Slide 1

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 2

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 3

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 4

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 5

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 6

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 7

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 8

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 9

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 10

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 11

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 12

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 13

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 14

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 15

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 16

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 17

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 18

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 19

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 20

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 21

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 22

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 23

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 24

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 25

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 26

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 27

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 28

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 29

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 30

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 31

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)


Slide 32

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

Ana Škrobica
Andreja Prtenjak

Studenti :

2006/2007

UVOD
• pri rješavanju različitih inženjerskih problema koriste se periodične
funkcije:
 trigonometrijske funkcije, sinus i kosinus
• imaju važnost u praktičnoj primjeni
 u proučavanju signala, titranja, rezonancije i pri rješavanju
problema vezanih uz obične i parcijalne diferencijalne
jednadžbe

PERIODIČNE FUNKCIJE

• temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj
analizi
• harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u
odgovarajući Fourierov red
• funkcija f : R → R je periodična funkcija ako postoji T ≠ 0 takav da
vrijedi:
f(x + T) = f(x)
za svaki x koji je element skupa R realnih brojeva

-

broj T se zove period funkcije f(x)

 grafovi takve funkcije dobivaju se periodičnim ponavljanjem grafa
unutar bilo kojeg intervala duljine perioda T

OSNOVNE PERIODIČNE FUNKCIJE
• trigonometrijske funkcije:
- sinusne i kosinusne fje s periodom 2p

•

bilo koja periodična funkcija f(x) s periodom 2p može se aproksimirati
trigonometrijskim redom:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
a 0 , a1 , a 2 , ...a n , b1 , b2 , ...bn

koeficijenti trigonometrijskog reda

RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2p U
FOURIEROVE REDOVE
• da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2p u
Fourierov red potrebno je izračunati koeficijente Fourierovog reda koje
računamo na temelju ovih izraza:
a0 

an 

bn 

p

1
2p

1

p
1

p



f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

Izvod koeficijenata
• pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom 2p, koju
možemo prikazati trigonometrijskim redom


f ( x )  a0 

(1)

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

• želimo odrediti koeficijente an i bn
•

a0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –p do p:
p



p

p

f ( x ) dx 



p

p



p

•


 a0 



(
a
cos
nx

b
sin
nx
)
 n
n
 dx
n 1


p

f ( x ) dx  a 0





p



dx 

p

p

 ( a  cos nxdx  b  sin nxdx )
n

n 1

n

p

p

prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2pa0 dok su ostali integralni izrazi
jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:
a0 

1
2p

p



p

f ( x ) dx

 sada ćemo redom izračunati koeficijente a1, a 2 , ... sličnim postupkom
•

množit ćemo izraz (1) s cos mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj), slijedi:
p

p



f ( x ) cos m xdx 

p

•



p


 a0 





(
a
cos
nx

b
sin
nx
 n
n
 cos m xdx
n 1


integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:
p

a0



p

p
 p

cos m xdx    a n  cos nx cos m xdx  b n  sin nx cos m xdx 
n 1 
p
p



•

prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (jer je podintegralni izraz neparna
funkcija)

•

primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije na drugi integral dobivamo
izraz:
p

1

p

1

p

 cos nx cos m xdx  2  cos( n  m ) dx  2  cos( n  m ) dx

p

p

p

•

prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir,
i posljednji integral je jednak nuli kada je n  m ili iznosi p za svaki n  m

•

proizlazi da je desna strana jednaka am p i dobiva se :

am 

1

p

p



p

f ( x ) cos mxdx

 možemo izračunati koeficijente b1, b2,... pri čemu množimo izraz
(1) sa sin mx, (m je bilo koji fiksni pozitivan broj)
•

integracijom tog izraza od –p do p dobivamo:
p



p

f ( x ) sin m xdx 

p

•



p


 a0 




 (a
n 1

n


cos nx  b n sin nx  sin m xdx


integrirajući član po član, desna strana izraza je jednaka:
p

p
 p

a 0  sin m xdx    a n  cos nx sin m xdx  b n  sin nx sin m xdx 
n 1 
p
p
p


•



prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki
n = 1, 2,...
p

1

p

1

p

 sin nx sin m xdx  2  cos( n  m ) xdx  2  cos( n  m ) xdx

p

•

p

p

posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bm p, dakle:
bm 

1

p

p



p

f ( x ) sin m xd x

EULEROVE FORMULE
• Upisujući n umjesto m u prethodno dobivene formule za koeficijente,
dobivaju se Eulerove formule:
a0 

an 

bn 

p

1



2p
1

p
1

p

f ( x ) dx

p

p



f ( x ) cos nxdx

p

p



p

f ( x ) sin nxdx

FOURIEROV RED
• pomoću periodične funkcije f(x) s danim periodom 2p, možemo
izračunati koeficijente an i bn , prema Eulerovim formulama i formirati
trigonometrijski niz:
a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

 ovaj red se naziva Fourierov red i odgovara f(x)
 koeficijente nazivamo Fourierovi koeficijenti funkcije f(x)

TEOREM 1.

• Ako imamo periodičku funkciju f(x) sa periodom 2p koja je
djelomično neprekidna unutar intervala

p  x  p

i ukoliko postoji

njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar
intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da
je konvergentan.

PRIMJEDBA:

• ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) konvergira, kao što
je objašnjeno u teoremu 1, red se naziva Fourierovim redom funkcije
f(x) pa možemo pisati:
f ( x )  a 0  a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx

- f(x) predstavlja Fourierov red dotične funkcije
• ovaj niz je konvergentan, i novodobiveni red imat će sumu jednaku
sumi originalnog reda pa se može pisati:


f ( x )  a0 

a
n 1

n

cos nx  b n sin nx

PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
• funkcija y = g(x) je parna ako vrijedi g(-x) =g(x), za sve x

• funkcija h(x) je neparna ako vrijedi h(-x) = -h(x), za sve x

TEOREM 1.
•

Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2p je
kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:
n

f ( x )  a0 

a0 

•

p

n

p



cos nx )

n 1

s koeficijentima
1

 (a
an 

f ( x )dx

0

2

p

p



f ( x ) cos nxdx

0

Fourierov red bilo koje neparne periodične funkcije perioda 2p je tzv.
sinusni Fourierov red koji zapisujemo:


f ( x) 

b
n 1

s koeficijentima
bn 

2

p

p


0

f ( x ) sin n xd x

n

sin nx

TEOREM 2.
• Fourierovi koeficijenti sume f1 + f2 su suma odgovarajućih
Fourierovih koeficijenata od f1 i f2.

FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD
•

prijelaz iz funkcije perioda 2p na funkcije koje imaju period T je jednostavan
zbog toga što se može provesti izmjena skale

•

ako je f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu x tako da
nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2p

• ako je

t

T
2p

x

x

onda vrijedi

2p

t

T

• Fourierov red je sljedećeg oblika
f (t )  f (

T
2p



x )  a0 

 (a

n

cos nx  b n sin nx )

n 1

čije koeficijente računamo prema sljedećim formulama:
a0 

1
2p

p



p

f(

T
2p

x ) dx

an 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) co s n xd x

bn 

1

p

p



p

f(

T
2p

x ) sin nxdx

•

možemo primjeniti i ove formule direktno ali promjenom perioda T
pojednostavljujemo jednadžbu:
x

2p

dx 

t

dt

T

T

•

2p

interval integracije se mijenja i postaje:



T

t

T

2

2

• posljedično, dobivamo Eulerove formule za Fourierove koeficijente
funkcije f(t):
a0 

1
T

T /2



f ( t ) dt

an 

T / 2

2
T

T /2



f ( t ) co s

2 np

dt

T

T / 2

bn 

2
T

T /2



T / 2

f ( t ) sin

2 np

dt

T

• Fourierov red u kojem je varijabla x zamjenjena varijablom t ima oblik:


f (t )  a 0 



n 1

( a n cos

2 np
T

t  b n sin

2 np
T

t)

TEOREM 1.
• Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni Fourierov red
2 np



f (t )  a 0 



a n cos

t

T

n 1

s koeficijentima:
a0 

2
T

T /2



an 

f ( t ) dt

0

4
T

T /2


0

f ( t ) co s

2 np

td t

T

• Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red




f (t ) 

b n sin

n 1

2 np

t

T

s koeficijentima:
bn 

4
T

T /2


0

f ( t ) sin

2 np
T

td t

POLUPERIODIČNO PROŠIRENJE REDA
• neka funkcija f(t) ima period T=2l, ako je ta funkcija parna dobiva se
Fourierov kosinusni red :


f (t )  a 0 



a n cos

n 1

np

t

l

s koeficijentima
a0 

1
l

l



2

an 

f (t ) d t

l

0

l


0

f ( t ) co s

np

td t

l

• ako je ta funkcija f(x) neparna funkcija dobiva se Fourierov sinusni red:




f (t ) 

b n sin

np

t

l

n 1

s koeficijentima
bn 

2
l

1


0

f ( t ) sin

np
l

tdt

f(t)

l

t

Slika 1. Funkcija f(t)

f2(t)
f1(t)

l

l

Slika 2. Periodičko ponavljanje parne
funkcije perioda 2l

t

-l

-l

t

Slika 3. Periodičko ponavljanje neparne
funkcije perioda 2l

FOURIEROV INTEGRAL
•

kako mnogi praktični problemi ne uključuju periodične funkcije poželjno je
generalizirati metodu Fourierovog reda i na neperiodične funkcije

•

imamo periodičnu funkciju fT(x) sa periodom T i možemo ju pisati pomoću
Fourierovog reda :
2np
2np 

a
cos
x

b
sin
x

 n
n
T
T

n 1 


fT ( x )  a0 

wn 

2np

•

ako uzmemo da vrijedi :

•

uvrstimo an i bn prema Eulerovim formulama, označimo varijablu integracije
sa n dobiva se :

T

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos
w
x
f
(

)
cos
w

d


sin
w
x
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
T n 1 
T / 2
T / 2


1

•

T /2

2



ako je :
w n 1  w n 

2 ( n  1)p
T



2np
T



2p
T

 w  w n 1  w n 

2p
T

•

onda 2/T = ∆w / p i možemo pisati Fourierov red u obliku
(1)

T /2
T /2




fT ( x ) 
f
(

)
d


cos(
w
x
)

w
f
(

)
cos
w

d


sin(
w
x
)

w
f
(

)
sin
w

d


t
n
T
n
n
T
n





T T / 2
p n 1 
T / 2
T / 2


1

T /2

1



- vrijedi za bilo koji fiksni T, proizvoljno velik ali konačan
•

neka T → ∞ i pretpostavimo da rezultirajuća neperiodična funkcija
f ( x )  lim f T ( x )
T 

postoji

•

1/T → 0 i vrijednost prvog člana da desnoj strani izraza (1) se približava nuli

•

∆w = 2p/T → 0 ,beskonačan red (1) postaje integral od 0 do ∞ koji predstavlja f(x)



 cos wx f T ( ) cos w  d   sin w x f T ( ) sin w  d 
f ( x) 



p 0 



1




dw



•

ako uvedemo supstituciju


A(w) 





f ( ) cos w  d

B (w) 



•



f ( ) sin w  d



izraz se može pisati u obliku
f ( x) 

1

p



  A ( w ) cos

wx  B ( w ) sin wx dw

0

 ovakav oblik f(x) se naziva Fourierov integral

TEOREM 1.
• Ako je f(x) po djelovima neprekinuta na svakom konačnom intervalu
i može se s lijeve i desne strane derivirati u svakoj točki i ako

integral  f ( x ) dx postoji onda se f(x) može pisati pomoću


Fourierovog integrala.
U točki gdje je f(x) prekinuta vrijednost Fourierova integrala je
jednaka granicama lijeve i desne strane funkcije f(x) u toj točki
prekida.

•

ako je f(x) parna funkcija, onda je B(w) = 0 i slijedi


A ( w )  2  f ( ) cos w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati u jednostavnijem obliku
f ( x) 

•



1

 A ( w ) cos

p

wxdw

0

ako je f(x) neparna funkcija, onda je A(w) = 0 i slijedi


B ( w )  2  f ( ) sin w  d
0

•

Fourierov integral se može pisati prema
f (x) 

1

p



 B ( w ) sin
0

wxdw

ORTOGONALNE FUNKCIJE
•

gm(x) i gn(x) realne funkcije, definirane u intervalu a  x  b

•

postoji integral produkta na tom intervalu kojeg ćemo označiti kao:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx

a

• za funkcije kažemo da su ortogonalne u intervalu ako je integral
b
jednak nuli:
(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x ) dx  0

(m  n)

a

•

ne-negativan korijen od ( g m , g m ) se zove norma od
b

gm 

(gm , gm ) 


a

2

g m ( x ) dx

g m ( x)

i označava se sa g m

Osnovna pretpostavka
 Sve funkcije koje se pojavljuju su ograničene i imaju svojstvo da integrali
koji se pojavljuju postoje i da njihove norme nisu nula.
•

Ortogonalni skup u intervalu čije funkcije imaju normu 1 zadovoljavaju relaciju:
b

(gm , gn ) 

g

m

( x ) g n ( x )dx 



0mn
1m  n

m  1, 2 ,...
n  1, 2 ,...

a

- takav skup se naziva ortonormiran skup funkcija u intervalu a  x  b

•

skup

•

mogućnost prikaza zadane funkcije f(x) pomoću bilo kojeg ortogonalnog skupa
g1(x), g2(x)... oblika:

1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ... je ortogonalan na intervalu duljine 2p



f (x) 

c
n 1

n

g n ( x )  c1 g 1 ( x )  c 2 g 2 ( x )  ...

• ako red konvergira i predočuje f(x) nazivamo ga generaliziran
Fourierov red funkcije f(x)
• njegove koeficijente nazivamo Fourierovim konstantama funkcije
f(x) s obzirom na taj ortogonalni skup funkcija
• konstante određujemo pomoću izraza:


b



f ( x ) g m ( x ) dx 

b

c g
n

n 1

a

n

( x ) g m ( x ) dx

a

• integral za koji je m  n jednak je kvadratu iznosa g m , dok su
ostali integrali jednaki nuli jer su funkcije međusobno ortogonalne
cm 

b

1
gm

2


a

f ( x ) g m ( x ) dx

• ako je skup funkcija ortonormiran tada Fourierove konstante
zadovoljevaju Besselovu nejednakost:
b

c1  c 2  c 3  ... 
2

2

2



2

f ( x ) dx

a

• red na lijevoj strani konvergira pa slijedi:
cn  0

pri n  

LITERATURA

• A.E.Kreyzig , “Advanced engineering mathematics”, John Wiley &
Sons Inc (1995)
• I. Ivanšić, “Fourierovi redovi. Diferencijalne jednadžbe”, Odjel za
matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku (2000.)