2
J ,
2
j2 ,
j1 z , j 2 z
2
j1 ,
2
j2 ,
Jz
unitarna transformacija koja povezuje dvije baze:
Clebsch-Gordanov problem
j1 m 1 j 2 m 2 j1 m 1
–
j2 m 2
J M
j1 j 2 J M
Zbrajanje dva momenta impulsa
j1
J M
j2
j1 m1 j 2 m 2 J M
j1 m1 j 2 m 2
m1 j1 m 2 j 2
Clebsch-Gordanovi koeficijenti
standardni izbor faze:
j1 j1 j 2 j 2 J J 0 (i realni)
obrat:
j1 m 1 j 2 m 2
j1 j 2
J j1 j 2
J
M J
j1 m 1 j 2 m 2 J M
J M
Clebsch-Gordanovi koeficijenti
svojstva:
1) za m 1 m 2 M
j1 m 1 j 2 m 2 J M
J j1 j 2
2) također za:
ili
J j1 j 2
3)
j m 0 0 j m 1
4)
j1 j1 j 2 j 2 j1 j 2 j1 j 2 1
5)
j1
j2
j1 m1 j 2 m 2 J M
0
j1 m1 j 2 m 2 J ' M ' JJ ' MM
'
m1 j1 m 2 j 2
6)
j1 j 2
j1 j 2
j1 m 1 j 2 m 2 J M
J j1 j 2 M j1 j 2
j1 m 1 ' j 2 m 2 ' J M
m m ' m
1
1
2m2
'
3j-simboli
definicija:
j1
m1
j j M
J (1) 1 2
M
2J 1
j2
m2
j1 m1 j2 m2 J M
svojstva:
1)
2)
3)
j1
m1
j2
m2
j1
m1
j1
m1
j3 j3
m3 m3
j2
m2
j2
m2
j1
m1
j 2 j2
m2 m2
j3
j1 j2 j3 j2
(1)
m3
m2
j3
m3
j1
m1
j3
j1 j2 j3 j1
(1)
m3
m1
j1
m1
j3
m3
j2
m2
j3
m3
Zadatak 6. Krećući od definicije 3j-simbola “prevedite”
svojstva 1)-3) na Clebsch-Gordanove koeficijente
Rješenje 6.
1)
(1)
(uzimamo j3=J, m3=-M)
j1 j2 M
2J 1
j1 m1 j2 m2 J M
j1 m1 j2 m2 J M (1)
(1)
J j1 m2
2 j2 1
2J 1
J j2 m1
2 j2 1
J M j1 m1 j2 m2
J M j1 m1 j2 m2
2)
(1)
j1 j2 M
2J 1
j1 m1 j2 m2 J M (1)
j1 m1 j2 m2 J M (1)
j1 j2 J
j1 j2 J
(1)
j2 j1 M
2J 1
j2 m2 j1 m1 J M
j2 m2 j1 m1 J M
Zadatak 6. Krećući od definicije 3j-simbola “prevedite”
svojstva 1)-3) na Clebsch-Gordanove koeficijente
Rješenje 6.
(uzimamo j3=J, m3=-M)
3)
(1)
j1 j2 M
2J 1
j1 m1 j2 m2 J M (1)
j1 m1 j2 m2 J M (1)
j1 j2 J
j1 j2 J
(1)
j1 j2 M
2J 1
j1 m1 j2 m2 J M
j1 m1 j2 m2 J M
Zadatak 7. Pokažite:
j1 m1 j2 m2 J M (1)
J j2 m1
2 J 1
2 j2 1
j1 m1 J M j2 m2
Rješenje 7.
3)
2)
j1
m1
j2
m2
j1
m1
j1
m1
J
j1 j2 J j1
(1)
M
m1
j2
m2
j2
m2
j2
m2
J
j1 j2 J j1
(1)
M
m1
J j1
M m1
J
M
J
M
J
M
j2
m2
j2
m2
def
(1)
j1 j2 M
2J 1
j1 m1 j2 m2 J M
(1)
j1 J m2
2 j2 1
j1 m1 J M j2 m2
Zadatak 7. Pokažite:
j1 m1 j2 m2 J M (1)
J j2 m1
2 J 1
2 j2 1
j1 m1 J M j2 m2
Rješenje 7.
j1 m1 j2 m2 J M (1)
j1 J m2 ( j1 j2 M )
2J 1
2 j2 1
j1 m1 J M j2 m2
uz m1 m2 M
j1 m1 j2 m2 J M (1)
J j2 m1
2J 1
2 j2 1
j1 m1 J M j2 m2
3j-simboli
daljnja svojstva (relacije ortogonalnosti):
4)
j1
m1 j1
5)
j1
m
m2 j2 1
j2
j1 j2
j3
j2
m2
j3 j1
m3 m1
j1
(2 j3 1)
m1
j3 j1 j2 m3 j3
j2
m2
j2
m2
,
j3
,
m3
j3 j1
,
m3 m1
j2
,
m2
1
2 j3 1
j j m m
,
3 3
3
,
3
j3
, m m, m m,
1 1
2 2
m3
3j-simboli
specijalni slučajevi:
1) m 1 j1
j1
j1
i
m 2 j2
i
J j1 j2
j j j j
j1 j2
( 1) 1 2 1 2
j1 j1 j2 j2 j1 j2 j1 j2
( j1 j2 )
2( j1 j2 ) 1
j2
j2
2)
M j1 j2
j1 j
i
m1 m
i
j
m
}
0
j2 0
m2
0
0
1
2( j1 j2 ) 1
M m
i
Jj
j 0 m
j (1)
m
2 j 1
j m00 j m
(1)
j m
2 j 1
Racahova formula za 3j-simbole
općenita formula za bilo koji 3j-koeficijent:
a
d
b
e
c
a b f
(1)
f
t
( a, b, c) ( a d )!( a d )!(b e)!(b e)!(c f )!(c f )!
( 1)
t
t!(c b t d )! (c a t e)! (a b c t )!( a t d )!(b t e)!
(a, b, c)
( a b c )! ( b c a )! ( c a b )!
( a b c 1)!
Zadatak 8. Izračunati:
j
m
j
m '
1
0
Rješenje 8.
mora biti:
m m'
a j , b 1, c j , d m, e 0, f m
j
m
1
0
j
j 1 m
( 1)
m '
t
( 1)
( j ,1, j )
j
m
1
0
t
t ! ( j 1 t m )! (1 t )! ( j t m )! (1 t )!
mogući t-ovi: t 0
( j ,1, j ) ( j m )! ( j m )! ( j m )! ( j m )!
i
1 t 0 t 0, 1
1!1! ( 2 j 1)!
( 2 j 2 )!
j
j 1 m
( 1)
m '
1
1
( j m )! ( j m )!
( 2 j 2 )!
( j m 1)! ( j m )! ( j m )! ( j m 1)!
( 2 j 1)!
j
m
Zadatak 8. Izračunati:
1
0
j
m '
Rješenje 8.
j
m
1
0
j
j 1 m
( 1)
m '
( 1)
( 1)
j
m
1
0
j 1 m
j m ( j m)
( j m )! ( j m )!
( 2 j 1)! 2 j ( 2 j 1)( 2 j 2 )
(
j
m
)!
(
j
m
)!
( 2 j 1)!
1
1
2
j ( 2 j 1)( j 1)
jm
j
j m
(1)
m'
(2m )
m
j ( 2 j 1)( j 1)
m
j (2 j 1)( j 1)
m m'
Zbrajanje tri momenta impulsa
Jˆ ˆj1 ˆj 2 ˆj 3
j1 m 1 j 2 m 2 j 3 m 3
moguća su tri izbora baze čitavog sistema, ovisno o redoslijedu
zbrajanja:
Jˆ ( ˆj1 ˆj 2 ) ˆj 3 ˆj12 ˆj 3
Jˆ ˆj1 ( ˆj 2 ˆj 3 ) ˆj1 ˆj 23
Jˆ ( ˆj1 ˆj 3 ) ˆj 2 ˆj13 ˆj 2
Zbrajanje tri momenta impulsa
tri baze su međusobno povezane, npr.:
j1 j 23 J ' M '
j12 j3 J M j1 j 23 J ' M ' j12 j 3 J M
j12
j12 j 3 J M
j1 j 23 J ' M '
( 2 j12 1)( 2 j 23 1) W ( j1 j 2 J j 3 ; j12 j 23 ) JJ ' MM '
( 1)
j1 j 2 j 3 J
( 2 j12 1)( 2 j 23
j1
1)
j3
j2
J
j12
JJ ' MM
j 23
W je “Racahov W-koeficijent”, a vitičasta zagrada označava
“Wignerov 6j-simbol” (ili koeficijent)
6j-koeficijent se mogu raspisati preko 3j-koeficijenata
(netrivijalno, po potrebi pogledati Supek II, str. 629)
'
Sferični tenzorski operatori
sferičnim tenzorskim operatorom T q ranga
k
k zovemo skup 2k+1
veličina koje se pri rotaciji koordinatnog sustava transformiraju
ovako:
T
k
'q
D ( , b , g
k
)T q
†
D ( , b , g )
k
k k
T q ' D q 'q
( , b , g )
q ' k
osnovna razlika u odnosu na npr. Kartezijeve tenzore je u njihovoj
ireducibilnosti
raspisujući gornji izraz za infinitezimalne rotacije, može se
pokazati (vidi npr. Sakurai, str. 236):
1)
2)
k
[ J z , Tq
k
[ J , Tq
]
k
qT q
] ( k q )( k q
k
1)T q 1
ova dva izraza ponekad se koriste i kao definicija sferičnih
tenzorskih operatora (vidi Greiner, str. 162)
Wigner-Eckartov teorem
matrični elementi sferičnog tenzorskog operatora u bazi
momenta impulsa mogu se uvijek napisati kao:
k
' , j ' m' Tq , j m j m k q j ' m'
', j ' T k , j
2 j 1
gdje je s dvostrukom crtom označen “reducirani” matrični
element koji je neovisan o “magnetskim” kvantnim brojevima
m, m’ i q
prvi član – orijentacija sistema s obzirom na z-os (geometrija +
simetrija!)
smisao teorema: za neku vrijednost
m, m’ i q izračunati
reducirani matrični element i zatim ga koristiti za računanje
matričnih elemenata za svaki m, m’ i q
Wigner-Eckartov teorem
primjer:
T J
' , j ' m'
biramo:
znajući:
k
q
1
Jm
1
i
m
j'' j'
' ' , j ' m' ' j ' m' ' 1 m j ' m'
Jz ,
1
J 1
2 j '1
1
' , j ' m' J 0 ' ' , j ' m' ' m' ' '' m'm''
j ' m' ' 1 0 j ' m' (1)
1
0
j'
2 j '1
m' '
j ' 1 m '
j'
j ' m '
( 1)
m '
m'
j ' ( 2 j ' 1)( j ' 1)
j ' m ' ' 1 0 j ' m ' m ' m ''
m'
j ' ( j ' 1)
1
2
' , j' J 1 ' ' , j'
m0
i:
j'
m''
1
J0
1
0
j'
m'
m '' m '
J
Wigner-Eckartov teorem
primjer:
Tq J m
k
1
i
j'' j'
' , j ' J ' ' , j ' m ' ' '' m 'm ''
1
' '' m 'm ''
' , j ' m'
1
Jm
' ' , j ' m' ' j ' m' ' 1 m j ' m'
j ' ( j ' 1)
2 j ' 1
m'
j ' ( j ' 1)( 2 j ' 1)
' , j' J1 ' ' , j'
2 j '1
j ' m' ' 1 m j ' m' ' '' m 'm ''
' '' m 'm '' j ' m' ' 1 m j ' m'
j ' ( j '1)( 2 j '1)
2 j '1
j ' ( j '1)
Projekcijski teorem
specijalan slučaj Wigner-Eckartovog teorema za vektorske
operatore (za slučaj j’=j):
' , j m' Vq , j m
ˆ , j m
', j m ˆj V
2
j ( j 1)
primjer: magnetski dipolni moment
j m' J q j m
m neparne jezgre
Vˆ mˆ mˆ l mˆ s gl m N lˆ g s m N lsˆ
j m' m z j m
j m ˆj mˆ j m
j ( j 1)
j m' j z j m
m j m' ˆj mˆ j m
j ( j 1)
... Schmidtove granice