Transcript PPT - Zavod za matematiku

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I
TEHNOLOGIJE
Zavod za matematiku
Uvod u matematičke metode u inženjerstvu
FRAKTALI
Voditelji:
Dr. sc. Ivica Gusić
Dr. sc. Miroslav Jerković
Studenti:
:
Brdar Katarina
Dobrinić Mateja
Joskić Robert
•
•
•
geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija strogo
veća od topološke dimenzije
objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o
razlučivosti koju koristimo
moguće ih je uvećavati beskonačno mnogo puta, a da
se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji
prije povećanja nisu bili vidljivi
1) Samo-sličnost
svojstvo objekta da sliči sam sebi bez obzira koji dio
promatrali i koliko ga puta uvećavali
2) Fraktalna dimenzija
vrijednost koja nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki
fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi
d=log(n)/log(s)
3) Oblikovanje iteracijom
svojstvo da se objekt generira nekim matematičkim ili
geometrijskim postupkom, tako da se u osnovni
(početni) objekt iterativno ugrađuju svojstva generatora
•
•
•
•
•
17. st. - Leibniz je definirao ponavljanje
samosličnosti (uzeo u obzir samo liniju)
1872. - Karl Weierstrass je dao primjer funkcije
kojom je definirao samosličnost (preapstraktna)
1904. - Helge von Koch je dao geometrijsku
interpretaciju slične funkcije
1915. - Waclaw Sierpiński je kreirao svoj uzorak
fraktala pomoću trokuta
1975. - Benoit Mandelbrot je skovao riječ fraktal i
definirao njeno značenje
Podjela prema stupnju samosličnosti
1) Potpuno
samoslični
fraktali
2) Kvazi
samoslični
fraktali
3) Statički
samoslični
fraktali
Slika 1. Hilbertova
krivulja
Slika 2.
Mandelbrotov
skup
Slika 3. Perlinov
šum
Podjela prema načinu nastanka
1) Iterativni
fraktali
2) Rekurzivni
fraktali
Slika 4. Slučajni fraktal (munja)
3) Slučajni
fraktali
Slika 5. Planina stvorena koristeći Perlinov šum
Slika 6. Raslinje stvoreno pomoću fraktala
Prirodni fraktali
Maatematički fraktali


•
procedura IFS (iterated function sheme)
potrebno imati: I – inicijator; G – generator; m –
sličnosti S koje prevode inicijator u generator odnosno
•
potom se formira niz skupova En na slijedeći način:
•
gdje je F fraktalni skup
inicijator je I=[0,1]
generator je E1=G=
definiramo
gdje su
Na kraju Cantorov skup F zadovoljava:
inicijator je I=[0,1]
generator je E1=G=
definiramo
Na kraju Kochova krivulja F zadovoljava:
•
•
•
•
Rekurzija (u matematici i računarstvu) – metoda
definiranja funkcija u kojima se definirajuća funkcija
primjenjuje unutar definicije
Općenito – za opis procesa ponavljanja objekata na
samosličan način
Rekurzivna definicija – definira objekte u terminima
‘prethodno definiranih’ objekata definirajuće klase
Definiranje osnovnih slučajeva
definiranje pravila
za razbijanje složenih slučajeva u jednostavne
Rekurzivni algoritam
iteracija – podjela segmenta na tri dijela, uklanjanje
središnjeg dijela
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Slika 7. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Cantorov skup
Rekurzivni algoritam
iteracija – podjela segmenta na četiri dijela
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Slika 8. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s nultom, za Kochovu krivulju
•
•
•
Fraktali su objekti koji daju jednaku razinu detalja
neovisno o razlučivosti koju koristimo, a njihova
osnovna svojstva su samo-sličnost, fraktalna dimenzija
i oblikovanje iteracijom.
U programu Matlab napravljena su dva programa koja
prikazuju četiri stupnja iteracije rekurzivnim
algoritmom za Kochovu krivulju i Cantorov skup.
Pokretanjem programa inicijator se iterativno
transformira u generator na temelju svojstava sličnosti
koja čuvaju oblike, a mijenjaju položaj i veličinu
kutova
•
•
•
•
M. Pašić, Uvod u matematičku teoriju kaosa za
inženjere, Skripta FER, Zagreb, 2005. (57.-83.)
http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal
http://www.viva-fizika.org/fraktali-ii-deo/
http://elgrunon.wordpress.com/2007/03/25/koc
hova-pahuljica-cudoviste-zarobljeno-unutarsavrsenstva/