Transcript Lagrangeov interpolacijski polinom
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Aproksimacija
f
prekomplicirana za izračunavanje funkcijskih vrijednosti pa ju mijenjamo nekom funkcijom
F
koja je jednostavnija za računanje • npr:
f
(
x
)
e x
F
(
x
) 1
x
x
2 2 !
x n n
!
Interpolacija • funkcija
f
je zadana tablično
x y x 0 y 0 ...
...
x y n n a = x 0 < x 1 < ... < x n = b
čvorovi interpolacije(interpolacijske točke) • funkciju
f
mijenjamo funkcijom
F
za koju vrijedi:
F
(
x i
)
f
(
x i
),
i
0 , 1 ,...
n
•
F
je interpolacijska funkcija
Teorem • Ako je zadana
n+1
točka interpolacijski čvorovi
(x i ,y i ),i=0,1,...,n
tada postoji jedinstveni polinom
n
-tog stupnja koji prolazi kroz te točke
Primjer 1 •
znate sljedeće podatke: f
( 2 , 73205 )
x y 1 2 2 3 3 6 f
(
x
)
x
2 2
x
3
Primjer 2 • Mathematica: funkcija
f(x)=lnx x 1 2 3 y ln1 ln2 ln3
• Što se događa ako povećamo broj čvorova?
Lagrangeov interpolacijski polinom
Ekvidistantni čvorovi • Lagrangeov polinom izgleda:
t x
0 ,
x
1
x
h x x
0 0
h
, ,
x n L n
(
x
) ( 1 )
n
x
0
n
h t
(
t
1 ) (
t n
!
n
)
i n
0 ( 1 )
i
i n
f t
(
x i i
) ,
Primjer 1 – pomoću Lagrange •
Odredite Lagrangeov interpolacijski polinom ako znate sljedeće podatke: x y 1 2 2 3 3 6 f
(
x
)
x
2 2
x
3
Opća formula za Lagrangeov interpolcijski polinom
L n
(
x
)
i n
0
f
(
x i
) 0
i
j j
n x x i
x j x j
ili
L n
(
x
)
i n
0 (
x
n x i
(
x
1 ) '
n
) 1
y i
(
x i
) gdje
n
1 (
x
) '
n
1 (
x i
) (
x
(
x
x
0 )(
x
x
0 ) (
x x
1 ) (
x
x i
1 )(
x x n
)
x i
1 ) (
x
x n
)
Aitkenova interpolacijska shema • Ako želimo izračunati vrijednost funkcije
f
u nekoj točki
a
x
0 ,
x n
,
a
x i
,
i
0 , 1 , ,
n
, ne moramo izračunavati Lagrangeov polinom pa tek onda uvrštavati točku
a
u taj polinom, nego koristimo sljedeću shemu:
x 3 x 4 x i x 0 x 1 x 2 y 3 y 4 y i y 0 y 1 y 2 x i -a x 0 - a x 1 - a x 2 - a x x 3 4 - a - a L i-1,i L i-2,i-1,i L i-3,i-2,i-1,i L i-4,...i
L L 01 12 L 23 L 34 L 012 L 123 L 234 L 0123 L 1234 L 01234 f(a)
gdje su:
L
01
x
1 1
x
0
y y L
12
x
2 1
x
1
y
1
y
2 0 1
x
0
a x
1
a x
1
x
2
a
a L
0
n
x n
1
x
0
L
0 (
n
1 )
L
1
n x
0
a x n
a
Primjer 1 - Excel a
xi
1 2 3 2,73205
yi
2 3 6
xi-a
-1,73205 -0,73205 0,26795
L(i-1,i) L(i-2,i-1,i)
3,73205 5,19615 4,999997
Ocjena greške
f
(
x
)
L n x
(
M n
n
1 1 )!
n
1 (
x
) gdje
M n
1 max
x
x
0 ,
x n
f
(
n
1 ) (
x
)
Primjer 2 – Mathematica ocjena greške
f
(
x
) ln
x L n
(
x
) 0 .
143841
x
2 1 .
12467
x
0 .
980829