Slide 1

Rješavanje jednadžbi
5
Jednadžbe s razlomcima


Slide 2

U ovoj ćemo prezentaciji naučiti kako rješavati jednadžbe u
kojima se pojavljuju razlomci, decimalni i/ili mješoviti brojevi.
Prvo ćemo naučiti rješavati jednadžbe s razlomcima (jer su one
osnovne), a tek onda one u kojima se pojavljuju i decimalni i/ili
mješoviti brojevi.

Ukoliko već znaš rješavati jednadžbe s razlomcima, te želiš
proučiti samo kako se rješavaju one s decimalnim i/ili mješovitim
brojevima, klikni na donji link:
jednadžbe s decimalnim i/ili mješovitim brojevima .
U suprotnom klikni bilo gdje izvan njega, te krenimo redom...


Slide 3

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se
nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri
rješavanju jednadžbi...
Ponovimo i uočimo:
a)

4
5

od 15 je 12

Kako to računamo?
15 : 5 • 4 = 12
Ako se želiš podsjetiti zašto tako računamo, klikni ovdje.
U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.


Slide 4

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se
nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri
rješavanju jednadžbi...
Ponovimo i uočimo:
a)

4
5

od 15 je 12

Kako to računamo?
15 : 5 • 4 = 12
Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način !
Naime, riječ od uvijek označava množenje !
Riješimo ga i na taj način:
4
• 15 =
3
51

12
1

Kratimo
Kako
se to
sa računa?
__.
5

= 12

Naravno, oba načina vode
do istog rješenja!


Slide 5

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se
nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri
rješavanju jednadžbi...
Ponovimo i uočimo:
a)

4
5

od 15 je 12

b)

7
9

od 36 je 28

Kako smo to izračunali?
36 : 9 • 7 = 28
2. način:


Slide 6

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se
nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri
rješavanju jednadžbi...
Ponovimo i uočimo:
a)

4
5

od 15 je 12

b)

7
9

od 36 je 28

Kako smo to izračunali?
36 : 9 • 7 = 28
2. način:
7
• 36 =
4
91

28
1

Kratimo sa __.
9

= 28

Naravno, oba načina su nas opet
dovela do istog rješenja!


Slide 7

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se
nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri
rješavanju jednadžbi...
Ponovimo i uočimo:
a)

4
5

od 15 je 12

b)

7
9

od 36 je 28

Imajući na umu prošle postupke, možeš li brzo napamet izračunati:
c)

5
• 72 = 45
8
Vjerujem da imaš ideju:
Umjesto simbola množenja • zamislit ćemo riječ od , tj. riješit
ćemo zadatak
5
od 72 je 45
8
a njega lako riješimo napamet: 72 : 8 • 5 = 45


Slide 8

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se
nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri
rješavanju jednadžbi...
Ponovimo i uočimo:
a)

4
5

od 15 je 12

b)

7
9

od 36 je 28

Imajući na umu prošle postupke, možeš li brzo napamet izračunati:
c)

5
• 72 = 45
8

d)

6
• 88 = 48
11
Računamo:

88 : 11 • 6 =

48


Slide 9

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se
nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri
rješavanju jednadžbi...
Ponovimo i uočimo:
a)

4
5

od 15 je 12

b)

7
9

od 36 je 28

Imajući na umu prošle postupke, možeš li brzo napamet izračunati:
c)

5
• 72 = 45
8

d)

6
• 88 = 48
11
Uoči da je ovakav račun napamet moguć samo ako je
prirodan broj s kojim množimo razlomak djeljiv s nazivnikom!
Pri rješavanju jednadžbi s razlomcima koristit ćemo takav račun.


Slide 10

Jednadžbe s razlomcima


Slide 11

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

4
x 5

3
x
2

3
2

x - 4
=

- 4 - 3

Jednadžbe s razlomcima možemo rješavati na dva načina.
Jedan od njih je - rješavati na isti način kako smo i do sad.
Riješimo ovu jednadžbu na taj način (a nakon toga ćemo i na drugi):
Prvo trebamo sve nepoznanice staviti na lijevu stranu.
Podcrtajmo ih da ih bolje uočimo...
Podcrtano prebacimo na lijevu stranu!
Ne zaboravimo da onim pribrojnicima koji mijenjaju stranu mijenjamo i
predznak!
S nepoznanicama smo gotovi, pa napišemo znak = ...
Sad poznanice (tj. sve nepodcrtano) ide na desnu stranu!
Opet pazimo na to da onim pribrojnicima koji mijenjaju stranu mijenjamo i
predznak!


Slide 12

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

4
x 5
-7
x
10

3
x
2

3
2

x - 4
=

= - 7

- 4 - 3

: -7

10

Što sad?
Izračunamo posebno izraz na lijevoj strani, a posebno na desnoj.
Na lijevoj strani trebamo izračunati
4 5

8 - 15
3
=
=
2
10

-7
10

4 5

Sad izračunamo izraz na desnoj strani...
Što sad?
Podijelimo jednadžbu s brojem uz x...

3
, a x ćemo prepisati.
2


Slide 13

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

4
x 5
-7
x
10

3
x
2

3
2

x - 4
=

= - 7

- 4 - 3

: -7

10

x = 10
Kad lijevu stranu podijelimo sa -7/10, dobivamo...
Kad desnu stranu dijelimo sa -7/10, računamo:
-10
=
-7 : -7 = -7 ·
1
71
10

10
= 10
1


Slide 14

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

4
x 5
-7
x
10

3
x
2

3
2

x - 4
=

= - 7

- 4 - 3

: -7

10

x = 10
Time smo riješili ovu jednadžbu.
Kao što smo vidjeli, bilo je tu dosta računanja sa razlomcima.
Na sreću, postoji i drugi način rješavanja ovakvih jednadžbi pri kojem se
već na početku postupka riješimo razlomaka, te time izbjegnemo kasniji
mukotrpan račun sa njima.
Evo i tog postupka...


Slide 15

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

3
2

x - 4

2. način!

· 10

Da bismo se riješili razlomaka, cijelu jednadžbu trebamo pomnožiti sa
zajedničkim nazivnikom razlomaka.
Dakle, prvo uočimo razlomke koje ovdje imamo...
... odnosno njihove nazivnike...
Koji bi bio zajednički nazivnik tih razlomaka, odnosno broj koji je djeljiv
sa oba nazivnika?
Broj 10!
Obje strane jednadžbe ćemo pomnožiti upravo sa tim brojem - brojem 10!


Slide 16

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

3
2

x - 4

2. način!

· 10

8x

Svaki pribrojnik posebno trebamo pomnožiti sa 10.
(Pribrojnici su međusobno odvojeni simbolima + i -.)
Krenimo redom:
4
x · 10 .
5
Kako to izračunati?
Prvo množimo

Jednostavno!!!
Na početku ove prezentacije uvježbali smo kako se napamet može pomnožiti
4
· 10
Računamo:
10:5·4 = 8
5
A x samo prepišemo uz taj rezultat...


Slide 17

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

3
2

x - 4

2. način!

· 10

8x + 30 =

Sad računamo 3 · 10 . Koliko je to?


Slide 18

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

3
2

x - 4

2. način!

· 10

8x + 30 = 15x

Kako izračunati

3
x · 10 ?
2

10:2·3 = 15

A x samo prepišemo uz taj rezultat...


Slide 19

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

3
2

x - 4

8x + 30 = 15x - 40

I na kraju, -4·10 je...

2. način!

· 10


Slide 20

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

3
2

x - 4

2. način!

· 10

8x + 30 = 15x - 40
8x - 15x = -40 - 30
-7x

= -70

Što sad?
Nepoznanice idu na lijevu stranu, a poznanice na desnu...

A sad?


Slide 21

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

3
2

x - 4

2. način!

· 10

8x + 30 = 15x - 40
8x - 15x = -40 - 30
-7x
x

= -70

/ :(-7)

= 10

Sad sve dijelimo sa brojem uz x...


Slide 22

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
a)

4
5

x + 3 =

3
2

x - 4

2. način!

· 10

8x + 30 = 15x - 40
8x - 15x = -40 - 30
-7x
x

= -70

/ :(-7)

= 10

Time smo ovu jednadžbu riješili i na drugi način!
Naravno, dobili smo isto rješenje koje smo dobili i na prvi način.
Ti možeš rješavati na koji način želiš. (Oba načina vode do istog rješenja.)
Sad ćemo riješiti još nekoliko primjera na drugi način - tako da se odmah
na početku riješimo razlomaka...


Slide 23

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

1
3

· 12

Uočimo nazivnike...
Koji bi bio najmanji zajednički nazivnik, odnosno najmanji broj djeljiv sa
svim ovim nazivnicima?
Broj 12!
Stoga obje strane jednadžbe pomnožimo sa 12...


Slide 24

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

Svaki pribrojnik pomnožimo sa 12:
1
x · 12 .
4
Sjećaš li se kako to izračunati?
Prvo množimo

1
3

· 12


Slide 25

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

1
3

3x +

Svaki pribrojnik pomnožimo sa 12:
1
x · 12 .
4
Sjećaš li se kako to izračunati?
Prvo množimo
Ovako:

12 : 4 • 1 = 3

A x samo prepišemo uz taj rezultat...

· 12


Slide 26

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

3x +

1
· 12
6
Kako to izračunati?
Sad množimo

.

1
3

· 12


Slide 27

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

3x + 2 -

1
· 12
6
Kako to izračunati?
Sad množimo

12 : 6 • 1 = 2

.

1
3

· 12


Slide 28

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

3x + 2 - 24 =

Sad računamo 2 · 12 . To je...

1
3

· 12


Slide 29

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

3x + 2 - 24 = 6x -

1
x · 12 .
2
12 : 2 • 1 = 6

Sad množimo
Računamo:

A x samo prepišemo...

1
3

· 12


Slide 30

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

1
3

3x + 2 - 24 = 6x - 24 - 4

· 12
Koliko je to?


Slide 31

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

1
3

· 12

3x + 2 - 24 = 6x - 24 - 4

3x - 6x
-3x

= -24 - 4 - 2 + 24
= -6

Sad više nemamo razlomke. Nastavljamo po starom - nepoznanice
na lijevu, a poznanice na desnu stranu!
Podvucimo nepoznanice...
A sad?


Slide 32

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
b)

1
x +
4

1
6

- 2 =

1
x - 2 2

1
3

3x + 2 - 24 = 6x - 24 - 4

3x - 6x
-3x
x

= -24 - 4 - 2 + 24
= -6

/ :(-3)

= 2

Time je ova jednadžba riješena!

· 12


Slide 33

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
c)

1
- 3b = 1 15

b
5

Kako ćemo se ovdje riješiti razlomaka?
S kojim brojem trebamo množiti cijelu jednadžbu?
Imamo nazivnike 15 i 5.
Zajednički nazivnik je 15, pa sa njime množimo...


Slide 34

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
c)

1
- 3b = 1 15

b
5

· 15

1 - 45 b = 15 - 3 b

Koje rezultate dobivamo sljedećim množenjima?
Kod zadnjeg množenja računali smo:
15 : 5 · b,
odnosno
15 : 5 = 3,
3 · b = 3b .
Umjesto toga, možemo si uz b u brojniku zamisliti broj 1 ( 1b ),
pa onda računamo
15 : 5 · 1,
a b samo prepišemo.
U oba slučaja dobivamo isti rezultat, naravno, 3b !


Slide 35

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
c)

1
- 3b = 1 15

b
5

· 15

1 - 45 b = 15 - 3 b
-45 b + 3b

=

15 - 1

-42 b = 14
Što sad?
Nepoznanice na lijevu, a poznanice na desnu stranu...
A sad?
A sad?


Slide 36

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
c)

1
- 3b = 1 15

b
5

· 15

1 - 45 b = 15 - 3 b
-45 b + 3b

=

15 - 1

/ :(-42)

-42 b = 14
b =

b =

-14 -1
42 3
-1
3


Slide 37

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
d)

-x
29
6
30

= -1 -

2x
5

· 30

-5x
Sa čime ćemo ovdje množiti da bismo se riješili razlomaka?
Koje rezultate dobivamo sljedećim množenjima?
Objašnjenje:
Računali smo:
30 : 6 · (-x),
odnosno
30 : 6 = 5,
5 · (-x) = -5x .
Umjesto toga, možemo si uz x u brojniku zamisliti broj -1 ( -1x ),
pa onda računamo
30 : 6 · (-1),
a x samo prepišemo.
U oba slučaja dobivamo isti rezultat, naravno, -5x !


Slide 38

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
d)

-x
29
6
30
-5x - 29

= -1 -

2x
5

= -30 - 12x

· 30


Slide 39

Primjer 1.: Riješi jednadžbe:
d)

-x
29
6
30
-5x - 29

= -1 -

2x
5

= -30 - 12x

-5x + 12x = -30 + 29
7x = -1

x =

-1

7

/ :7

· 30


Slide 40

Time smo razjasnili kako se rješavaju jednadžbe u kojima se pojavljuju
razlomci.
Ako ti nešto nije jasno, vrati se na primjere iz prezentacije i ponovo ih
prouči.
Ako si sve shvatio, uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i riješi ih!
Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš
prekontrolirati jesi li dobro riješio.
Sretno! 
Rješenja:
1.) Riješi jednadžbe:
7
a)
x
=
-6
4
2
7
8
a)
x+1=
x5
5
4
b) y = -2
-2
5
b)
y + 7 = -5y 3
3
9
c) x =
x
1
3x
2
13
c)
+
=
5
2
2
5
1
d) a = 1
6
d) 3a + 2 = a + 7
7
7
3
1
e) b = 3
2
e) 2b – 4 = b - 1
2


Slide 41

A ako se u zadacima pojavljuju
decimalni i mješoviti brojevi?


Slide 42

Primjer 2.: Riješi jednadžbe:
a)

0.3 x - 2 = 1

1
- x
2

Imaš li ideju kako riješiti ovu jednadžbu?
Vjerujem da imaš:
Prvo ćemo decimalne i mješovite brojeve pretvoriti u razlomke, a zatim
nastaviti rješavati kao u prošlim primjerima.
Ako si zaboravio kako se decimalni i mješoviti brojevi pretvaraju u razlomke, klikni ovdje.
U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.


Slide 43

Primjer 2.: Riješi jednadžbe:
a)

0.3 x - 2 = 1
3
x - 2
10

=

1
- x
2
3 - x
2

· 10

0.3 pretvorimo u razlomak!
Sad
se riješimo
razlomaka!
(A x samo
prepišemo.)
S kojim brojem trebamo množiti obje strane jednadžbe?
Što dobivamo?


Slide 44

Primjer 2.: Riješi jednadžbe:
a)

0.3 x - 2 = 1
3
x - 2
10
3x - 20 =

=

1
- x
2
3 - x
2

· 10

15 - 10x

Koje rezultate dobivamo sljedećim množenjima?


Slide 45

Primjer 2.: Riješi jednadžbe:
a)

0.3 x - 2 = 1
3
x - 2
10

=

=

13x

3 - x
2
15 - 10x

3x - 20 =
3x + 10x

1
- x
2

15 + 20

= 35

x =

35

13

9
x = 2
13

/ :13

· 10


Slide 46

Primjer 2.: Riješi jednadžbe:
b)

-0.04 x + 1.2 = 2
Imaš li ideju kako riješiti ovu jednadžbu?
Jedan od načina je da postupimo kao i u prošlom primjeru, tj. da sve
decimalne brojeve pretvorimo u razlomke, zatim se riješimo razlomaka itd.

Riješi ovu jednadžbu na taj način, zabilježi rješenje, a tek onda klikni dalje...
Ova se jednadžba razlikuje od prošle po tome što u ovoj imamo samo
decimalne i cijele brojeve, bez razlomaka i mješovitih brojeva!
Stoga je možemo brzo i jednostavno riješiti i bez pretvaranja u razlomke.
Evo kako:
Prisjetimo se kako decimalne brojeve množimo sa 10, 100, 1000...
Množimo ih tako da decimalnu točku pomaknemo udesno za onoliko mjesta
koliko broj s kojim množimo (10, 100, 1000...) ima nula!

Pomicanjem točke udesno decimalan broj može postati prirodan broj!
To je ono što želimo postići sa svim decimalnim brojevima u zadanoj
jednadžbi...


Slide 47

Primjer 2.: Riješi jednadžbe:
b)

-0.04 x + 1.2 = 2

/ ·100

Uočimo koji decimalni broj ima najviše decimala i koliko on decimala ima!
Prvi broj ima najviše decimala i on ima dvije decimale!

Stoga nam je cilj da se decimalne točke pomaknu za dva mjesta udesno!
Sa kojim brojem trebamo pomnožiti da bi se to dogodilo?
Sa 100!
Stoga Obje strane jednadžbe pomnožimo sa 100!


Slide 48

Primjer 2.: Riješi jednadžbe:
b)

-0.04 x + 1.2 = 2
-4x

+ 120

=

/ ·100

200

Koje rezultate dobivamo sljedećim množenjima?


Slide 49

Primjer 2.: Riješi jednadžbe:
b)

-0.04 x + 1.2 = 2
-4x

+ 120

-4x
-4x

=
=

=

/ ·100

200

200 - 120
80

x = -20

/ :(-4)


Slide 50

Time smo došli do kraja prezentacije. Naučili smo kako rješavati
jednadžbe u kojima se pojavljuju razlomci, mješoviti i decimalni brojevi.
Ako ti nešto nije jasno, vrati se na primjere iz prezentacije i ponovo ih
prouči.
Ako si sve shvatio, uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i riješi ih!
Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš
prekontrolirati jesi li dobro riješio.
Sretno! 
Rješenja:
1.) Riješi jednadžbe:

a) b = -3

1
3b
a) -1
+ 0.05 = b 4
5
b) -x - 2

1
=
3

b) x = -2

-x
- 0.5
3

c) c = -2

c) 0.3c - 2.1 = c - 0.7
d) 0.03x = 0.7 + x
e)

a + 0.5 = 1 1 a 4
2

3
4

1
5

d) x =

-70
97

e) a =

14
25


Slide 51

Autorica prezentacije:

Antonija Horvatek
lipanj 2008.


Slide 52

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima.
U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama.
Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za
objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,
udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,
radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano
uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete).
Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago
ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...

Antonija Horvatek

Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/