TEORIJA KAOSA - FRAKTALI

“Zbog jednog je čavla potkova izgubljena.

Zbog jedne potkove konj je izgubljen.

Zbog jednog konja, glasnik je izgubljen.

Zbog jednog glasnika, bitka je izgubljena.

Zbog jedne bitke kraljevstvo je izgubljeno.

Sve zbog jednog čavla u potkovi.”

Kaos

 Teorija kaosa je grana matematike koja proučava dinamičke sustave koji su izrazito osjetljivi na početne sustave.

 Nasumično ponašanje

4. fizikalna revolucija?

 Krši zakone fizike, postavlja nezgodna pitanja  Uzima kao bitno posljedice, ne zakone  Koristi računalo ne kao kalkulator

Determinizam

  Paradigma znanosti do danas “Ukoliko znamo uvjete i zakone možemo predvidjeti ponašanje sustava.”   Atmosfera? Fluktacije?

 Kaotični determinizam

Redukcionizam

   PROBLEM:    1. dio  riješi 2. dio  riješi problem riješen! 3. dio  riješi Nedjeljivi problemi?

Interakcije dijelova daju sumu?

 Problem dvostrukog njihala?

LED osvjetljenje dvostrukog njihala:

Povijesti kaosa

  Henri Poincaré – problem triju tijela  Mogu postojati orbite koje koje nisu periodične, a ne približavaju se ili udaljuju međusobno.

Birkoff, Kolmogorov, Cartwright, Smale  Problem triju tijela (Birkoff)  Turbulencije  Radijski inžinjering

Edward Lorenz

    Predviđao vrijeme na računalu, save as? Računalo radi sa 6 znamenki ali sprema samo 3 0.506127 = 0.506?

Potpuno drugačiji rezultati!

Lorenzov atraktor

   Lorenzov atraktor je kaotično preslikavanje, istaknuto po svom leptirolikom obliku Složen i neponavljajući uzorak (fraktal) Pokazuje butterfly effect

Butterfly effect

 “Ako leptir zamahne krilima u Pekingu može uzrokovati uragan na Floridi.”  Dotadašnja znanost odbacuje sitne greške kao slučajne i greške u mjerenju

Henri Poincaré

“Vrlo sitan uzrok kojeg nismo predvidjeli stvara posljedicu koju vidimo, i onda kažemo da je to posljedica slučajnosti.”  Zapravo je limitiran jer uglavnom snowball effect ne postoji

Efekt leptira

Primjena

     Kaotično ponašanje ne ovisi o sustavu Mehanika fluida (turbulencije) Aritmije, epilepsije, epidemije Evolucija, rast broja jedinki u populaciji Potresi, astrofizika

Primjena

GEOMETRIJSKI NIZ U FRAKTALNIM LIKOVIMA

GEOMETRIJSKI NIZ



Geometrijski niz je niz brojeva kod kojeg je količnik svakog člana i člana ispred njega uvijek stalan broj. Taj broj označavamo sa

q

i nazivamo ga kvocijentom, a računamo ga pomoću formule

q



a n a n

 1

FRAKTAL

   Objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo Beskonačni Samosličnost:  Savršena  Približna

Mandelbrotov set

Niels Fabian Helge von Koch

ČUDOVIŠTE ZAROBLJENO UNUTAR SAVRŠENSTVA

POSTUPAK JE JEDNOSTAVAN

GEOMETRIJSKI NIZ?

L1=3 L2= 3*4 dužina (svaka je 1/3 ) L= 3* 4*(1/3) DULJINA JE BESKONAČNA !

POVRŠINA BESKONAČNE KRIVULJE JE BESKONAČNA ! OPSEG JE BESKONAČAN !

STARI GRCI IPAK SU

USTANOVILI DRUGAČIJE...



Teorija kružnice kao savršenog geometrijskog lika



Beskonačno zarobljeno u konačnom ???



Gornja granica ipak POSTOJI !

KOLIKO JE DUGA BRITANSKA OBALA?

 Godine 1967.matematičar Benoit Mandelbrot u svom radu “fenomen obale “ daje prve naznake o fraktalima  OBALA JE BESKONAČNO DUGA! – tezu objašnjava preko svojstva samosličnosti  Riječ FRAKTAL u njegovim se djelima prvi put spominje tek 1975. godine.

Kochova antipahuljica

KOCHOVA KRIVULJA

SIERPINSKI TROKUT

WACLAW SIERPINSKI

Također jednostavno



DRUGI NAČIN

SIERPINSKI TROKUT IMA BESKONAČNU POVRŠINU !

U svakoj se iteraciji izrezuje trokut čija površina iznosi jednu četvrtinu osnovnog trokuta: P1= 1 P2=3 * ¼ P3= 9* 1/16 itd.

SIERPINSKI TEPIH

SHVATITI BESKONAČNOST SVEMIRA?



Kraj i konačnost?



Dimenzije?



Predodžba i zaključaK?



Beskonačnost ?

Izvori: Vladimir Paar: Fizika 4, udžbenik za četvrti razred gimnazije, Deterministički kaos http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory http://www.teach12.com/ttcx/coursedesclong2.aspx?cid=1333 http://en.wikipedia.org/wiki/Predictability http://en.wikipedia.org/wiki/Fluid_mechanics http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincare http://mathworld.wolfram.com/LorenzAttractor.html

http://elgrunon.wordpress.com/ Lesmoir-Gordon, NigelRood, WillEdney, Ralph: Fraktalna geometrija za početnike http://bs.wikipedia.org/wiki/Fraktal Andrea Barčan i Konrad Burnik: Koliko je duga Britanska obala? (prezentacija)