Transcript Funkcije

Funkcije
Što su funkcije?
• Što je domena, a što kodomena
funkcije?
• Koje simboličke zapise koristimo pri
zapisivanju funkcija?
...
•
U potrazi za odgovorima,
krenimo s primjerima
iz svakodnevnog života...
Primjer 1.: Kad smo bili mali i kad su nas učili kako
se zove koji dan u tjednu, rekli su nam da je:
1. dan ponedjeljak, 2. dan utorak, 3. je srijeda itd.
1To možemo
→ ponedjeljak
i ovako zapisati:
2
3
4
5
6
7
→
→
→
→
→
→
utorak
srijeda
četvrtak
Time jeMožemo
zadana reći
FUNKCIJA
da je
koja svakom broju od 1 do 7
pridružuje
točno
pridružen
po jednu
jedan riječ.
dan.
petak
subota
nedjelja
Za početak zapamtimo da
funkcija
“nečemu pridružuje nešto”.
Primjer 2.: U jednoj školi ima 6 viših razreda:
5.a →
21
5.b →
6. →
19
26
7. →
8.a →
25
17
8.b →
18
Za svaki razred možemo
Time
je zadana
FUNKCIJA
Možemo
reći koliko
da
je svakom
izbrojati
učenikakoja
svakom
razredu
od do
5.a8.b
do 8.b
razredu
odu5.a
ima
njemu.
pridružuje
točno
broj.
pridružen
brojjedan
učenika.
Dakle, i u ovom primjeru
funkcija
“nečemu pridružuje nešto”.
Uočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svaka
funkcija ! Vratimo se na 1. primjer:
1
2
3
4
5
6
7
→
→
→
→
→
→
→
ponedjeljak
utorak
srijeda
četvrtak
petak
subota
nedjelja
Kao prvo, ovdje imamo brojeve
kojima nešto pridružujemo!
DOMENA
Oni čine DOMENU .
Nadalje, imamo objekte
koje pridružujemo!
KODOMENA
Oni čine KODOMENU .
Dakle, u domeni su objekti
kojima nešto pridružujemo.
Dakle, u kodomeni su objekti
koje pridružujemo.
Uočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svaka
funkcija ! Vratimo se na 1. primjer:
1
2
3
4
5
6
7
DOMENA
→
→
→
→
→
→
→
ponedjeljak
utorak
srijeda
četvrtak
petak
subota
Svaka se funkcija
sastoji od:
- domene
- kodomene
- pravila
pridruživanja
nedjelja
KODOMENA
I treće, imamo pravilo po
kojem pridružujemo!
PRAVILO
To nam pravilo npr.PRIDRUŽIVANJA
kaže da broju 1 pridružujemo baš ponedjeljak,
a ne npr. četvrtak.
Uočimo te pojmove i u 2. primjeru:
5.a
5.b
6.
7.
8.a
8.b
→
→
→
→
→
→
21
19
26
25
17
18
Što je ovdje domena?
Domenu čine razredi 5.a, 5.b, 6., ... 8.b .
Preciznije, domena je skup
{ 5.a, 5.b, 6., 7., 8.a, 8.b } .
Što je kodomena?
Kodomenu čine brojevi 21, 19, 26...
Preciznije, kodomena je skup
{ 21, 19, 26, 25, 17, 18 } .
Po kojem pravilu se vrši pridruživanje?
Svakom razredu pridružuje se broj
učenika tog razreda.
Zadatak 1.:
Ivan
Ana
Mira
Joža
→
→
→
→
U obitelji Jelić je četvero djece:
9
7
6
5
Imamo
li domena?
i ovdje funkciju?
Što
joj je
Svakog od njih možemo
- Imamo.
Domenu
čine djeca (tj. imena) Ivan,
upitati koliko ima godina.
Ana, Mira i Joža.
Dakle, domena je skup
{ Ivan, Ana, Mira, Joža } .
Što je kodomena?
Kodomenu čine brojevi 9, 7, 6 i 5.
Dakle, kodomena je skup { 9, 7, 6, 5 } .
Možemo ga i ovako zapisati: { 5, 6, 7, 9 } .
Po kojem pravilu se vrši pridruživanje?
Svakom djetetu se pridružuje broj
koji govori koliko ono ima godina.
Primjer 3.:
Ivan
Ana
Mira
Joža
→
→
→
→
Zadržimo se još malo na obitelji Jelić:
plava
Svako dijete možemo upitati
koju boju najviše voli.
žuta, narančasta
crvena
- (nijednu boju ne voli posebno)
Uočavaš li po čemu se ovo pridruživanje razlikuje od prethodnih?
•
Ani su pridružene dvije boje
•
Joži nije pridružena nijedna boja
Funkcija ne dopušta nijedno od toga !!!
Funkcija uvijek svakom elementu domene pridružuje točno jedan
element kodomene !!!
Stoga u ovom primjeru nemamo funkciju.
(imamo pridruživanje, ali se ono ne naziva funkcijom)
Zapamtimo što vrijedi
za svaku funkciju:
Funkcija
svakom elementu domene
pridružuje
točno jedan element kodomene.
Zadatak 2.:
a) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Provjerimo jesmo li dobro razumjeli:
siječanj
veljača
ožujak
travanj
svibanj
lipanj
srpanj
kolovoz
rujan
listopad
studeni
prosinac
Je li time
zadana
Možeš
li uočiti
po funkcija?
kojem pravilu se
ovdje vrše pridruživanja?
Je.
Svakom
od 1 do 12 pridružen je
Po čemu broju
to znamo?
odgovarajući
mjeseca
Po
tome što jenaziv
svakom
brojuuizgodini.
lijevog
stupca pridružen točno jedan naziv iz
desnog.
Što je ovdje domena?
Domena je skup { 1, 2, 3, 4, ... 12} .
Što je u ovom primjeru kodomena?
Kodomena je skup
{ siječanj, veljača, ožujak, ... prosinac } .
Zadatak 2.:
b) Zagreb
Varaždin
Rijeka
Osijek
Split
Dugo Selo
Crikvenica
Provjerimo jesmo li shvatili:
→
→
→
→
→
→
→
ZG
VŽ
RI
OS
ST
-
Možeš li uočiti po kojem pravilu se
ovdje vrše pridruživanja?
Gradovima iz lijevog stupca
pridružene su odgovarajuće kratice
sa registarskih tablica.
Imamo li i ovdje funkciju?
Nemamo.
Zašto?
Zato što Dugom Selu i Crikvenici
ništa nije pridruženo, a funkcija bi
svakome iz lijevog stupca trebala
pridružiti točno jedan objekt iz
desnog.
Zadatak 2.:
Provjerimo jesmo li shvatili:
c) siječanj →
veljača
ožujak
travanj
svibanj
lipanj
srpanj
kolovoz
rujan
listopad
studeni
prosinac
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
31
28, 29
31
30
31
30
31
31
30
31
30
31
Možeš li uočiti po kojem pravilu se
ovdje vrše pridruživanja?
Svakom mjesecu pridružen je
broj dana u tom mjesecu.
Je li time zadana funkcija?
Nije.
Zašto?
Jer su veljači pridružena dva broja,
a funkcija bi svakome iz lijevog
stupca trebala pridružiti
točno jedan objekt iz desnog.
Zadatak 2.:
d) 1
2
3
4
5
→
→
→
→
→
Provjerimo jesmo li shvatili:
nedovoljan
dovoljan
dobar
vrlo dobar
odličan
Je kojem
li timepravilu
zadanase
funkcija?
Po
ovdje vrše
pridruživanja?
Je.
Svakom
od 1 do 5 pridružen je
Po čemu broju
to znamo?
naziv ocjene koju predstavlja taj broj.
Po tome što je svakom broju iz lijevog
stupca pridružen točno jedan naziv iz
desnog.
Što je ovdje domena?
Domena je skup { 1, 2, 3, 4, 5 } .
Što je ovdje kodomena?
Kodomena je skup { nedovoljan, dovoljan,
dobar, vrlo dobar, odličan } .
Nadam se da nakon ovih primjera
možeš razumjeti
rečenicu:
Funkcija
iz skupa D
u skup K
je pravilo po kojem se
svakom elementu skupa D
pridružuje
točno jedan element skupa K.
Skup D nazivamo domena.
Skup K nazivamo kodomena.
Prepiši sve sa ove
stranice u bilježnicu!
Ali matematičari kao matematičari...
...oni vole brojevima pridruživati brojeve...
Pa krenimo na primjere s brojevima...
Primjer 4.:
1
2
5
8
10
14
→
→
→
→
→
→
2
4
10
16
20
28
Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje
vrše pridruživanja?
Svakom broju iz lijevog stupca pridružen je
dva puta veći (tj. dvostruki) broj.
Je li time zadana funkcija?
Je.
Zašto?
Jer je svakom broju iz lijevog stupca
pridružen točno jedan broj iz desnog stupca.
Što je ovdje domena?
Domena je skup { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } .
Što je ovdje kodomena?
Kodomena je skup { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } .
Primjer 4.:
1
2
5
8
10
14
→
→
→
→
→
→
2
4
10
16
20
28
Upoznajmo simboličke zapise
koje koristimo kod funkcija,
a koji nam
olakšavaju zapisivanje !
Primjer 4.:
1
2
5
8
10
14
→
→
→
→
→
→
2
4
10
16
20
28
Ako bismo željeli opisati pravilo pridruživanja
ove funkcije, rekli bismo:
Ova funkcija svakom broju pridružuje dva
puta veći broj.
Evo kako to kraće možemo zapisati:
f (x) = 2∙x
Objasnimo taj zapis!
izraz 2∙x nakon znaka =
f je ime funkcije
x u zagradi
govori nam što se pridružuje
Ime funkcije može biti
bilo koji broj
bilo kojepredstavlja
slovo.
onom broju x iz zagrade
Mi ćemo najčešće
koristiti
kojem
nešto pridružujemo U ovom primjeru pridružujemo
slova f, (bilo
g, h. koji broj iz domene)
mu 2∙x , tj. 2 puta veći broj.
Primjer 4.:
1
2
5
8
10
14
→
→
→
→
→
→
2
4
10
16
20
28
Ako bismo željeli opisati pravilo pridruživanja
ove funkcije, rekli bismo:
Ova funkcija svakom broju pridružuje dva
puta veći broj.
Evo kako to kraće možemo zapisati:
f (x) = 2∙x
Ovaj zapis čitamo: " ef od iks jednako je dva puta x "
Dakle, f(x) čitamo: " f od x "
Primjer 4.:
1
2
5
8
10
14
→
→
→
→
→
→
2
4
10
U zapisu f(x) = 2∙x ne piše što je domena,
a što kodomena funkcije.
16
20
Matematičari su i za to smislili kratki zapis:
28
f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 }
ime funkcije
Vjerojatno i sam naslućuješ
koji dio zapisa što govori...
domena
kodomena
Primjer 4.:
1
2
5
8
10
14
→
→
→
→
→
→
2
4
10
U zapisu f(x) = 2∙x ne piše što je domena,
a što kodomena funkcije.
16
20
Matematičari su i za to smislili kratki zapis:
28
f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 }
Čitamo:
Funkcija f ide sa skupa 1, 2, 5, 8, 10, 14 u skup 2, 4, 10, 16, 20, 28 .
Primjer 4.:
Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka:
f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 }
f (x) = 2∙x
U prvom retku piše
ime funkcije, domena i kodomena.
nam
U drugom retku piše pravilo pridruživanja.
Primjer 4.:
Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka:
f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 }
f (x) = 2∙x
Sjećaš li se kako čitamo ta dva retka?
Funkcija f ide sa skupa 1, 2, 5, 8, 10, 14 u skup 2, 4, 10,
16, 20, 28.
f od x jednako je 2∙x .
Primjer 4.:
Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka:
f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → { 2, 4, 10, 16, 20, 28 }
f (x) = 2∙x
Što ta funkcija pridružuje broju 5 ?
5
→
10
pridruživanja...)
f(sjeti
(5)
=se
10pravila
f od 5 jednako je 10 .
To
možemo
i ovako
zapisati:
i to
čitamo:
Dopunimo:
Kako to čitamo?
f (1) = 2
f od 1 pridružuje
jednako jebroju
2 1...)
f
(2) =se4što ova funkcija
(sjeti
Što to znači?
f (8) = 16
To znači da ova funkcija broju 1
f (10) = 20
pridružuje broj 2 .
f (14) = 28
Primjer 4.:
Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka:
f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → {N2, 4, 10, 16, 20, 28, }37, 100 }
f (x) = 2∙x
Razjasnimo
još jedan detalj u vezi kodomene:
U kodomeni su brojevi koje pridružujemo brojevima iz domene,
ali u njoj smiju biti i brojevi koji ničemu nisu pridruženi.
Dakle, kodomenu možemo zadati i "šire".
Tako npr. u nju bismo mogli dopisati i brojeve npr. 37 i 100
i time ne bismo učinili ništa pogrešno.
A možemo dodati i sve preostale prirodne brojeve,
pa time dobivamo skup N.
Primjer 4.:
Dakle, funkcija je u potpunosti zadana s ova dva retka:
f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } → N
f (x) = 2∙x
Zašto N ne pišemo u vitičastoj
zagradi?
Vitičastu zagradu koristimo kad nabrajamo elemente skupa,
npr. { 1, 2, 3, 4, 5... } .
No, ako imamo oznaku za cijeli skup (npr. N, Z, Q...),
nju pišemo bez vitičaste zagrade.
Istaknimo još jednom:
DOMENA
Domenu ne možemo
zadati "šire"!
U njoj su točno oni brojevi
kojima nešto pridružujemo.
KODOMENA
Kodomenu možemo
zadati "šire"!
U njoj su oni brojevi
koje pridružujemo,
a mogu biti i još neki
(koji nisu ničemu
pridruženi).
Zadatak 3.:
...
5
4
3
2
1
0
-1
-2
...
→
→
→
→
→
→
→
→
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
Možeš li uočiti po kojem pravilu se brojevima
iz 1. stupca pridružuju brojevi iz drugog?
Svakom broju pridružen je za 3 manji broj.
Što je ovdje domena?
Domena je skup { ... 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2...},
tj. skup cijelih brojeva, skup Z.
Što je ovdje kodomena?
Kodomena je također skup Z .
Simbolički zapišimo kako je zadana ova funkcija (nazovimo je g):
g : Z → Z
Funkcija
g ide sa skupa Z u skup Z.
Kako to čitamo?
g (x) = x - 3
g od x jednako je x minus 3
Zadatak 3.:
...
5
4
3
2
1
0
-1
-2
...
→
→
→
→
→
→
→
→
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
Dopunimo:
g (4) = 1
g (-2) = -5
g (0) = -3
Kako to čitamo?
g od 4 jednako je 1 .
Kako to čitamo?
Što to znači?
g
od -2
Kako
to jednako
čitamo? je -5 .
To
znači
da ova funkcija
Što
to
znači?
g od 04jednako
je -3
. 1.
broju
pridružuje
broj
To
da ova funkcija
Štoznači
to znači?
broju -2 pridružuje broj -5 .
To znači da ova funkcija
broju 0 pridružuje broj -3 .
Simbolički zapišimo kako je zadana ova funkcija (nazovimo je g):
g : Z → Z
g (x) = x - 3
Zadatak 4.:
Dopuni sljedeće zapise ako želimo da funkcija:
a) svakom broju pridružuje 5 puta veći broj
f (x) = 5 ∙ x
ili
f (x) = 5 x
b) svakom broju pridružuje za 7 veći broj
f (x) = x + 7
c) svakom broju pridružuje 3 puta manji broj
x
__
f (x) =
3
d) svakom broju pridružuje isti taj broj
f (x) = x
e) svakom broju pridružuje suprotni broj
f (x) = -x
f) svakom broju pridružuje broj 8
f (x) = 8
Primjer 5.: Zadana je funkcija:
h : { -1, 3, 5 } → Z
h (x) = 2x - 7
Kako to čitamo?
Funkcija h ide sa skupa -1, 3, 5 u skup Z.
h od x jednako je 2x-7 .
Primjer 5.: Zadana je funkcija:
h : { -1, 3, 5 } → Z
h (x) = 2x - 7
Kako se zove ova funkcija?
funkcija h
Što joj je domena?
Domena je skup { -1, 3, 5 }.
Što je kodomena?
Kodomena je skup Z .
Koje je pravilo pridruživanja?
h(x) = 2x - 7
Primjer 5.: Zadana je funkcija:
h : { -1, 3, 5 } → Z
h (x) = 2x - 7
Kojim brojevima funkcija h nešto pridružuje?
Brojevima -1, 3 i 5 .
Izračunaj što im pridružuje!
Dakle, trebamo izračunati h(-1), h(3) i h(5) .
Krenimo od h(-1) !
Da bismo izračunali
h(-1)
trebamo
koristiti
pravilo
pridruživanja.
Pošto
nas, zanima
h(-1),
umjesto
x uvrstimo
-1 !
h (x) = 2x - 7
h (-1) = 2 ∙ (-1) - 7I u nastavku umjesto x uvrstimo -1,
h (-1) = -2 - 7
h (-1) = -9
a sve ostalo redom prepišimo !
Time smo izračunali što ova funkcija pridružuje broju -1 .
Pridružuje mu broj -9 !
Primjer 5.: Zadana je funkcija:
h : { -1, 3, 5 } → Z
h (x) = 2x - 7
Kojim brojevima funkcija h nešto pridružuje?
Brojevima -1, 3 i 5 .
Izračunaj što im pridružuje!
Dakle, trebamo izračunati h(-1), h(3) i h(5) .
Krenimo od h(-1) !
h (x) = 2x - 7
h (-1) = -2 - 7
Sad izračunajmo h(3) !
Opet
h (3) =krećemo
2 ∙ 3 - 7od pravila
h (5)pridruživanja.
= 2∙ 5 - 7
Sad
uvrstimo
h (3)u =njega
6 - 7umjesto hx (5)
= 10 -3.7
h (-1) = -9
h (3) = -1
h (-1) = 2 ∙ (-1) - 7
h (5) = 3
Nadam se da si shvatio
osnovne stvari o funkcijama
i da ćeš nakon ove prezentacije
s lakoćom rješavati zadatke!