SVEUČILIŠTE U SPLITU, FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE UNIVERSITY OF SPLIT, FACULTY OF CIVIL ENGINEERING, ARCHITECTURE AND GEODESY Nastavnici: Prof.
Download
Report
Transcript SVEUČILIŠTE U SPLITU, FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE UNIVERSITY OF SPLIT, FACULTY OF CIVIL ENGINEERING, ARCHITECTURE AND GEODESY Nastavnici: Prof.
SVEUČILIŠTE U SPLITU, FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE
UNIVERSITY OF SPLIT, FACULTY OF CIVIL ENGINEERING, ARCHITECTURE AND GEODESY
Nastavnici:
Prof. dr. sc. Blaž Gotovac
Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić
Nives Brajčić Kurbaša
Marko Abram
Akad. god. 2013/14
Promatra se čvrsto tijelo koje se nalazi u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih sila
𝒚
𝑭𝒊
𝑭𝒏
𝑭𝟐
𝑭𝟏
𝒙
𝒛
Tijelo ravninom 𝑹𝒏 ( određenom normalom 𝒏 ) prerežemo na dva dijela
𝒚
𝑭𝒊
𝑹𝒏
𝑭𝟐
𝑭𝒏
II
𝑻
I
𝑨
.
𝒏
𝑭𝟏
𝒙
𝒛
Oko
Odbacimo
Njegovo
točke
djelovanje
𝑻
drugi
izdvojimo
diona
tijela
prvi
elementarnu
dio I moramo
površinu
nadomjestiti
𝚫𝑨 na koju
silama
djeluju
na ravnini
unutarnje
presjeka
sile:
𝒚
GLAVNI VEKTOR UNUTARNJIH SILA
∆𝑷
𝑹𝒏
𝑭𝟐
I
𝑻
𝑨
∆𝑨
.
𝒏
GLAVNI MOMENT
∆𝑴
𝑭𝟏
𝒙
𝒛
Naprezanje možemo shvatiti kao srednju vrijednost sile na nekoj površini
𝒚
𝑹𝒏
𝑭𝟐
𝝆𝒏
𝚫𝑴
𝒍𝒊𝒎
=𝟎
𝚫
𝚫𝑨
𝚫𝑷
𝑨→𝟎
𝒏
I
𝑻
𝚫𝑨
𝚫𝑴
𝑭𝟏
𝒙
𝒛
SREDNJE NAPREZANJE NA ELEMENTU POVRŠINE 𝚫𝑨
𝝆𝒏 𝑺𝑹
𝚫𝑷
=
𝚫𝑨
PUNO ILI TOTALNO NAPREZANJE U TOČKI 𝑻(X, Y, Z)
𝝆𝒏 = 𝒍𝒊𝒎
𝚫𝑨 → 𝟎
𝚫P
𝚫𝑨
=
𝒅P
𝒅𝑨
𝝆𝒏 = 𝝈𝒏
𝟎
Naprezanje možemo shvatiti kao srednju vrijednost sile na nekoj površini
𝒚
𝑹𝒏
𝑭𝟐
𝒕
𝝆𝒏
𝒏
𝝉𝒏𝒕
I
𝚫𝑷
𝝈𝒏𝒏
𝑻
𝝈𝒏𝒏
NORMALNO NAPREZANJE
𝝉𝒏𝒕
POSMIČNO NAPREZANJE
𝚫𝑨
Smjer
komponente
Vanjska
normalanaprezanja
ravnine
𝑭𝟏
𝒙
𝒛
1 Pa = 1N/m2
1 MPa = 106 Pa = 106N/m2 = 1 N/mm2
𝒚
𝑹𝒏
𝑷 = 𝝆𝒏 𝑨
𝑭𝒊
𝑭𝒏
𝑭𝟐
𝑨𝑻
.
𝒏
𝑴
𝑭𝟏
𝒙
𝒛
Smjer i veličina sile 𝑷 ovisi o koordinati točke 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛 i presječnoj ravnini 𝑹𝒏
𝒚
𝑭𝒊
𝑷 = 𝝆𝒏 𝑨
𝑹𝒏
𝑭𝟐
𝑭𝒏
𝑻
I
𝑨
.
𝒏
𝑴
𝑭𝟏
𝒙
𝒛
Smjer i veličina sile 𝑷 ovisi o koordinati točke 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛 i presječnoj ravnini 𝑹𝒏
𝒚
𝑷 = 𝝆𝒏 𝑨
𝑭𝒊
𝑭𝒏
𝑭𝟐
𝑨𝑻
.
𝒏
𝑴
𝑭𝟏
𝑹𝒏
𝒙
𝒛
𝒚
𝝉𝒙𝒚
𝝉𝒙𝒛
𝒚
𝝆𝒙 = 𝝈𝒙𝒙 𝒊 + 𝝉𝒙𝒚 𝒋 + 𝝉𝒙𝒛 𝒌
𝝉𝒛𝒚
𝝆𝒙
𝝆𝒛
𝝉𝒛𝒙
𝒙
𝝈𝒙𝒙
𝝈𝒛𝒛
𝒙
𝒛
𝒛
𝝆𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 𝒊 + 𝝉𝒛𝒚 𝒋 + 𝝈𝒛𝒛 𝒌
𝒚
𝝈𝒚𝒚
𝝉𝒚𝒛
𝒛
𝝆𝒛
𝝉𝒚𝒙
𝒙
𝝆𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 𝒊 + 𝝈𝒚𝒚 𝒋 + 𝝉𝒚𝒛 𝒌
Stanje naprezanja u točki napregnutog tijela potpuno je određeno s DEVET
komponenata naprezanja koje djeluju na tri uzajamno okomite ravnine
TENZOR NAPREZANJA NAPISAN U MATRIČNOJ SHEMI
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑖𝑗 = 𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧
𝜎𝑧𝑧
Elementi jednog retka predstavljaju komponente naprezanja u
jednoj ravnini
Komponente naprezanja su pozitivne ako djeluju u pozitivnim smjerovima
koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom orijentiranom u smjeru
koordinatne osi, odnosno ako djeluju u negativnim smjerovima koordinatnih
osi na površini s vanjskom normalom orijentiranom suprotno od koordinatne
osi.
Vektor punog vanjskog naprezanja
𝒚
𝒅𝑷 = 𝝆𝒏 𝒅𝑨
𝒏
𝒅𝑷𝒙 = 𝝆𝒙 𝒅𝑨𝒙
𝒏𝒙
𝒅𝑨
𝒅𝑷𝒛 = 𝝆𝒛 𝒅𝑨𝒛
𝒅𝑨𝒛
𝒅𝑨𝒚
𝒙
𝒅𝑨𝒚
𝒏𝒚
𝒛
𝒏𝒛
𝒅𝑷𝒚 = 𝝆𝒚 𝒅𝑨𝒚
Ravnoteža površinskih sila u točki T:
𝒚
𝑑𝑃 = 𝑑𝑃𝑥 + 𝑑𝑃𝑦 + 𝑑𝑃𝑧
𝒅𝑷
𝒏
𝒅𝑷𝒙
𝒅𝑨𝒚
𝒏𝒚
𝒛
𝒏𝒛
𝒅𝑨
𝒏𝒙
𝜌𝑛 𝑑𝐴 = 𝜌𝑥 𝑑𝐴𝑥 + 𝜌𝑦 𝑑𝐴𝑦 + 𝜌𝑧 𝑑𝐴𝑧
𝒅𝑨𝒛
𝒅𝑨𝒚
𝒅𝑷𝒛
𝒙
𝒅𝑷𝒚
𝑑𝐴𝑥 = 𝑑𝐴 ∙ cos 𝑥, 𝑛 = 𝑑𝐴 ∙ 𝑛1
𝑑𝐴𝑦 = 𝑑𝐴 ∙ cos(𝑦, 𝑛) = 𝑑𝐴 ∙ 𝑛2
𝑑𝐴𝑧 = 𝑑𝐴 ∙ cos(𝑧, 𝑛) = 𝑑𝐴 ∙ 𝑛3
𝜌𝑛 ∙ 𝑑𝐴 = 𝜌𝑥 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝑛1 + 𝜌𝑦 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝑛2 + 𝜌𝑧 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝑛3 /𝑑𝐴
𝜌𝑛 = 𝜌𝑥 ∙ 𝑛1 + 𝜌𝑦 ∙ 𝑛2 + 𝜌𝑧 ∙ 𝑛3
𝝆𝒙 = 𝝈𝒙𝒙 𝒊 + 𝝉𝒙𝒚 𝒋 + 𝝉𝒙𝒛 𝒌
𝝆𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 𝒊 + 𝝈𝒚𝒚 𝒋 + 𝝉𝒚𝒛 𝒌
𝝆𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 𝒊 + 𝝉𝒛𝒚 𝒋 + 𝝈𝒛𝒛 𝒌
𝜌𝑛 = (𝜎𝑥𝑥 𝑖 + 𝜏𝑥𝑦 𝑗 + 𝜏𝑥𝑧 𝑘) ∙ 𝑛1 + (𝜏𝑦𝑥 𝑖 + 𝜎𝑦𝑦 𝑗 + 𝜏𝑦𝑧 𝑘) ∙ 𝑛2 + (𝜏𝑧𝑥 𝑖 + 𝜏𝑧𝑦 𝑗 + 𝜎𝑧𝑧 𝑘) ∙ 𝑛3
𝒚
𝝆𝒏 = 𝝆𝒏𝒙 𝑖 + 𝝆𝒏𝒚 𝑗 + 𝝆𝒏𝒛 𝑘
𝒏
𝝆𝒏𝒚
𝝆𝒏𝒛
𝒅𝑨
𝒛
𝝆𝒏
𝝆𝒏 = 𝝆𝒏𝒙
𝝆𝒏𝒚
𝝆𝒏𝒛
𝑖
𝑗
𝑘
𝝆𝒏𝒙
𝒙
𝜎𝑥𝑥 𝑛1 + 𝜏𝑦𝑥 𝑛2 + 𝜏𝑧𝑥 𝑛3
𝝆𝒏𝒙
𝝆𝒏𝒚 = 𝜏𝑥𝑦 𝑛1 + 𝜎𝑦𝑦 𝑛2 + 𝜏𝑧𝑦 𝑛3
𝝆𝒏𝒛
𝜏𝑥𝑧 𝑛1 + 𝜏𝑦𝑧 𝑛2 + 𝜎𝑧𝑧 𝑛3
𝜎𝑥𝑥
𝝆𝒏𝒙
𝝆𝒏𝒚 = 𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝝆𝒏𝒛
𝝆𝒊 = 𝝈𝒊𝒋 𝒏𝒋
𝜏𝑦𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝑛1
𝜏𝑧𝑦 ∙ 𝑛2
𝜎𝑧𝑧
𝑛3
i = 1,2,3
(x,y,z)
𝜌𝑛 = (𝜎𝑥𝑥 𝑖 + 𝜏𝑥𝑦 𝑗 + 𝜏𝑥𝑧 𝑘) ∙ 𝑛1 + (𝜏𝑦𝑥 𝑖 + 𝜎𝑦𝑦 𝑗 + 𝜏𝑦𝑧 𝑘) ∙ 𝑛2 + (𝜏𝑧𝑥 𝑖 + 𝜏𝑧𝑦 𝑗 + 𝜎𝑧𝑧 𝑘) ∙ 𝑛3
(tenzor naprezanja) u tri ortogonalne ravnine može
𝝆𝒏𝒙Uz
𝑖 + poznatih
𝝆𝒏𝒚 𝑗 + 𝝆𝒏𝒛6𝑘 komponenti
= 𝜎𝑥𝑥 𝑛1 + 𝜏naprezanja
𝑦𝑥 𝑛2 + 𝜏𝑧𝑥 𝑛3 𝑖 + 𝜏𝑥𝑦 𝑛1 + 𝜎𝑦𝑦 𝑛2 + 𝜏𝑧𝑦 𝑛3 𝑗 + 𝜏𝑥𝑧 𝑛1 + 𝜏𝑦𝑧 𝑛2 + 𝜎𝑧𝑧 𝑛3 𝑘
se izračunati naprezanje za presjek – ravninu pod bilo kojim kutem.
𝜌𝑛𝑦
𝜌𝑛𝑥
𝜌𝑛𝑧
Određivanje kosinusa smjera vektora punog vanjskog naprezanja
u odnosu na koordinatni sustav xi (x, y, z)
𝒚
𝒏
𝝆𝒏𝒚
𝝆𝒏𝒛
𝒅𝑨
𝒛
𝝆𝒏
𝝆𝒏𝒙
cos 𝑥, 𝜌𝑛
𝜌𝑛𝑥
=
𝜌𝑛
cos 𝑦, 𝜌𝑛
𝜌𝑛𝑦
=
𝜌𝑛
cos 𝑧, 𝜌𝑛 =
𝒙
𝜌𝑛𝑧
𝜌𝑛
Diferencijalne jednadžbe naprezanja
𝒚
Šest jednadžbi ravnoteže
𝝈𝒚𝒚 +
𝝉𝒚𝒛 +
𝝈𝒙𝒙
𝝏𝝉𝒚𝒛
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝉𝒚𝒙 +
𝝏𝝉𝒚𝒙
𝝏𝒚
𝝈𝒛𝒛
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒛𝒚 +
𝝏𝝈𝒛𝒛
dz
𝝏𝒛
𝝏𝝉𝒛𝒚
𝝏𝒛
𝝉𝒛𝒚
𝝉𝒙𝒚 +
𝝏𝝉𝒙𝒚
𝝏𝒙
dx
𝝈𝒙𝒙 +
dz
𝝏𝝉𝒛𝒙
dz
𝝏𝒛
𝝉𝒙𝒛 +
𝝏𝝈𝒙𝒙
dx
𝝏𝒙
𝝏𝝉𝒙𝒛
dx
𝝏𝒙
𝒙
𝑭𝑽
𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒚𝒙
𝒅𝒙
𝒛
dy
dz
𝝉𝒛𝒙 +
𝝈𝒛𝒛 +
dy
𝝉𝒛𝒙
𝝉𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝝏𝝈𝒚𝒚
𝝈𝒚𝒚
𝒅𝒛
𝐹𝑥 = 0,
𝑀𝑥 = 0
𝐹𝑦 = 0,
𝑀𝑦 = 0
𝐹𝑧 = 0,
𝑀𝑧 = 0
Diferencijalne jednadžbe naprezanja
𝒚
𝝈𝒚𝒚 +
𝝉𝒚𝒛 +
𝝈𝒙𝒙
𝝏𝝉𝒚𝒛
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝉𝒚𝒙 +
𝝏𝝉𝒚𝒙
𝝏𝒚
𝝈𝒛𝒛
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒛𝒚 +
𝝏𝝈𝒛𝒛
dz
𝝏𝒛
𝝏𝝉𝒛𝒚
𝝏𝒛
𝝉𝒛𝒚
𝝉𝒙𝒚 +
𝝏𝝉𝒙𝒚
𝝏𝒙
𝐹𝑧 = 0
dx
𝝈𝒙𝒙 +
dz
𝝏𝝉𝒛𝒙
dz
𝝏𝒛
𝝉𝒙𝒛 +
𝝏𝝈𝒙𝒙
dx
𝝏𝒙
𝝏𝝉𝒙𝒛
dx
𝝏𝒙
𝒙
𝑭𝑽
𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒚𝒙
𝒅𝒙
𝒛
𝐹𝑦 = 0
dy
dz
𝝉𝒛𝒙 +
𝝈𝒛𝒛 +
𝐹𝑥 = 0
dy
𝝉𝒛𝒙
𝝉𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝝏𝝈𝒚𝒚
𝝈𝒚𝒚
𝒅𝒛
Diferencijalne jednadžbe naprezanja
𝒚
𝝈𝒚𝒚 +
𝝉𝒚𝒛 +
𝝏𝝉𝒚𝒛
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝉𝒚𝒙 +
𝝏𝝉𝒚𝒙
𝝏𝒚
𝝈𝒛𝒛
𝝉𝒛𝒚 +
𝝏𝝉𝒛𝒚
𝝏𝒛
𝝉𝒛𝒙 +
𝝈𝒛𝒛 +
𝐹𝑦 = 0
dy
dz
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚
𝑭𝒙 = 𝟎
dy
𝝉𝒛𝒙
𝝈𝒙𝒙
𝒅𝒚
𝝏𝝈𝒚𝒚
𝝏𝝈𝒛𝒛
dz
𝝏𝒛
𝝉𝒛𝒚
𝝉𝒙𝒚 +
𝝏𝝉𝒙𝒚
𝝏𝒙
𝐹𝑧 = 0
dx
𝝈𝒙𝒙 +
dz
𝝏𝝉𝒛𝒙
dz
𝝏𝒛
𝝉𝒙𝒛 +
𝝏𝝈𝒙𝒙
dx
𝝏𝒙
𝜕𝜎𝑥𝑦 𝜕𝜏𝑦𝑦 𝜕𝜏𝑧𝑦
+
+
+ 𝐹𝑦 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝜎𝑥𝑧 𝜕𝜏𝑦𝑧 𝜕𝜏𝑧𝑧
+
+
+ 𝐹𝑧 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝝏𝝉𝒙𝒛
dx
𝝏𝒙
𝒙
𝑭𝑽
𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒚𝒙
𝝏𝝈𝒙𝒙 𝝏𝝉𝒚𝒙 𝝏𝝉𝒛𝒙
+
+
+ 𝑭𝒙 = 𝟎
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
𝝈𝒚𝒚
𝒅𝒛
𝒅𝒙
𝒛
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 − 𝜎𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 𝜏𝑦𝑥 +
𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 − 𝜏𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝜏𝑧𝑥
/𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
+ 𝜏𝑧𝑥 +
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − 𝜏𝑧𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝐹𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0
𝜕𝑧
𝜎𝑥𝑥 +
𝒚
𝝈𝒚𝒚 +
𝝉𝒚𝒛 +
𝝈𝒙𝒙
𝝏𝝉𝒚𝒛
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝉𝒚𝒙 +
𝝏𝝉𝒚𝒙
𝝏𝒚
𝝈𝒛𝒛
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒛𝒚 +
𝝏𝝈𝒛𝒛
dz
𝝏𝒛
𝝏𝝉𝒛𝒚
𝝏𝒛
𝝉𝒛𝒚
𝝉𝒙𝒚 +
𝝏𝝉𝒙𝒚
𝝏𝒙
𝑀𝑧 = 0
dx
𝝈𝒙𝒙 +
dz
𝝏𝝉𝒛𝒙
dz
𝝏𝒛
𝝉𝒙𝒛 +
𝝏𝝈𝒙𝒙
dx
𝝏𝒙
𝝏𝝉𝒙𝒛
dx
𝝏𝒙
𝒙
𝑭𝑽
𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒚𝒙
𝒅𝒙
𝒛
𝑀𝑦 = 0
dy
dz
𝝉𝒛𝒙 +
𝝈𝒛𝒛 +
𝑀𝑥 = 0
dy
𝝉𝒛𝒙
𝝉𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝝏𝝈𝒚𝒚
𝝈𝒚𝒚
𝒅𝒛
𝒚
𝑀𝑥 = 0
𝝉𝒚𝒙 +
𝝏𝝉𝒚𝒙
𝝏𝒚
𝑀𝑦 = 0
dy
𝝉𝒙𝒚 +
𝝏𝝉𝒙𝒚
𝝏𝒙
𝑴𝒛 = 𝟎
dx
𝝉𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛
𝒅𝒚
𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙
𝒙
𝑭𝑽
𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙
𝒅𝒛
𝒅𝒙
𝑭𝑽
𝒛
𝜏𝑥𝑦 +
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝜕𝑥
𝜏𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 +
𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝜏𝑦𝑥 +
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 − 𝝆𝒈(𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧)
𝑑𝑥
=0
2
𝜕𝜏𝑥𝑦 2
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 − 𝜏𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 +
𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 − 𝝆𝒈(𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧)
= 0 /𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
2
Šest statičkih jednadžbi ravnoteže
Navierove jednadžbe
ravnoteže napregnutog tijela
𝝏𝝈𝒙𝒙 𝝏𝝉𝒚𝒙 𝝏𝝉𝒛𝒙
+
+
+ 𝑭𝒙 = 𝟎
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
𝐹𝑥 = 0,
𝑀𝑥 = 0
𝐹𝑦 = 0,
𝑀𝑦 = 0
𝐹𝑧 = 0,
𝑀𝑧 = 0
Zakon o uzajamnosti posmičnih
naprezanja
𝝉𝒊𝒋 = 𝝉𝒋𝒊 ,
𝒊≠𝒋
𝝏𝝈𝒙𝒚 𝝏𝝉𝒚𝒚 𝝏𝝉𝒛𝒚
+
+
+ 𝑭𝒚 = 𝟎
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
𝝏𝝈𝒙𝒛 𝝏𝝉𝒚𝒛 𝝏𝝉𝒛𝒛
+
+
+ 𝑭𝒛 = 𝟎
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
Homogeno stanje naprezanja moguće je samo u slučaju kad nema volumenskih sila
svaki je problem teorije elastičnosti statički neodređen (šest međusobno različitih
komponenata naprezanja).
za određivanje stanja naprezanja nisu dovoljne tri diferencijalne jednadžbe ravnoteže
već je potrebno uvesti dopunske jednadžbe koje sadrže svojstva materijala
promatranog tijela.
Jednadžbe transformacija
𝒚
𝒗
𝒏
𝝈𝒗
𝒖
𝟐
𝝈𝒗 =? ;
𝝆𝒏
𝒅𝑨
𝝉𝒗𝒘
𝟐
𝝆𝒏 = 𝝈𝒗 +𝝉𝒗𝒖 +𝝉𝒗𝒘
𝜶 =?
𝝉𝒗𝒖
𝟐
𝝉𝒗𝒖 =? ;
𝟐
𝝉𝒗𝒘 =?
𝒙
𝒘
𝒛
𝝈𝒗 =?
Odrediti normalnu komponentu 𝝈𝒗 znači projicirati
vektor punog vanjskog naprezanja 𝝈𝒏 na pravac
određen jediničnom normalom 𝒏.
𝒚
𝟐
𝒏
𝟐
𝝆𝒏𝒛
𝒅𝑨
𝝆𝒏𝒚
𝝆𝒏
𝟐
𝟐
𝟐
𝝆𝒏 = 𝝆𝒏𝒙 +𝝆𝒏𝒚 +𝝆𝒏𝒛
𝝈𝒗
𝝉𝒗𝒖
𝟐
𝝆𝒏 = 𝝈𝒗 +𝝉𝒗𝒖 +𝝉𝒗𝒘
𝒗
𝒖
𝟐
𝟐
𝝆𝒏𝒙
𝝉𝒗𝒘
𝒙
𝒘
𝒛
Komponente naprezanja 𝝈𝒗 , 𝝉𝒗𝒖 , 𝝉𝒗𝒘 dobiju se
projiciranjem komponenata punog naprezanja 𝝆𝒏𝒙 ,
𝝆𝒏𝒚 , 𝝆𝒏𝒛 u smjeru koordinatnih osi u, v, w.
𝝈𝒗 = 𝝆𝒏𝒙 cos 𝑥, 𝑣 + 𝝆𝒏𝒚 cos 𝑦, 𝑣 + 𝝆𝒏𝒛 cos 𝑧, 𝑣
𝝆𝒏𝒙 = 𝜎𝑥𝑥 𝑛1 + 𝜏𝑦𝑥 𝑛2 + 𝜏𝑧𝑥 𝑛3
𝝆𝒏𝒚 = 𝜏𝑥𝑦 𝑛1 + 𝜎𝑦𝑦 𝑛2 + 𝜏𝑧𝑦 𝑛3
𝝆𝒏𝒛 = 𝜏𝑧𝑥 𝑛1 + 𝜏𝑧𝑦 𝑛2 + 𝜎𝑧𝑧 𝑛3
𝝈𝒗 = 𝝈𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙, 𝒗 + 𝝈𝒚𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚, 𝒗 + 𝝈𝒛𝒛 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒛, 𝒗 +
+ 𝟐 ∙ 𝝉𝒙𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒗 + 𝝉𝒚𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒗 + 𝝉𝒛𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒗
𝝉𝒗𝒖 = 𝝆𝒏𝒙 cos 𝑥, 𝑢 + 𝝆𝒏𝒚 cos 𝑦, 𝑢 + 𝝆𝒏𝒛 cos 𝑧, 𝑢
𝝉𝒗𝒖 = 𝝈𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒖 + 𝝈𝒚𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒖 + 𝝈𝒛𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒖
+ 𝝉𝒙𝒚 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒖 + 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒖 +
+ 𝝉𝒚𝒛 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒖 + 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒖 +
+ 𝝉𝒛𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒖 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒖
𝝉𝒗𝒘 = 𝝆𝒏𝒙 cos 𝑥, 𝑤 + 𝝆𝒏𝒚 cos 𝑦, 𝑤 + 𝝆𝒏𝒛 cos 𝑧, 𝑤
𝝉𝒗𝒘 = 𝝈𝒙𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒘 + 𝝈𝒚𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒘 + 𝝈𝒛𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒘
+ 𝝉𝒙𝒚 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒘 + 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒘 +
+ 𝝉𝒚𝒛 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒘 + 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝒘 +
+ 𝝉𝒛𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒘 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝒘
Jednadžbe transformacija izražene u matričnoj shemi:
𝝈𝒗 = 𝑛1
𝝉𝒗𝒖 = 𝑛1
𝝉𝒗𝒘 = 𝑛1
𝑛2
𝑛2
𝑛2
𝑛3
𝜎𝑥𝑥
∙ 𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝑛1
𝜏𝑧𝑦 ∙ 𝑛2
𝜎𝑧𝑧
𝑛3
𝑛1 = cos 𝑥, 𝑣
𝑛2 = cos 𝑦, 𝑣
𝑛3 = cos 𝑧, 𝑣
𝑛3
𝜎𝑥𝑥
∙ 𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝑚1
𝜏𝑧𝑦 ∙ 𝑚2
𝜎𝑧𝑧
𝑚3
𝑚1 = cos 𝑥, 𝑢
𝑚2 = cos 𝑦, 𝑢
𝑚3 = cos 𝑧, 𝑢
𝑛3
𝜎𝑥𝑥
∙ 𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝑙1
𝜏𝑧𝑦 ∙ 𝑙2
𝜎𝑧𝑧
𝑙3
𝑙1 = cos 𝑥, 𝑤
𝑙2 = cos 𝑦, 𝑤
𝑙3 = cos 𝑧, 𝑤
Jednadžbe transformacija izražene u tenzorskom zapisu
𝟐(𝒚)
𝝈𝒏𝒎 = 𝝈𝒊𝒋 𝒏𝒊 𝒎𝒋
i =1,2,3 (x,y,z)
𝝆𝒏
𝒏
𝒅𝑨
𝜎𝑛𝑚 = 𝜎1𝑗 𝑛1 𝑚𝑗 + 𝜎2𝑗 𝑛2 𝑚𝑗 + 𝜎3𝑗 𝑛3 𝑚𝑗
.
𝝈𝒏𝒎
𝜎𝑛𝑚 = 𝜎11 𝑛1 𝑚1 + 𝜎12 𝑛1 𝑚2 + 𝜎13 𝑛1 𝑚3
+ 𝜎21 𝑛2 𝑚1 + 𝜎22 𝑛2 𝑚2 + 𝜎23 𝑛2 𝑚3
+ 𝜎31 𝑛3 𝑚1 + 𝜎32 𝑛3 𝑚2 + 𝜎33 𝑛3 𝑚3
𝟑(𝒛)
𝟏(𝒙)
𝒎
U beskonačnom skupu kosih ravnina koje mogu prolaziti kroz zadanu točku postoji
Određivanje vektora glavnog normalnog naprezanja
ravnina na kojoj ne postoje posmična naprezanja, a puno naprezanje i normalno
naprezanje podudaraju se po veličini i smjeru.
𝒚
POZNATO :
TRAŽI SE :
𝒏
𝝆𝒏 = 𝝈𝒎
𝒅𝑨
𝒛
𝒙
𝜎𝑥𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝒏
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝝈𝒎
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧
𝜎𝑧𝑧
𝒚
𝝆𝒏𝒚
𝝆𝒏𝒛
𝜎𝑥𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧
𝑛1
𝜎𝑚
𝜏𝑦𝑧 ∙ 𝑛2 = 0
𝜎𝑧𝑧
𝑛3
0
0
𝜎𝑚
0
𝜎𝑥𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧
𝜎𝑚
𝜏𝑦𝑧 − 0
𝜎𝑧𝑧
0
0
0
𝜎𝑚
𝒏
𝝆𝒏𝒙
𝝆𝒏 = 𝝈𝒎
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑚
𝜏𝑦𝑧
𝑛1
∙ 𝑛2 = 0
𝑛3
𝜏𝑥𝑧
𝑛1
𝜏𝑦𝑧
∙ 𝑛2 = 0
𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑚
𝑛3
𝒙
𝒅𝑨
𝜎𝑥𝑥
𝝆𝒏𝒙
𝝆𝒏𝒚 = 𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝝆𝒏𝒛
𝒛
𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑚
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑚
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
0
𝜎𝑚
0
𝑛1
0
0 ∙ 𝑛2
𝑛3
𝜎𝑚
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑚
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧
=0
𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑚
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧
𝑛1
𝜏𝑦𝑧 ∙ 𝑛2
𝜎𝑧𝑧
𝑛3
𝑛1
𝝆𝒏𝒙
𝜎𝑚 0
0
𝝆𝒏𝒚
0 𝟐 𝜎𝑚 0 ∙ 𝑛2
=𝑰 𝝈
𝟑 −
𝝈
𝒎
𝟏 𝒎 + 𝑰𝟐 𝝈𝒎 − 𝑰𝑛
𝟑 =𝟎
𝝆𝒏𝒛
0
0 𝜎𝑚
3
𝝈𝟑𝒎 − 𝑰𝟏 𝝈𝟐𝒎 + 𝑰𝟐 𝝈𝒎 − 𝑰𝟑 = 𝟎
𝝈𝟏 ≥ 𝝈𝟐 ≥ 𝝈𝟑
Pomoću poznate Cardanove formule ili rastavom karakterističnog polinoma na faktore
gdje je
PRVA (LINEARNA) INVARIJANTA NAPREZANJA
𝑰𝟏 = 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧
DRUGA (KVADRATNA) INVARIJANTA NAPREZANJA
2 − 𝜏2 − 𝜏2
𝑰𝟐 = 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝑧𝑧 𝜎𝑥𝑥 − 𝜏𝑥𝑦
𝑦𝑧
𝑧𝑥
σxx τxy
σyy τyz
σxx τxz
= τ
+ τ
σzz + τyz σzz
xy σyy
xz
TREĆA (KUBNA) INVARIJANTA NAPREZANJA
𝜎𝑥𝑥
𝑰𝟑 = 𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧
2 − 𝜎 𝜏2 − 𝜎 𝜏2
𝜏𝑦𝑧 = 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑧 + 2𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑦𝑧
𝑦𝑦 𝑧𝑥
𝑧𝑧 𝑥𝑦
𝜎𝑧𝑧
Glavna naprezanja ne ovise o izboru koordinatnog sustava
Prva invarijanta izražava da je zbroj normalnih naprezanja na bilo koje tri
međusobno okomite ravnine stalna veličina i jednaka je zbroju glavnih naprezanja
Ako je I3 = 0 → jedan od korjena jednak nuli → ravninsko ili dvoosno stanje naprezanja
Ako je I3 = I2 = 0 → dva korjena jednak nuli → linijsko ili jednoosno stanje naprezanja
U koordinatnom sustavu glavnih naprezanja invarijante su:
𝐼1 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
𝐼2 = 𝜎1 𝜎2 + 𝜎2 𝜎3 + 𝜎3 𝜎1
𝐼3 = 𝜎1 𝜎2 𝜎3
Određivanje cosinusa smjerova što ih pravac glavnog naprezanja zatvara sa osima
x, y i z =?
𝝈𝟏 → 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝝈𝟏 , 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝝈𝟏 , 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝝈𝟏
𝝈𝟐 → 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝝈𝟐 , 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝝈𝟐 , 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝝈𝟐
𝝈𝟑 → 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝝈𝟑 , 𝒄𝒐𝒔 𝒚, 𝝈𝟑 , 𝒄𝒐𝒔 𝒛, 𝝈𝟑
𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑘
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑘
𝜏𝑦𝑧
(𝑘)
(𝑘)
𝑛1
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧
∙ 𝑛2(𝑘) = 0
𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑘
(𝑘)
𝑛3
(𝑘)
(𝑘)
(𝑘)
(𝑘)
𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑘 𝑛1 + 𝜏𝑥𝑦 𝑛2 + 𝜏𝑥𝑧 𝑛3 = 0
(𝑘)
𝜏𝑦𝑥 𝑛1 + 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑘 𝑛2 + 𝜏𝑦𝑧 𝑛3 = 0
(𝑘)
(𝑘)
(𝑘)
𝜏𝑧𝑥 𝑛1 + 𝜏𝑧𝑦 𝑛2 + 𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑘 𝑛3 = 0
Odaberemo dvije od tri jednadžbe
(𝒌)
𝒏𝟑 = 𝟏
𝒌
𝒌
𝝈𝒙𝒙 − 𝝈𝒌 𝒏𝟏 + 𝝉𝒙𝒚 𝒏𝟐 = −𝝉𝒙𝒛
𝒌
𝒌
𝝉𝒚𝒙 𝒏𝟏 + 𝝈𝒚𝒚 − 𝝈𝒌 𝒏𝟐 = −𝝉𝒚𝒛
τxy
𝑘
𝑛1
= 𝜎2−𝜎
𝑘
𝑘
𝑘
𝑛2 = 𝜎2−𝜎
𝑘
(𝑘)
𝑛3
𝑘
𝑛1
𝑘
𝑛2
𝜎𝑘 𝜏𝑥𝑧 −𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑥𝑧 +𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜎𝑘 𝜏𝑦𝑧 −𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑦𝑧 +𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥
𝑘
=1 =
=
=
𝑘
𝑛3 =
𝜎𝑥𝑥 +𝜎𝑦𝑦 +𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 −𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑥
𝜎𝑥𝑥 +𝜎𝑦𝑦 +𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 −𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑥
=
σyy −σ𝑘
σxx −σ𝑘
τxy
=
τxz
τyz
τxy
τyz
τxz
τxy
σyy −σ𝑘
𝐷𝐸𝑇3
𝐷𝐸𝑇3
𝐷𝐸𝑇1
𝐷𝐸𝑇3
𝐷𝐸𝑇1 2
𝐷𝐸𝑇2 2
+
+
𝐷𝐸𝑇3
𝐷𝐸𝑇3
1
𝐷𝐸𝑇1 2 + 𝐷𝐸𝑇2 2 + 𝐷𝐸𝑇3 2
2
𝐷𝐸𝑇2
𝐷𝐸𝑇3
𝐷𝐸𝑇1 2
𝐷𝐸𝑇2 2
+
+
𝐷𝐸𝑇3
𝐷𝐸𝑇3
𝐷𝐸𝑇1
=
=
1
2
1
𝐷𝐸𝑇1 2
𝐷𝐸𝑇2 2
+
+
𝐷𝐸𝑇3
𝐷𝐸𝑇3
=
1 2
𝐷𝐸𝑇1
𝐷𝐸𝑇3
=
𝐷𝐸𝑇2
𝐷𝐸𝑇3
σyy −σ𝑘
τxy
σxx −σ𝑘
σxx −σ𝑘
τxy
=
𝐷𝐸𝑇2
𝐷𝐸𝑇1 2 + 𝐷𝐸𝑇2 2 + 𝐷𝐸𝑇3 2
𝐷𝐸𝑇3
𝐷𝐸𝑇1 2 + 𝐷𝐸𝑇2 2 + 𝐷𝐸𝑇3 2
(𝑘)
𝑛1
=
τxy
τxz
σyy − σ𝑘
τyz
2
τxz
σyy − σ𝑘
τyz
τxy
+
σxx − σ𝑘
τyz
τxz
τxy
σxx − σ𝑘
(𝑘)
𝑛2 =
τxy
τxy
τxz
σyy − σ𝑘
τyz
2
τxy
+
σxx − σ𝑘
+
=
τxy
τxy
τxz
σyy − σ𝑘
τyz
2
τxy
+
σxx − σ𝑘
τxy
τxy
2
σyy − σ𝑘
τyz
τxz
τyz
τxz
2
σxx − σ𝑘
+
σxx − σ𝑘
(𝑘)
𝑛3
σxx − σ𝑘
2
τxy
τxy
2
σyy − σ𝑘
τxy
σyy − σ𝑘
τyz
τxz
2
+
σxx − σ𝑘
τxy
τxy
σyy − σ𝑘
2
Glavna posmična naprezanja
𝒚
𝒏
𝝈𝒏𝒏
𝝈𝟏
𝝆𝒏
𝝈𝟑
𝝉𝒏𝒕 2 = 𝝈𝟏 𝑛1 + 𝝈𝟐 𝑛2 + 𝝈𝟑 𝑛3
𝑛1
0
0 ∙ 𝑛2
𝑛3
𝜎3
𝒙
𝒕
𝝈𝟐
0
𝜎2
0
𝝆𝒏 = 𝝈𝟏 𝑛1 + 𝝈𝟐 𝑛2 + 𝝈𝟑 𝑛3
𝒅𝑨
𝝈𝒏𝒕
𝒛
𝜎1
𝝆𝒏 = 0
0
𝝈𝒏𝒏 = 𝜎1 𝑛1 2 + 𝜎2 𝑛2 2 + 𝜎3 𝑛3 2
𝝉𝒏𝒕 2 = 𝝆𝒏 2 − 𝝈𝒏𝒏 2
2
− 𝜎1 𝑛1 2 + 𝜎2 𝑛2 2 + 𝜎3 𝑛3 2
2
𝑛3 2 = 1 − 𝑛1 2 − 𝑛2 2
𝝉𝒏𝒕 2 = 𝝈𝟏 𝑛1 + 𝝈𝟐 𝑛2 + 𝝈𝟑 (1 − 𝑛1 2 − 𝑛2 2 )
2
− 𝜎1 𝑛1 2 + 𝜎2 𝑛2 2 + 𝜎3 (1 − 𝑛1 2 − 𝑛2 2 )2
2
σ2
2
𝜕 𝜏𝑛𝑡
𝜕 𝑛1
C
2
= 0,
𝜕 𝜏𝑛𝑡
=0
𝜕 𝑛2
I
III
IIII
B
O
σ1
A
τ1 || σ3
σ3
τ2 || σ1
τ3 || σ2
σ2
C
IV
V
VI
B
O
σ1
A
τ2 || σ1
τ1 || σ3
σ3
n
n1
R1
0
R2 ± 2/2
n2
n3
± 2/2 ± 2/2
0
R3 ± 2/2 ± 2/2
± 2/2
0
𝝈𝟐 − 𝝈 𝟑
𝝉𝟏 = ±
𝟐
𝝈𝟑 − 𝝈 𝟏
𝝉𝟐 = ±
𝟐
𝝈𝟏 − 𝝈 𝟐
𝝉𝟑 = ±
𝟐
τ3 || σ2
𝝈𝟐 + 𝝈𝟑
𝝈𝟏 =
𝟐
𝝈𝟏 + 𝝈𝟑
𝝈𝟐 =
𝟐
𝝈𝟏 + 𝝈𝟐
𝝈𝟑 =
𝟐
Sferni i devijatorski dio tenzora naprezanja
𝝈𝒊𝒋
𝝈𝒙
= 𝝉𝒚𝒙
𝝉𝒛𝒙
σ0 =
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒚
𝝉𝒛𝒚
𝝉𝒙𝒛
𝝈𝟎
𝝉𝒚𝒛 = 𝟎
𝝈𝒛
𝟎
σ𝑥 + σ𝑦 + σ𝑧
3
𝟎
𝝈𝟎
𝟎
𝝈𝒙 − 𝝈𝟎
𝟎
𝝉𝒚𝒙
𝟎 +
𝝉𝒛𝒙
𝝈𝟎
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒚 − 𝝈 𝟎
𝝉𝒛𝒚
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒚𝒛
𝝈𝒛 − 𝝈𝟎
𝝈𝒊𝒋 = 𝝈𝟎 ⋅ 𝜹𝒊𝒋 + 𝑺𝒊𝒋
MATRICA TENZORA NAPREZANJA
MATRICA
DEVIJATORSKOG
DIJELA TENZORA NAPREZANJA
MATRICA SFERNOG DIJELA
TENZORA
NAPREZANJA
Kroneckerov simbol
1,naprezanja
𝑖 = 𝑗 mijenja se samo volumen elementa, a
Zbog djelovanja sfernoga dijela tenzora
δ𝑖𝑗 =
0,
𝑖≠𝑗
ne i njegov oblik.
Zbog djelovanja devijatorskog dijela tenzora naprezanja mijenja se samo oblik elementa,
a ne i njegov volumen.
𝝈𝒊𝒋
𝝈𝟏
= 𝟎
𝟎
σ0 =
𝟎
𝝈𝟐
𝟎
σ1 + σ2 + σ3
3
𝝈𝟎
𝟎
𝟎 = 𝟎
𝝈𝟑
𝟎
𝟎
𝝈𝟎
𝟎
𝟎
𝝈𝟏 − 𝝈𝟎
𝟎 +
𝟎
𝝈𝟎
𝟎
𝟎
𝝈𝟐 − 𝝈𝟎
𝟎
𝟎
𝟎
𝝈𝟑 − 𝝈𝟎
Određivanje oktaedarskog naprezanja
OKTAEDARSKA RAVNINA - ravnina čija normala zatvara jednake kutove s glavnim osima
3
𝑛1 = 𝑛2 = 𝑛3 =
3
σ3
C
O
𝝈𝒐𝒌𝒕 =
B
σ1
A
𝝉𝒐𝒌𝒕 =
σ2
𝟏
𝟑
𝝈𝟏 − 𝝈𝟐
𝟏
𝝈 + 𝝈𝟐 + 𝝈 𝟑
𝟑 𝟏
𝟐
+ 𝝈𝟐 − 𝝈𝟑
𝝈𝒐𝒌𝒕 =
𝝉𝒐𝒌𝒕 =
𝟏
𝟑
𝝈𝒙𝒙 − 𝝈𝒚𝒚
𝟐
+ 𝝈𝟑 − 𝝈𝟏
𝟐
𝟏
𝑰
𝟑 𝟏
𝟏
𝟐 (𝑰𝟏 )𝟐 − 𝟑 𝑰𝟐
𝟑
𝝈𝒐𝒌𝒕 =
𝝉𝒐𝒌𝒕 =
𝟐
𝟏
𝝈 + 𝝈𝒚𝒚 + 𝝈𝒛𝒛
𝟑 𝒙𝒙
+ 𝝈𝒙𝒙 − 𝝈𝒛𝒛
𝟐
+ 𝝈𝒛𝒛 − 𝝈𝒙𝒙
𝟐
+ 𝟔 𝝉𝟐𝒙𝒚 + 𝝉𝟐𝒚𝒛 + 𝝉𝟐𝒛𝒙
Transformacija u zarotirani koordinatni sustav
𝑥′1
𝑥′2
𝑥′3
𝒚
𝒙𝟏
β11
β21
β31
β11
A = β21
β31
𝒙𝟐
β12
β22
β32
β12
β22
β32
𝒙𝟑
β13
β23
β33
β13
β23
β33
𝝈𝜶𝜷 = 𝑨 𝝈𝒊𝒋 𝑨
𝒙
𝒛
𝑻