Transcript PPS
KAOS I LORENZOV
SUSTAV
STUDENTICA: Helena Vučić
MENTOR: prof.dr.sc. Ivica Gusić
LOGO
SADRŽAJ
UVOD
TEORIJA KAOSA
Kaotični sustav
LORENZOV SUSTAV
Lorenzov atraktor
Lorenzove jednadžbe
Lorenzovo vodenično kolo
PRIMJERI KAOTIČNIH SUSTAVA
PRIMJENA TEORIJE KAOSA
ZAKLJUČAK
UVOD
Težnja ka egzaktnom matematičkom opisu
nekog procesa i mogućnosti predviđanja
budućeg stanja
Mali broj
varijabla
EGZAKTNO
RJEŠENJE
Malo
stupnjeva
slobode
Sustavi u prirodi – nepravilni, neuređeni:
Mnoštvo ulaznih varijabli
Veliki stupnjevi slobode
KOMPLEKSAN
RAČUN
Razvoj teorije kaosa
Cilj:pronalazak poretka u nasumičnim
podacima – ’’red u neredu’’
TEORIJA KAOSA
Područje
determinističkog kaosa
• Opis procesa
određenom jednadžbom
• Primjeri: populacijska
jednadžba, jednostavno
njihalo
Područje
kvantnomehaničkog kaosa
• Opis procesa
vjerojatnosnim izrazom –
stohastički proces
• Primjeri: Brownovo
gibanje, atmosferske
promjene
Kvalitativno proučavanje nestabilnog
neprirodnog ponašanja u determinističkim
nelinearnim dinamičkim sustavima
Kaotični sustav
Kontinuiran i diskontinuiran
Karakteristike:
Osjetljivost na početne uvjete
Jako guste periodne orbite
Trajektorije sustava se nikad ne ponavljaju i
ispunjavaju sav dostupan prostor
Sustav teži nekoj stabilnoj vrijednosti (atraktor)
Rješenja sustava dobiva se postupkom
iteracije
x1=f(x0), x2=f(x1), x3=f(x2)
ako rezultati teže nekoj vrijednosti –
ATRAKTOR PERIODE
LORENZOV SUSTAV
Edward N. Lorenz-otac teorije kaosa
Bavio se problemom predviđanja
vremena (model oblaka i zračnih
struja)
Atmosfera je predstavljala sustav fluida, a
uvjete u njoj opisao je sustavom od 3
diferencijalne jednadžbe (Lorenzov sustav)
Dobivena krivulja – dvostruka spirala
Dokaz uspješnosti sustava: kružno gibanje
vrućeg fluida (vodeničko kolo)
Proučavajući vremenske prilike, prvi je uočio
vezu između neperiodičnosti i nepredvidivosti
Ustanovio je da:
gomilanje podataka i varijabli neće povećati
točnost vremenske prognoze
mala promjena vrijednosti u početnim
parametrima može uzrokovati velike promjene u
vrijednosti rezultata
Lorenzove jednadžbe
Matematički opis sustava na temelju modela
konvekcije fluida
Model čini fluid u ograničenom prostoru, čije
se dno grije, a vrh hladi:
Male razlike u temperaturi
Miran i stabilan sustav
Formiranje 2 strujna valjka
Veće razlike u temperaturi
Stvaranje valjkastog kotrljanja
Jako velike razlike u temperaturi
Lelujanje strujnih valjaka
Nestabilan sustav – kaos
pravilno
ponašanje
lelujanje
valjaka
Dobiven sustav od 3 diferencijalne jednadžbe:
x intenzitet konvekcije
y razlika temperature
z razlika linearnog i stvarnog
vertikalnog temperaturnog profila
σ - Prandtlov broj
ρ - Rayleighlijev broj
b - geometrijski faktor
Lorenzov atraktor
Grafičko rješenje Lorenzovog sustava je
krivulja koji pokazuje kako se rezultati
mijenjaju u vremenu – LORENZOV
ATRAKTOR
Karakteristike krivulje:
vrlo složena
beskonačno dugačka
nikada se ne presijeca
ima fraktalna svojstva
osjetljiva na početne uvjete
nalik na krila leptira
EFEKT LEPTIROVIH KRILA
Ovisnost Lorenzovog atraktora o
Rayleighjevom broju
ρ=14, σ=10, b=8/3
ρ=15, σ=10, b=8/3
ρ=13, σ=10, b=8/3
ρ=28, σ=10, b=8/3
Lorenzovo vodenično kolo
Mehanička analogija kruga konvekcije
Na vrhu voda stalno teče u posude obješene na
rubu kola, a svaka posuda ima rupicu iz koje
voda istječe
Kutna brzina rotacije kola ovisi o protoku
tekućine
1. Polagan tok vode – posuda na vrhu se ne
stigne dovoljno napuniti da nadvlada silu
trenja – kolo se ne pokreće
2. Brži tok vode – težina najviše posude
počinje okretati kolo – jednolika vrtnja
3. Jako brzi tok vode – pune posude se
kreću do dna i uspinju na drugoj stani zbog
čega kolo usporava – kaotična vrtnja
PRIMJERI KAOTIČNIH SUSTAVA
Primjer 1. – Lorenzov atraktor
Rješenje Lorenzovog sustava od 3 diferencijalne
jednadžbe izvedeno je pomoću Matlaba
SIGMA=10.;
R=28.;
% početni uvjeti
x0=[10 10 10];
B=8./3.;
u = [SIGMA*(x(2)-x(1)), x(1)*(R - x(3)) - x(2),
x(1)*x(2) - B*x(3)]'
% vrijeme
t0=0; tf=40;
% integracija ode45 funkcijom
[tout, xout] = ode45('lorenzf', [t0, tf], x0);
Sustav jednadžbi je numerički
integriran, a rezultat je ispisan u 3D obliku
Primjer 2. – Lorenzovo vodenično kolo
Matematički model vodeničnog kola s 4 posude
izrađen je pomoću Simulink modela u Matlabu
Model se može podijeliti na:
1. Dinamiku rotacije
2. Trenje vodeničnog kola
3. Razinu tekućine u posudama
1. DINAMIKA ROTACIJE:
Jednadžba ravnoteže momenata
2. MOMENT TRENJA dijeli se na:
•
Suho trenje
•
Viskozno trenje
3. RAZINA TEKUĆINE
Jednadžba ravnoteže
Izraz za tok istjecanja
Punjenje: potpuno ili djelomično
(postavljanje uvjeta)
Dobiveni rezultati – odaziv kutne brzine vrtnje
PRIMJENA TEORIJE KAOSA
Povezivanje različitih znanstvenih disciplina
Široki raspon primjene u:
biologiji – praćenje populacija vrsta
tehnici – teorija katastrofa
medicini – kaos u respiratornom, živčanom i
krvnom sustavu
društvenim znanostima – utjecaj pojedinca na
svjetska zbivanja
ekonomiji – stanje dionica na burzi
ZAKLJUČAK
Kaos se javlja kod sustava koji su osjetljivi
na početna stanja
Koristi se u opisivanju prividno kompleksnog
i nepravilnog ponašanja sustava
Interdisciplinarnost - povezivanje različitih
znanstvenih disciplina
Široka primjena u različitim područjima
ljudskog djelovanja
Uvijek će biti mjesta za kaos
LITERATURA
1. M. Pašić, Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere, Skripta FER,
Zagreb,2005. (5. poglavlje)
2. James Gleick, Kaos-stvaranje nove znanosti, 1991
3. M.W.Hirsch, S.Smale, R.L.Deveney, Diferential equations, Dynamical
Systemsand an Introduction to Chaos (14. poglavlje)
4. Steven H. Strogatz, Nonlinear dynamics and Chaos,
Perseus Books
Publishing, New York, 1994
5. M. Kolaković, I. Vrankić, Teorija kaosa, Zbornik Ekonomskog fakulteta u
Zagrebu, godina 2, broj 1, 2004
6. Mirko Orlić, Edward N. Lorenz – znanstvenik koji je zbunio Nobelove
komitete, Priroda, vol 98, 2008
7. J.Mendelson, E. Blumenthal, Chaos Theory and Fractals,
8. J. Louis Tylee, Chaos in a Real System, Simulation, 64: 3, 176-183, 1995
9. Hendrik Richter, Controling the Lorenz system: combining global and local
schemes, Chaos, Solitions and Fractals 12 (2001) 2375 – 2380
10.GoranKrstačić, Nelinearna dinamika i “teorija kaosa” u kardiologiji, Medix,
godina 10, dvobroj 54/55,2004
LOGO