Transcript Aproksimacija i interpolacija Mr. sc. Tatjana Stanivuk Pomorski fakultet u Splitu Opći problem aproksimacije  Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranojna nekom skupu.

Aproksimacija i
interpolacija
Mr. sc. Tatjana Stanivuk
Pomorski fakultet u Splitu
Opći problem aproksimacije
 Ako su poznate neke informacije o funkciji f,
definiranojna nekom skupu X  R , na osnovu tih
informacija želimo f zamijeniti nekom drugom
funkcijom  na skupu X, tako da su f i  bliske u
nekom smislu. Skup X je najčešće interval oblika  a, b
(može i neograničen), ili diskretni skup točaka.
 Problem aproksimacije javlja se u dvije bitno različite
formulacije:
Opći problem aproksimacije
a) Poznata je funkcija f (npr. analitički), ali je njena
forma prekomplicirana za računanje. U tom slučaju
odabiremo neke informacije o f (koje ćemo koristiti) i
po nekom kriteriju odredimo aproksimacijsku funkciju
 . Jednako tako, možemo ocijeniti grešku dobivene
aproksimacije, obzirom na pravu vrijednost funkcije f.
Opći problem aproksimacije
b) Funkcija f nije poznata, ali su poznate samo neke
informacije o njoj, npr. vrijednosti na nekom skupu
točaka. Zamjenska funkcija  određuje se iz
raspoloživih informacija, koje, osim samih podataka,
uključuju i očekivani oblik ponašanja podataka, tj.
funkcije  . U ovom se slučaju ne može napraviti
ocjena pogreške bez dodatnih informacija o
nepoznatoj funkciji f .
Varijanta (b) je puno češća u praksi. Najčešće se
javlja kod mjerenja raznih veličina, jer, osim
izmjerenih podataka, pokušavamo aproksimirati i
podatke koji se nalaze “između” izmjerenih točaka.
Opći problem aproksimacije
Primijetimo da se kod mjerenja javljaju i pogreške
mjerenja, pa postoje posebne tehnike za ublažavanje
tako nastalih grešaka.
Funkcija  bira se prema prirodi modela, ali tako da
bude relativno jednostavna za računanje. Ona obično
ovisi o parametrima ak , k  0,..., m , koje treba
odrediti po nekom kriteriju,
  x     x; a0 , a1,..., am 
tzv. opći oblik aproksimacijske funkcije.
Opći problem aproksimacije
Oblike aproksimacije funkcije možemo (grubo)
podijeliti na:
a) linearne aproksimacije funkcije ,
b) nelinearne aproksimacije funkcije.
Linearne aproksimacije
funkcije
Opći oblik je
  x   a00  x   a11  x   ...  amm  x  ,
gdje su 0 ,..., m poznate funkcije koje znamo računati.
Primijetimo da se linearnost ne odnosi na oblik
funkcije  , već na njenu ovisnost o parametrima ak
koje treba odrediti. Prednost ovog oblika
aproksimacijske funkcije je da određivanje
parametara ak obično vodi na sustave linearnih
jednadžbi.
Linearne aproksimacije
funkcije
Najčešće korišteni oblici linearnih aproksimacijskih
funkcija:
k

x

x
, k  0,..., m tj.


1. Algebarski polinomi, k
  x   a0  a1x  ...  am x m .
Funkciju   x  nije nužno zapisati u standardnoj
bazi običnih potencija 1, x,..., xm . Često je neka
druga baza pogodnija, npr. tzv. ortogonalnih
polinoma ili baza 1,  x  x0  ,  x  x0   x  x1  ,... ,
gdje su x0 , x1,... zadane točke.


Linearne aproksimacije
funkcije
2. Trigonometrijski polinomi, pogodni za
aproksimaciju periodičkih funkcija, npr. u modeliranju
signala. Za funkciju k uzima se m+1 funkcija iz
skupa 1,cos x,sin x,cos2x,sin 2x,...
3. Po dijelovima polinomi, tzv. splajn funkcije. Ako
su zadane točke x0 ,..., xn , onda se splajn funkcija na
svakom podintervalu svodi na polinom određenog
fiksnog (niskog) stupnja, tj.
 x
k 1 , xk 
 pk , k  1, 2,..., n
a pk su polinomi najčešće stupnjeva 1, 2, 3 ili 5.
Nelinearne aproksimacije
funkcije
Najčešće korišteni oblici nelinearnih aproksimacijskih
funkcija:
1. Eksponencijalne aproksimacije,
  x   c0eb0 x  c1eb1x  ...  cr ebr x , koje imaju
n=2r+2 nezavisna parametra, a opisuju npr. procese
rasta i odumiranja u raznim populacijama s
primjenom u biologiji, ekonomiji i medicini.
2. Racionalne aproksimacije
b0  b1x  ...  br x r
  x 
c0  c1x  ...  cs x s
koje imaju mnogo bolja svojstva aproksimacije nego
polinomi, a pripadna teorija je relativno nova.
Kriteriji aproksimacije
Aproksimacije funkcije biraju se tako da “najbolje”
zadovolje uvjete koji se postavljaju na njih. Najčešći
su zahtjevi da graf aproksimacije funkcije prolazi
određenim točkama tj. da interpolira funkciju u tim
točkama ili da je odstupanje aproksimacijske od
polazne funkcije u nekom smislu minimalno, tj. tada
se minimizira pogreška.
Kriteriji aproksimacije
 INTERPOLACIJA
je zahtjev da se vrijednosti funkcija f i 
podudaraju na nekom konačnom skupu argumenata
ili kraće točaka, koje obično nazivamo čvorovima
interpolacije. Ovom zahtjevu se može, ali i ne mora
dodati zahtjev da se u čvorovima, osim funkcijskih
vrijednosti, poklapaju i vrijednosti nekih derivacija.
Kriteriji aproksimacije
Drugim riječima, u najjednostavnijem obliku
interpolacije, kad tražimo samo podudaranje
funkcijskih vrijednosti, od podataka o funkciji f koristi
se samo informacija o njenoj vrijednosti na skupu od
(n+1) točaka, tj.podaci oblika  xk , fk  , gdje je
fk  f  xk  za k = 0, ... ,n.
Parametri a0 ,..., an (kojih mora biti točno onoliko
koliko i podataka!) određuju se iz uvjeta
  xk ; a0 , a1,..., an   fk , k  0,..., n, što je nelinearni
sustav jednadžbi. Ako je aproksimacijska funkcija 
linearna, onda za parametre ak dobivamo sustav od,
točno, n+1 linearnih jednadžbi i n+1 nepoznanica.
Kriteriji aproksimacije
Matrica tog sustava je kvadratna, što bitno olakšava
analizu egzistencije i jedinstvenosti rješenja za
parametre interpolacije.
 MINIMIZACIJA POGREŠKE
Funkcija  bira se tako da se minimizira neka
odabrana norma pogreške e  x   f  x     x 
u nekom odabranom vektorskom prostoru funkcija
definiranih na nekoj domeni X. Ove aproksimacije,
često zvane i najbolje aproksimacije po normi,dijele
se na diskretne i kontinuirane, ovisno o tome
minimizira li se norma pogreške e na diskretnom ili
kontinuiranom skupu podataka X.
Kriteriji aproksimacije
Standardno se kao norme pogreške koriste 2-norma i
 -norma.
Za 2-normu pripadna se aproksimacija zove
srednjekvadratna, a metoda za njeno nalaženje
zove se metoda najmanjih kvadrata. Funkcija  , tj.
njeni parametri, traže se tako da bude e 2 minimalna
na X.
Za  -normu pripadna se aproksimacija zove
minimaks, a parametri se biraju tako da e bude

minimalna.
Kriteriji aproksimacije
 Osnovni matematički problemi u teoriji
aproksimacije koje treba riješiti:
a) egzistencija i jedinstvenost rješenja problema
aproksimacije, što ovisi o tome koje funkcije f
aproksimiramo kojim funkcijama  i kako mjerimo
grešku.
b) analiza kvalitete dobivene aproksimacije –
vrijednost “najmanje” pogreške i ponašanje funkcije
greške e,
c) konstrukcija algoritama za računanje najbolje
aproksimacije
d) dokaz efikasnosti i točnosti algoritma, a ako je
proces beskonačan njegovu globalnu i asimptotsku
konvergenciju.
Pojam interpolacije

Sam pojam INTERPOLACIJE znači da se iz dvije
zadane vrijednosti funkcije odnosno dva argumenta
koja se nalaze na osi apcisa nađe vrijednost funkcije
koja je međuvrijednost ova dva argumenta. Ako tražimo
vrijednost funkcije za nivo argumenta izvan zadanih
vrijednosti varijabli onda govorimo o
EXSTRAPOLACIJI.
Problem interpolacije se sastoji u tome da se odredi
funkcija koja što preciznije aproksimira zadanu
funkciju prema tabličnim vrijednostima, no moramo
obratiti pažnju da nova funkcija također treba prolaziti
točkama kojima prolazi i zadana funkcija prema
tabličnim podacima.
Pojam interpolacije

Neka je orginalna funkcija f(x) te neka je
aproksimira funkcija   x  . Ta se aproksimacija
formulira dvjema nejednadžbama:
  x     f  x     x    , gdje je  prozvoljno mali
pozitivan broj
Interpolacija

Na intervalu  a, b odredimo n+1 točku x0 , x1, x2 ,..., xn ,
koje se zovu čvorne točke ili čvorovi interpolacije, u
kojima je y0  f  x0  , y1  f  x1  ,..., yn  f  xn  .
Tražimo funkciju   x  (funkcija interpolacije) koja
poprima iste vrijednosti u čvornim točkama tj.
  x0   y0 ,  x1   y1,...,  xn   yn .
Ako je   x  neki polinom, zadatak je jednoznačno rješiv.
 Dakle, kad su zadane funkcijske vrijednosti u
različitim točkama možemo iskazati teorem koji u
potpunosti rješava prvo ključno pitanje egzistencije i
jedinstvenosti rješenja problema polinomske
interpolacije u njegovom najjednostavnijem obliku.
Egzistencija i jedinstvenost
interpolacijskog polinoma
Teorem:
Neka je n  N0. Za zadane točke  xk , yk  , k  0,..., n ,
gdje je xi  x j za i  j , postoji jedinstveni
(interpolacijski) polinom stupnja najviše n
  x  : pn  x   a0  a1x  ...  an x n
za koji vrijedi

pn  xk   fk ,
k  0,..., n.
U praksi je zabranjeno koristiti interpolacijske
polinome stupnja većeg od 3, jer mogu imati vrlo velike
greške. U tim slučajevima koristimo se splajnovima ili
metodom najmanjih kvadrata.
Interpolacija
Konkretizirajmo:
 Pretpostavimo da smo uzeli samo 2 točke
T0  x0 , y0  i T1  x1, y1  . One jednoznačno određuju
polinom 1. stupnja p1  x  tj. pravac. Njegova jednadžba
glasi
y1  y0
y  y0 
 x  x0  .
x1  x0
Tu jednadžbu možemo lako prikazati u obliku koji slijedi
i u kojem je y zamijenjen sa
: p1  x 
x  x0
x  x1
y  p1  x   y0
 y1
.
x0  x1
x1  x0
Interpolacija
Uzimajući za x od x1 do x2 umijesto vrijednosti
funkcije vrijednosti toga polinoma p1  x  , tj. vrijednosti
linearne funkcije odnosno ordinate pravca, vršimo
linearnu interpolaciju, koja nam je dobro poznata iz
računanja s logaritamskim tablicama.

Ako su nam poznate 3 točke T0  x0 , y0  , T1  x1, y1  i
T2  x2 , y2  , uzimamo u međutočkama ordinate parabole
tj. vrijednosti polinoma 2.stupnja, koji glasi:
x  x0   x  x2 
x  x1  x  x2 


y  p2  x   y0
 y1
 x0  x1  x0  x2 
 x1  x0   x1  x2 
x  x0   x  x1 

 y2
.
 x2  x0   x2  x1 
Interpolacija
Taj polinom prolazi trima zadanim točkama jer
uvrštavanjem x  x0 , x  x1 i x  x2 daje y0 , y1 i y2.
To je parabolična interpolacija koja se uvijek
primjenjuje kada druge tablične razlike nisu jednake,
npr. pri računanju s logaritamskim tablicama od 10
decimala.
Interpolacija

Općenito, kada je dan niz točaka T0  x0 , y0  , T1  x1, y1  ,...
..., Tn  xn , yn  , vršimo interpolaciju pomoću polinoma
pn  x  koji glasi:
x  x1  x  x2  ...  x  xn 

y  pn  x   y0

 x0  x1  x0  x2  ...  x0  xn 
x  x0   x  x2  ...  x  xn 

 y1
 ...
 x1  x0   x1  x2  ...  x1  xn 
x  x0   x  x1  ...  x  xn 1 

...  yn
.
 xn  x0  xn  x1  ...  xn  xn 1 
polinom
 To je Lagrangeovog interpolacijskog polinoma
koji možemo zapisati i ovako:
(PAZI: u brojnik svakog člana formule ne smije doći x s
indeksom koji ima y toga člana, već svi ostali x-evi, dok je
prvi član svakog faktora u nazivniku uvijek onaj x koji
nismo smjeli pisati u brojniku, a ostali se x-evi
jednostavno prepisuju prema brojniku)
polinom
Primjećujemo da čvorovi interpolacije ne moraju
biti ekvidistantni kod
Ln  x  .
 Ako funkcija f koju interpoliramo ima (n+1)-u
neprekidnu derivaciju onda smo interpolacijom napravili
grešku
pri čemu je
Ova ocjena greške vrijedi i za Newtonov oblik
interpolacijskog polinoma.
Zadatak 1.
Naći Lagrangeov interpolacijski polinom za tablično
zadane podatke
.
Rj.
Primijetite da grešku ne možete ocjenjivati, jer nije
zadana funkcija iz koje su uzeti ti podaci.
Kako u tablici imamo 3 čvora, a n+1=3, imamo
interpolacijski polinom 2. stupnja.
Zadatak 2.
a) Naći interpolacijski polinom koji funkciju f  x   sin  x  ;
interpolira u točkama s x-koordinatama:
1
1
x0  0, x1  i x2  ;
6
2
b) Ocijeniti grešku tako dobivene iterpolacije;
c) Izračunati vrijednost dobivenog interpolacijskog
polinoma u točki x  0.4;
d) Ocijeniti grešku iterpolacije u toj točki;
e) Naći pravu grešku.
Zadatak 2.
Rj.
1
1
a) Uvrštavajući x0  0, x1  i x2  u funkciju
1
6
2
f  x   sin  x  dobijamo redom y0  0, y1  , y2  1.
2
Kako imamo 3 podatka, možemo naći interpolacijski
polinom p2  x  koji ima stupanj manji ili jednak 2.
Računajući dobivamo Lagrangeov interpolacijski
polinom 2. stupnja koji glasi:
2 7
p2  x   3x  x.
2
b) Za ocjenu greške treba nam   x 
1
3 2 2
  x    x  x0   x  x1  x  x2   ...  x  x  x
3
12
Zadatak 2.
i treća derivacija funkcije f:
f  x   sin  x 
f ``  x    2 sin  x 
f `  x    cos  x 
3
f    x    3 cos  x  .
Tada imamo
3

M 3  max f  x   max  3 cos  x  
 1
x0, 
 2
 1
x0, 
 2
3
  3 max cos  x    ,
 1
x0, 
 2
jer je
 1
0  0,  i cos 0  1.
 2
Zadatak 2.
Prema tome, ocjena greške za proizvoljnu točku iz
intervala 0, 1  glasi
 2 
3 3 2 2 1
f  x   p2  x  
x  x  x.
3!
3
12
c) Interpolacija u zadanoj točki:
7
p2  0.4   3  0.4    0.4  0.92.
2
 1
d) Ocjena greške (budući da je 0.4  0, ):
 2
3
3 2
2 1
f  0.4   p2  0.4  
 0.4    0.4    0.4 
3!
3
12
 0.04823198604.
2
Zadatak 2.
e) Prava greška je
f  0.4  p2  0.4  sin   0.4  0.92  0.0310565164,
I ona je, naravno, po apsolutnoj vrijednosti manja ili
jednaka ocjeni greške.
Zadatak 3.

Da se odredi dozvoljeno opterećenje željeznih
lanaca, kojima su karike kružnog presjeka promjera d ,
bilo je pokusnim putem određeno dozvoljeno
opterećenje P. Za lance sljedećih promjera
d1  8mm, d2  16mm i d3  20mm , dobiveno je
P1  400kg, P2  1600kg i P3  2500kg .
Treba sastaviti tablicu dozvoljenih opterećenja za lance
kojima je promjer d karika
6mm,11mm,13mm,18mm, 25mm i 30mm.
Zadatak 3.
Rj.
d
6
8
11
P
225
400
756
13
16
18
20
25
30
1056 1600 2025 2500 3906 5625
Interpolacija
Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma nije
pogodan kad želimo povećati stupanj interpolacijskog
polinoma da bismo, eventualno, poboljšali
aproksimaciju i smanjili grešku, zbog toga što
interpolacijski polinom moramo računati od početka.
Zato se on uglavnom koristi u teorijske svrhe (za
dokaze), dok se u praksi koristi nešto bolji Newtonov
oblik interpolacijskog polinoma .
Newtonovi interpolacijski polinomi

Naime, iz teorema o egzistenciji i jedinstvenosti
interpolacijskog polinoma, imamo interpolacijski
polinom stupnja n koji glasi:
  x  : pn  x   a0  a1x  ...  an x n
Za određivanje koeficijenata a0 , a1,..., an možemo se
poslužiti sistemom n+1 linearnih jednadžbi
y j  a0  a1x j  a2 x 2j  ...  an x nj
j  0,1, 2,..., n
No, takav put izračunavanja koeficijenata ima 2
nedostatka:
1. Dug je.
2. Ne omogućuje ocjenjivanje greške i zaustavljanje
rada samo na potrebnom broju točaka, pri
približnom izračunavanju.
Newtonovi interpolacijski polinomi
Postoji drugi način interpolacije, zasnovan na obrascima
izraženim ne pomoću samih funkcija već pomoću
tzv. razlika.

RAČUN PODIJELJENIH (KONAČNIH) RAZLIKA
Ako je zadana funkcija y = f(x) i x  h, prirast
nezavisne varijable kojeg zovemo korak, onda za
prvu razliku ili razliku prvog reda y imamo
h y  f  x  h   f  x  .
Newtonovi interpolacijski polinomi
Ako je f  x   y0 , f  x  h  y1 , za razliku imamo
y1  y0  y0  y1  y0  y0.
Ako sad obrazujemo razliku y2  y1,
između naredni vrijednosti funkcije, možemo staviti
y2  y1  y1.
Razlika, y1  y0 između dviju uzastopnih prvih razlika
čini drugu razliku ili razliku drugog reda, i označava
se  2 y0 . Dakle,  2 y0  y1  y0 .
Ako u ovu jednadžbu uvrstimo vrijednosti prvih razlika,
dobijemo
 2 y0   y2  y1    y1  y0   y2  2 y1  y0 .
Newtonovi interpolacijski polinomi
Ako zatim uvedemo treću razliku ili razliku trećeg reda,
3 y0   2 y1   2 y0 , ona se pomoću ordinata izražava:
3 y0   y3  2 y2  y1    y2  2 y1  y0   y3  3 y2  3 y1  y0 .
Nastavljajući postupak, dobili bi četvrtu razliku, ... .
Vidimo da svaka razlika može biti izražena pomoću
osnovnih ordinata i da su koeficijenti jednaki
koeficijentima Newtonova binomnog obrasca.
 Za izračunavanje podijeljenih razlika koriste se tablice
podijeljenih razlika: horizontalna i dijagonalna. One
sadrže identične podatke, samo je njihov način
prikazivanja različit. Pri tome vrijedi da je:
h
 yj  
h 1
y j 1  
h 1
y j ; h, j  1  0,1,..., n .
Newtonovi interpolacijski
polinomi
 Tablica 1. Horizontalna tablica razlika
Newtonovi interpolacijski
polinomi
 Tablica 2. Dijagonalna tablica razlika
Newtonovi interpolacijski polinomi
y1  y0 y0

,
Direktno nalazimo a0  y0 , a1 
x1  x0
h
2
y2  2 y1  y0
 y0
a2 

, ...
 x2  x0   x2  x1  2!h2
j

y0
tj. a 
, j  0,1,..., n
j
j
j !h
I dobijemo Newtonov interpolacijski polinom stupnja
najviše n koji interpolira podatke x j , y j , j  0,1,..., n :


y0
 2 y0
y  x     x   y0 
 x  x0   2  x  x0   x  x1   ...
h
2h
... 
 n y0
n !h
n
 x  x0   x  x1  ...  x  xn 1  .
Prvi Newtonov interpolacijski
polinom

To je prvi Newtonov interpolacijskog polinoma
koji možemo zapisati i ovako:
2

y

y0
1

0
N n  x   y0 
 x  x0   2  x  x0   x  x1   ...
h
2h
... 
 n y0
n !h
n
 x  x0   x  x1  ...  x  xn 1  .
Napisani Newtonov interpolacijski polinom ponekad se
izražava i u drugom obliku.
Prvi Newtonov interpolacijski
polinom
 Naime, zbog pojednostavljenja, umjesto vrijednosti x
x  x0
uvedemo broj q, q 
. Budući da nam treba izraz
h
oblika x  x j , izražen u funkciji od q, bit će:
h
Sa ovim vrijednostima za razlike, prvi Newtonov
interpolacijski polinom postaje
Prvi Newtonov interpolacijski
polinom

N
Načinom formiranja, n , predodređen je za
procjenjivanje vrijednosti funkcije x  x u okolini x0.
Prvi Newtonov interpolacijski polinom može se
upotrebljavati i u okolini xn samo što će onda greška
biti veća.
 Greška interpolacije kod prvog Newtonovog
interpolacijskog polinoma:
1
gdje je
, a znamo da je
Drugi Newtonov interpolacijski
polinom
Potražimo sada interpolacijski polinom od čvora xn u
obliku
Nepoznate koeficijente b j određujemo iz
interpolacijskog svojstva
Zamjenom
formulu N n2  x  dobivamo
tj.
u gornju
.
Drugi Newtonov interpolacijski
polinom
U ovom slučaju je
što nam daje zaključak o vrijednosti
Uvrštavajući sve vrijednosti b j zajedno sa gore izračunatim
2
N
transformiranim prirastima u n  x  dobivamo drugi
Newtonov interpolacijski polinom:
Drugi Newtonov interpolacijski
polinom
 
N
Zbog načina formiranja n , jasno je da ovaj polinom
koristimo za procjenivanje vrijednosti sa kraja
interpolacijskog intervala tj. za procjenu vrijednosti
funkcije u okolini xn .
 Greška interpolacije kod drugog Newtonovog
interpolacijskog polinoma:
2
gdje je
a znamo da je
,
.
Gaussovi interpolacijski polinomi
U Newtonovim formulama koriste se samo vrijednosti
koje se nalaze na jednoj strani izabrane početne
vrijednosti. Sada, neka je zadano 2n+1 ekvidistantnih
čvorova
gdje je
i
Gaussovi interpolacijski polinomi koriste se za sredinu
tablice razlika, i to:
Prvi Gaussov interpolacijski
polinom

x  x0
0
Ako je q 
h
koristimo prvi Gaussov polinom koji glasi
Drugi Gaussov interpolacijski
polinom
 Ako je
x  x0
q
0
h
koristimo drugi Gaussov polinom koji glasi
Gaussovi interpolacijski polinomi
 Greška kod oba polinoma je
x  x0
gdje je q 
, a x onaj argument u kojem
h
procjenjujemo nepoznatu vrijednost funkcije.
 Inače kod Gaussovih interpolacijskih polinoma
možemo imati i paran broj ulaznih čvorova u zadanom
skupu. Ako nije određeno gdje se nalazi središnji čvor
x0 središnju vrijednost, tako da uvijek
, sami određujemo
možemo koristiti ili prvi ili drugi Gaussov
interpolacijski polinom.
Zadatak 4.
Izračunati brojeve log 1.7, log 2.5, log 3.1 i log 4.6,
f  x   log x
Napomena: vrijednosti logaritama zaokružiti na 3
decimale
Rj.
log1 = 0,000
log2 = 0,301
log3 = 0,477
log4 = 0,602
log5 = 0,699
Zadatak 4.
Formirajmo tablicu podijeljenih razlika:
Zadatak 4.
Kako se x = 1.7 nalazi na početku tablice podijeljenih
razlika, za računanje koristimo prvi Newtonov
interpolacijski polinom, pa za
x  x0 1.7  1
q

 0.7 , on glasi
h
2 1
0.7   0.7  1
1

N 4 1.7   0  0.7  0.301 
 0.125 
2
0.7   0.7  1 0.7  2 

0.074 
6
0.7   0.7  1 0.7  2  0.7  3

 0.051  0.228
24
Zadatak 4.
Za x = 4.6 sa kraja tablice koristimo drugi Newtonov
interpolacijski polinom. Sada je q  4.6  5  0.4 ,
1
a polinom je oblika
Zadatak 4.
Za x = 2.5 , x = 3.1 koji su nalaze na sredini tablice
podijeljenih razlika, koristi ćemo Gaussove interpolacijske
polinome. Koji ćemo od njih koristiti ovisit će o q.
 Za x = 2.5 , q  2.5  3  0.5  0
1
Tablica razlika izgleda ovako:
Zadatak 4.
pa koristimo 2. Gaussov interpolacijski polinom koji
glasi:
Zadatak 4.
3.1  3
 Za x = 3.1 , q 
 0.1  0
1
pa koristimo 1. Gaussov interpolacijski polinom koji glasi:
1

G
4
Zadatak 5.
Funkcija 3 x zadana je tablično na 3 decimale
xk
fk
1.0
1.1
1.3
1.5
1.6
1.000 1.032 1.091 1.145 1.170
Naći vrijednost 3 1.15 i ocijeniti grešku. Naći i pravu
grešku.
Zadatak 5.
Rj.
Formirajmo tablicu podijeljenih razlika
Zadatak 5.
Budući da imamo 5 podataka, interpolacijski je polinom 4.
stupnja i glasi
Njegova vrijednost za x = 1.15 je p4  x   1.047295313  1.047
Za ocjenu greške treba nam 5-ta derivacija:
Zadatak 5.
Nadalje,
 1.15  1.15  1.0 1.15  1.11.15  1.31.15  1.51.15  1.6  
...  1.771875 104
Nađimo još i M 5 :
880 14 / 3 880
1
5

M 5  max f  x   max
x

max
x1,1.6
x1,1.6 35
35 x1,1.6 3 x14
= (broj je najveći ako mu je nazivnik najmanji, a to je 1) =

880
5
3
.
Zadatak 5.
Ocjena greške u 1.15 je
 1.15 
1.771875 104 880
f 1.15   p4 1.15  
M5 

5!
120
35
 5.347222213 106.
Izračunajmo još pravu grešku
f 1.15   p4 1.15   3 1.15  1.047689553  0.000394240.
Primjetimo:
Pošto smo pošli od podataka zaokruženih na 3 decimale,
dobili smo da je prava greška veća od ocjene. Dakle, prava
greška bi bila manja od ocjene greške da smo radili s više o 6
6
10
.
znamenaka, jer je ocjena greške reda veličine