NEWTONOV OPĆI ZAKON GRAVITACIJE

• Razvoj ideje o gibanju nebeskih tijela (Ptolomej , Kopernik , Kepler ) • Newtonov opći zakon gravitacije ( izračunavanje masa nebeskih tijela , akceleracija slobodnog pada , sateliti , svemirske brzine )

Klaudije Ptolemej 85-166

- objedinio rezultate prethodnika - dao prvu sustavnu raspravu o svim nebeskim gibanjima - Ptolemejev geocentrički sustav, utjecajan kao i Aristotelova filozofija

Najveće djelo

Megale sintaxis

(Veliki zbornik) očuvano u arapskom prijevodu kao

Almagest

Ptolemejev geocentrični sustav (2. st.) djelo : Almagest

epicikl deferent

Nikola Kopernik ( Thorn 1473. – Frauenburg 1543. ) Marsova putanja Aristarh (310. - 230. pr. Kr.) Giordano Bruno, 1600. spaljen Galileo Galilei (1564. – 1642.) Zemljina putanja

Tycho Brahe (1546. – 1601.) Johannes Kepler (1571. – 1630.) Keplerovi zakoni 1.

A 1 A 1 = A 2 A 2

3.

T

1 2 :

T

2 2 

r

1 3 :

r

2 3 2.

Elipsa

APSIDE

• apoapsis i periapsis –točke na krajevima velike osi elipse ; • apoapsis je najdalja točka , a periapsis najbliža točka • afel i perihel - za planete kao Sunčeve satelite • apogej i perigej - za Zemljine satelite ( Mjesec) • apoluna i periluna - za Mjesečeve satelite • apohermij i perihermij – za Merkur • apojovij i perijovij - za Jupiter • ……

Newtonov opći zakon gravitacije

a a a a a a a

a

 4  2

r T

2

a

1 :

a

2  4 

T

1 2 2

r

1 : 4  2

r

2

T

2 2

a

 1

F



r

1 2

r

2

F



m p F



m s a

1 :

a

2 

r

1

T

1 2 :

r

2

T

2 2

T

1 2 :

T

2 2 

r

1 3 :

r

2 3

F



m s m p r

2

a

1 :

a

2 

r

1

r

1 3 :

r

2

r

2 3  1

r

1 2 1 :

r

2 2

F



G m

1

m

2

r

2 Opći zakon gravitacije

G =

6,67·10 -11 N m 2 kg -2 – gravitacijska konstanta

Primjer 1:

Izračunajmo masu

(M)

i srednju gustoću

(



)

Zemlje iz njezina polumjera

(R =

6,4·10 6 m

)

i akceleracije slobodnog pada na njezinoj površini

( g =

9,81 m s -2

).

Rješenje:

R =

6,4·10 6 m

g =

9,81 m s -2

M



gR

2

G

 9 , 81 m s -2 6 , 67  ( 6 , 4  10 6 m )  10  11 m 3 kg 1 s 2 2

M =

6·10 24 kg

M =

?



=

?

F = mg, F



G m

1

m

2

R

2

mg



G mM R

2  

M V

  3

M

4

R

3  ,

V

 4 3

R

3   3  6  10 24 kg 4  (6,4  10 6 m) 3   

=

5 467 kg m -3

Primjer 2:

Izvedimo izraz za akceleraciju slobodnog pada na visini

h

iznad Zemljine površine.

Rješenje:

mg



G m Z m R

2

m g

 

mg G

(

R m Z



m h

) 2

G m Z m R

2

m g

 

G

(

R m Z



m h

) 2

g



g

  

R R



h

  2

g

 

g R R



h

2

Zadatak 1:

Kolika je akceleracija slobodnog pada na asteroidu polumjera 5 km i gustoće 5500 kg m -3 ?

Rješenje:

R =

5 km = 5·10 3 m 

=

5 500 kg m -3

g =

?

mg



G m a m R

2

g



G



V R

2 

G

  4 3

R

2

R

3 

g

 4 3 

GR

  4 3   6 , 67  10  11 m 3 kg 1 s 2  5000 m  5500 kg m 3

g =

7,7·10 -3 m s -2

Zadatak 2:

Na koju visinu moramo podignuti tijelo da bi mu se težina smanjila upola? Poznat je polumjer Zemlje (6,4 ·10 6 m ).

Rješenje:

R =

6,4·10 6 m

h =

?

F g

  1 2

F g G

(

R m Z



R

1 

h m h

1 (

R



h

) 2 )  2  1 2

G m Z m R

2  1 2

R

2 1 2

R R



h

 2

R h



h h

6 , 4  

R

 10 6 2 

R

2 m    

R

1  2

h =

2,65·10 6 m  1 

Sateliti

v

Prva kozmička brzina

F cp = F g

Na Zemlji:

mv

2

R



G Mm R

2

v



G M R mv

2 

mg R v



gR v

 9 , 81 m s -2  6 , 4  10 6 m

v

 7,9 km s -1 Druga kozmička brzina

v

 2

gR v

 11 km s -1

Putanje

Primjer:

Koliko je od Zemljine površine udaljen satelit koji kruži u ekvatorijalnoj ravnini tako da se uvijek nalazi iznad istog mjesta na Zemlji (geostacionarni satelit)? Ophodno

G

vrijeme geostacionarnog satelita jednako je periodu rotacije Zemlje.

Rješenje:

G mm Z R

2

T =

24 h = 86400 s

R



h

 3

GT

4  2

m Z

2 

mg R =

6,4 ·10 6 m

h =

?

R



h

 3

gR

4 2 

T

2 2

Gm Z = gR 2 F g = F cp h

 3

gR

2

T

4  2 2 

R



m s R



m Z h

 2  4  2 (

R



h

)

m s T

2  3 9 , 81 m s -2  ( 6 , 4  10 6 m ) 2 4  2  ( 86400 s ) 2  6 , 4  10 6 m

Gm s m Z T 2 =

4 

2 (R + h) 3 m s h =

3,6·10 7 m

Zadatak 1:

Izračunajte masu Sunca uzimajući da je udaljenost Zemlje od Sunca 1,5  10 11 m.

Rješenje:

r =

1,5 ·10 11 m

m S =

?

F g = F cp G m S m Z r

2  4  2

rm Z T

2

m S

 4  2

r

3

GT

2  4   2  ( 1 , 5  10 11 m ) 3 6 , 67  10  11 m 3 kg 1 s 2  ( 365  24  3600 s ) 2

m S =

2  10 30 kg

Zadatak 2:

Kojom se brzinom giba satelit na visini 420 km iznad površine Zemlje? Za polumjer Zemlje uzmite 6 400 km. Poznata je još akceleracija slobodnog pada na površini Zemlje (

g =

9,81 m s -2 ).

Rješenje:

h =

420 km = 420 ·10 3 m

R =

6400 km = 6400·10 3 m

g =

9,81 m s -2

G mm Z R

2 

Gm Z = gR 2 mg v =

?

F cp = F g v



Gm Z R



h



R gR

2 

h

2

m s R



v h



G



m s R



m Z h

 2

v



R g R



h

 6400  10 3 m 

v =

7,7  10 3 m s -1 9,81m s -2 6400  10 3 m  420  10 3 m