Transcript RJEŠAVANJE NELINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI

RJEŠAVANJE
NELINEARNIH
ALGEBARSKIH
JEDNADŽBI
Metoda bisekcije, iteracije,
tangente, sekante, regula falsi
Problem?
Zadana je jednadžba f(x)=0
 Prvo moramo odrediti interval u kojem se
nalazi nul točka funkcije
 Ako se nul točka nalazi u [a,b], onda vrijedi
f(a)f(b)<0
 Što ako je funkcija prekidna?

Kako odrediti interval?
1.
2.
Tablično
Grafički
Zadatak: Odredite intervale u kojima se nalaze
rješenja jednadžbe
e  3x  0
x
Metoda polovljenja intevala ili
metoda bisekcije
Funkcije f(x) je definirana na intevalu [a,b], gdje
bez smanjenja općenitosti uzmimo da ja a<b, i
pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi
barem jedna nultočka
x0  a
x1  b
ba
c
 f (c )  0
2
f (a ) f (c)  0  b : c
f (c) f (b)  0  a : c
c
ba
,...
2
Onda je gotovo! A ako to ne vrijedi nego:
Pogreška
Na početku je zadana točnost

U prvom koraku pogreška je jednaka
U k-tom koraku greška je
Kriterij zaustavljanja
bc 
ba
2
ba
2k
ba

2k
Zadatak:
Metodom bisekcije rješite jednadžbu
s točnošću 10-3
x  1,5  0
3
Moramo odrediti interval gdje se nultočka nalazi, a zatim
naći rješenje gdje pritom pazimo da se zaustavimo kada
zadovoljimo kriterij zaustavljanja.
Koja je mana ove metode

Mana ove metode je da je spora tj. postoje
puno brže metode nalaženja rješenja
jednadžbe odnosno postupci koji puno
brže konvergiraju k rješenju
METODA ITERACIJE
Funkcije f(x) je definirana na intevalu [a,b], gdje
bez smanjenja općenitosti uzmimo da ja a<b, i
pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi
barem jedna nultočka.
Zadana je funckija f(x)=0.
Prvo dodamo lijevo i desno x, pa imamo
x+f(x)=x
Zatim lijevu stranu zamijenimo s novom
funcijom
 ( x)  x
Naziva se metoda iteracije jer se uvrštavanjem nekog “rješenja” sve
više približavamo pravom rješenju. Taj postupak ponavljamo
određen broj puta dok ne zadovoljimo kriterij zaustavljanja.
x0
“rješenje”
x1   ( x0 )
x2   ( x1 )

xn 1   ( xn  2 )
xn   ( xn 1 )
ZADATAK

Riješite jednadžbu ako znamo da se njezino
rješenje nalazi na intervalu [3,5]
x  ln x  2  0

Uz uvjet
  10
4
Newtonova metoda
(metoda tangente)

Uvjeti:
 Funkcija
je konveksna
ili konkavna

f ( a ) f (b)  0
f ( x0 ) f ' ' ( x0 )  0

Ponovimo isti postupak više puta:
Kako izračunati novu približnu
vrijednost nul točke(aproksimaciju)
f ( xn )
xn 1  xn 
f ' ( xn )
Pogreška i kriterij zaustavljanja
Na početku je zadana točnost

f ( xn )
| xn1  xn |

f ' ( xn )
Zadatak

Izračunajte rješenja jednadžbe
x-sinx-0.25=0
s točnošću 10-4
METODA SEKANTE

Uvjeti:
 Funkcija
je konveksna ili
konkavna
 Zadane su prva dva čvora

f (a) f (b)  0
Kako izračunati novu približnu
vrijednost nul točke(aproksimaciju)
xn  xn 1
xn 1  xn 
f ( xn )
f ( xn )  f ( xn 1 )
Pogreška i kriterij zaustavljanja
Na početku je zadana točnost

xn  xn1
| xn1  xn |
f ( xn )  
f ( xn )  f ( xn1 )
Izračunajte rješenja jednadžbe
2
1
arctan x  2
1

x 4
s točnošću 10-4
REGULA FALSI

Uvjeti:

f (a) f (b)  0
Ono što ne mora biti zadovoljeno je uvjet konveksnosti
odnosno konkavnosti
Zašto ne mora biti zadovoljen uvjet
konveksnosti odnosno konkavnosti

Jer se metoda prilagođava
situaciji, ali na koji način:
pomoću granica glavnog
intervala izračuna novu točku:
ba
c b
f (b)
f (b)  f (a)
A zatim čini provjeru:
f (a ) f (c)  0  b : c
f (c) f (b)  0  a : c
Ovim postupkom se napravi
korekcija početnog intervala
Pogreška i kriterij zaustavljanja
Ima isti kriterij zaustavljanja kao i metoda sekante.
KOMBINIRANE METODE

Možemo kombinirati navedene metode:
 Sekanta
i bisekcija
 Regula falsi i bisekcija
 Tangenta i sekanta