NENAD BIJELIĆ

Rješavanje jednadžbe gibanja diskretnog dinamičkog sustava u frekvencijskoj domeni

seminar: 10.06.2011.

Formulacija problema Procijeniti ponašanje konstrukcije u određenim uvjetima, a sa svrhom dokazivanja pouzdanosti konstrukcije • • distribuirani sustav diskretni sustav funkcije kontinuiranih koordinata aproksimacija fizikalnog problema matematičkim modelom aproksimacija matematičkog modela numeričkim modelom jednadžba gibanja

Formulacija problema Procijeniti ponašanje konstrukcije u određenim uvjetima, a sa svrhom dokazivanja pouzdanosti konstrukcije • • distribuirani sustav diskretni sustav funkcije kontinuiranih koordinata aproksimacija fizikalnog problema matematičkim modelom aproksimacija matematičkog modela numeričkim modelom fizikalni problem numerički model aproksimacija

• •

time-history analiza omogućava općeniti pristup rješavanju problema dinamike konstrukcija Međutim, ponekad je zgodnije problemu pristupiti iz frekvencijske domene:

– fizikalna svojstva sustava ovisna o frekvenciji vibracija (interakcija fluid-konstrukcija, interakcija tlo konstrukcija, histerezno prigušenje) – konstitutivnu jednadžbu jednostavnije odrediti u frekvencijskoj domeni – analizom sadržaja frekvencija određene pobude moguće procijeniti sposobnost pobuđivanja konstrukcije

Ideja – koristeći prikladnu transformaciju svesti problem na jednostavniji oblik

množenje vremenska domena integral F F -1 zbrajanje frekvencijska domena množenje

Odgovor sustava prikazan integralom – kako? razmotrimo odgovor na jedinični impuls  uvrštavanjem u rješenje homogene jednadžbe gibanja (linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima) dobiva se odgovor sustava na jedinični impuls

Funkcije odgovora sustava na jedinični impuls s prigušenjem: bez prigušenja: bez prigušenja sa prigušenjem

odgovor za impuls 1 odgovor za impuls 2 ukupni odgovor

Duhamelov integral (poseban slučaj konvolucijskog integrala) odgovor sustava u vremenskoj domeni jednak je konvoluciji funkcije pobude i funkcije odgovora

vremenska domena integral F Ideja • • Fourierova transformacija u biti predstavlja Fourierove koeficijente pri razvoju neperiodične funkcije u Fourierov red Fourierovi koeficijenti su pritom funkcija kontinuirane varijable

vremenska domena integral F Ideja • • Fourierova transformacija u biti predstavlja Fourierove koeficijente pri razvoju neperiodične funkcije u Fourierov red Fourierovi koeficijenti su pritom funkcija kontinuirane varijable

vremenska domena integral F F -1 • • Fourierova transformacija u biti predstavlja Fourierove koeficijente pri razvoju neperiodične funkcije u Fourierov red Fourierovi koeficijenti su pritom funkcija kontinuirane varijable

vremenska domena integral F F -1 promjena redoslijeda integracije frekvencijska domena množenje

Dakle, analiza u frekvencijskoj domeni zahtijeva iznalaženje direktne i inverzne fourierove transformacije funkcije pobude i funkcije odgovora konstrukcije → kompleksna integracija iz praktičnih razloga potrebno pribjeći numeričkim metodama: • rješenje u zatvorenom obliku??

• funkcije u konvoluciji zadane diskretno Motivacija za fourierovu transformaciju u diskretnom obliku (DFT)

Diskretna fourierova transformacija razmatranu neperiodičnu funkciju diskretiziramo po vremenu koeficijenti reda koje je potrebno odrediti će predstavljati diskretnu fourierovu transformaciju

Diskretna fourierova transformacija parcijalna suma geometrijskog reda

Fourierove transformacije – kontinuirani i diskretan oblik F F -1

Diskretne fourierove transformacije – periodičnost F -1 F unutar perioda diskretna funkcija „prati” kontinuiranu funkciju značajne razlike potencijalno nastaju izvan perioda

Diskretne fourierove transformacije – konvolucija Teorem o konvoluciji • • • periodička proširenja stvarnih funkcija – DFT primijenjiva na periodičke funkcije primijeni DFT promjena redoslijeda sumacije uvođenje supstitucije Teorem o konvoluciji u diskretnom obliku + FFT algoritam –> praktično rješenje za sve naše probleme

Diskretne fourierove transformacije – primjena akcelerogram potresa 2000 diskretnih vrijednosti Fourierova transformacija pretvara vremensku domenu u frekvencijsku domenu – kako?

• vremenski inkrement 0.02 sekunde, koliki je frekvencijski inkrement? • vremenski raspon 40 sekundi, koliki je frekvencijski raspon?

Odgovor:

Diskretne fourierove transformacije – vremenska vs frekvencijska skala Vremenska domena Frekvencijska domena Što je zadano

Diskretne fourierove transformacije – primjena DFT amplitudni spektar

Diskretne fourierove transformacije – primjena DFT spektar realnih komponenti

Diskretne fourierove transformacije – primjena DFT spektar imaginarnih komponenti

konjugirano kompleksne vrijednosti, Q.E.D.

„Nyquist frequency” „folding frequency” najviša frekvencija zastupljena u transformaciji

„Nyquist frequency” „folding frequency” najviša frekvencija zastupljena u transformaciji fizikalni smisao: ukoliko se funkcija brzo mijenja u ovisnosti o vremenu, tj. ima značajan sadržaj visokih frekvencija, tada je tu funkciju potrebno češće uzorkovati kako bi funkcija u vremenskoj domeni bila odgovarajuće prikazana minimiziranje greške preslikavanja (aliasing)

Diskretne fourierove transformacije – aliasing pravokutni impuls • superpozicija funkcija daje traženu transformaciju kontinuirano u ovoj zoni dolazi do preklapanja superpozicija

Analiza odgovora dinamičkog sustava – primjer recimo da nas zanima odgovor sustava za prvih 1.9 sekundi DFT IDFT minimalna duljina perioda potrebna da ne dođe do preklapanja funkcija u konvoluciji

Analiza odgovora dinamičkog sustava – primjer recimo da nas zanima odgovor sustava za prvih 1.9 sekundi DFT IDFT minimalna duljina perioda potrebna da ne dođe do preklapanja funkcija u konvoluciji

Literatura:

6.

7.

8.

3.

4.

5.

1.

2.

Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 9th edition, John Wiley & Sons, NJ, 2006., poglavlje 11 Brigham, E. O.: The Fast Fourier Transform and Its Applications, Prentice Hall, Engelwood Cliffs, New Jersey, 1988., poglavlja: 2, 4, 6, 7 Humar, J. L.: Dynamics of Structures, 2nd edition, Balkema Publishers, Lisse, Netherlands, 2002., poglavlja: 9, 13 Chopra, A. K.: Dynamics of Structures – Theory and Application to Earthquake Engineering, 3rd edition, Prentice Hall, New Jersey, 2006., poglavlja: appendix A Lee, U.; Cho, J.: FFT-based spectral dynamic analysis for discrete dynamic systems, Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering 25 (2007) 1, 95-102 Lee, U.; Kim, S.; Cho, J.: Dynamic analysis of the linear discrete dynamic systems subjected to the initial conditions by using an FFT-based spectral analysis method, Journal of Sound and Vibration 288 (2005), 293-306 Kerr, D. A.: The Fourier Analysis Tool in Microsoft Excel, http://dougkerr.net/Pumpkin/articles/Excel_Fourier.pdf

Klingenberg, L.: Frequency Domain Using Excel, http://userwww.sfsu.edu/~larryk/Common%20Files/Excel.FFT.pdf