Slide 1

FOURIEROVI REDOVI,
POLINOMI I INTEGRALI
Vedrana Grozdanić


Slide 2

UVOD
• Fourierov red je jedan od najvažnijih alata za
rješavanje običnih i parcijalnih diferencijalnih jednadžbi
• Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francuski fizičar
i matematičar, uveo je u analizu Fourierov red i Fourierov integral
- prikaz funkcije u terminima trigonometrijskih funkcija

• Fourierov red je svaki izraz oblika:


Slide 3

FOURIEROVI REDOVI, OSNOVNI REZULTATI
Fourierov polinom je izraz sljedećeg oblika:

koji se može pisati i kao:
Konstante a0, ak i bk, k = 1,...,n
reda Fn(x).

Tada su:

zovu se koeficijentima


Slide 4

Primjer 1:

Slikoviti prikaz razvoja funkcije f(x)=x u Fourierov red


Slide 5

Primjer 2:

Slikoviti prikaz razvoja funkcije

u Fourierov red


Slide 6

Definirali smo Fourierove redove za funkcije koje su - 2 p
periodične, kako bi napravili slično za funkcije koje su
L-periodične???
Neka je f funkcija koja je definirana i integrabilna na intervalu
[-L,L] tada je Fourierov red od f(t):

Gdje je


Slide 7

Primjer 3:

Slikoviti prikaz razvoja funkcije

u Fourierov red


Slide 8

FOURIEROVI REDOVI PO SINUSIMA I KOSINUSIMA
Neka su f(x), f1(x) i f2(x) definirane na sljedeći način:
Neka je f(x) funkcija definirana i integrabilna na intervalu
i neka je:

Tada je f1 neparna a f2 parna

Fourierov red funkcije f1(x) se naziva Fourierovim redom po
sinusima funkcije f(x):

Fourierov red funkcije f2(x) se naziva Fourierovim redom po
kosinusima funkcije f(x):


Slide 9

Primjer 4:

Fourierov red po kosinusima funkcije f(x) = x za


Slide 10

Primjer 5:

Fourierov red po sinusima funkcije f(x) = 1 za


Slide 11

Primjer 6:

Fourierov red po sinusima funkcije

za


Slide 12

KONVERGENCIJA FOURIEROVOG REDA
Ako je funkcija f neprekidna, onda njezin
Fouriereov red konvergira u svakoj točki iz
vrijednosti funkcije u toj točki:

Ako funkcija ima prekid prve vrste na

i to k

tada za svaki

niz Fourierovih parcijalnih suma
konvergira u aritmetičku sredinu
Oznake su:
i

kada n teži

.


Slide 13

GIBBSOV FENOMEN
• Osnovni teorem konvergencije Fourierovih redova
kaže da red konvergira u f(x) osim u točki x0 = 0,
kao točki prekida f(x)
• Gibbs se zainteresirao za ponašanje niza suma baš u okolici
te točke
• Kada se x približi 0, graf parcijalnih suma prezentira "skok"

• "skokovi" u blizini nule ponašaju se kao valovi visine 0,18


Slide 14

Slikoviti prikaz Gibbsovog fenomena


Slide 15

• uvodimo novi koncept - s aproksimacija

Neka je f(x) funkcija koja je glatka na čitavom
Intervalu
i fN(x) njena Fourierova parcijalna suma
Uvodimo:

gdje je:

Sume

su vrlo dobro aproksimirale funkciju f(x)

Na grafu više ne možemo uočiti Gibbsov fenomen


Slide 16

Primjena s - aproksimacije


Slide 17

PRIMJENA FOURIEROVIH REDOVA ZA
RJEŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI
Osvrnut ćemo se na jednadžbe sljedećeg oblika:

y(n) + an-1y(n-1) + ........+ a1y' + a0 y = f(x),
Kompleksni oblik Fourierovog reda 2 p periodičnih funkcija:

gdje je
Veza sa realnim Fourierovim koeficijentima:

za


Slide 18

Primjer: Treba naći periodična rješenja
diferencijalne jednadžbe:
y' + 2y = f(x), gdje je f(x) 2 p -periodična funkcija.
Rješenje:
Neka je y bilo koje 2 p -periodično rješenje diferencijalne
jednadžbe. Pretpostavimo:

Tada iz diferencijalne jednadžbe dobivamo:
slijedi:


Slide 19

HVALA NA PAŽNJI !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

?