Transcript newtonov opći zakon gravitacije
NEWTONOV OPĆI ZAKON GRAVITACIJE
• Razvoj ideje o gibanju nebeskih tijela (Ptolomej , Kopernik , Kepler ) • Newtonov opći zakon gravitacije ( izračunavanje masa nebeskih tijela , akceleracija slobodnog pada , sateliti , svemirske brzine )
Klaudije Ptolemej 85-166
- objedinio rezultate prethodnika - dao prvu sustavnu raspravu o svim nebeskim gibanjima - Ptolemejev geocentrički sustav, utjecajan kao i Aristotelova filozofija
Najveće djelo
Megale sintaxis
(Veliki zbornik) očuvano u arapskom prijevodu kao
Almagest
Ptolemejev geocentrični sustav (2. st.) djelo : Almagest
epicikl deferent
Nikola Kopernik ( Thorn 1473. – Frauenburg 1543. ) Marsova putanja Aristarh (310. - 230. pr. Kr.) Giordano Bruno, 1600. spaljen Galileo Galilei (1564. – 1642.) Zemljina putanja
Tycho Brahe (1546. – 1601.) Johannes Kepler (1571. – 1630.) Keplerovi zakoni 1.
A 1 A 1 = A 2 A 2
3.
T
1 2 :
T
2 2
r
1 3 :
r
2 3 2.
Elipsa
APSIDE
• apoapsis i periapsis –točke na krajevima velike osi elipse ; • apoapsis je najdalja točka , a periapsis najbliža točka • afel i perihel - za planete kao Sunčeve satelite • apogej i perigej - za Zemljine satelite ( Mjesec) • apoluna i periluna - za Mjesečeve satelite • apohermij i perihermij – za Merkur • apojovij i perijovij - za Jupiter • ……
Newtonov opći zakon gravitacije
a a a a a a a
a
4 2
r T
2
a
1 :
a
2 4
T
1 2 2
r
1 : 4 2
r
2
T
2 2
a
1
F
r
1 2
r
2
F
m p F
m s a
1 :
a
2
r
1
T
1 2 :
r
2
T
2 2
T
1 2 :
T
2 2
r
1 3 :
r
2 3
F
m s m p r
2
a
1 :
a
2
r
1
r
1 3 :
r
2
r
2 3 1
r
1 2 1 :
r
2 2
F
G m
1
m
2
r
2 Opći zakon gravitacije
G =
6,67·10 -11 N m 2 kg -2 – gravitacijska konstanta
Primjer 1:
Izračunajmo masu
(M)
i srednju gustoću
(
)
Zemlje iz njezina polumjera
(R =
6,4·10 6 m
)
i akceleracije slobodnog pada na njezinoj površini
( g =
9,81 m s -2
).
Rješenje:
R =
6,4·10 6 m
g =
9,81 m s -2
M
gR
2
G
9 , 81 m s -2 6 , 67 ( 6 , 4 10 6 m ) 10 11 m 3 kg 1 s 2 2
M =
6·10 24 kg
M =
?
=
?
F = mg, F
G m
1
m
2
R
2
mg
G mM R
2
M V
3
M
4
R
3 ,
V
4 3
R
3 3 6 10 24 kg 4 (6,4 10 6 m) 3
=
5 467 kg m -3
Primjer 2:
Izvedimo izraz za akceleraciju slobodnog pada na visini
h
iznad Zemljine površine.
Rješenje:
mg
G m Z m R
2
m g
mg G
(
R m Z
m h
) 2
G m Z m R
2
m g
G
(
R m Z
m h
) 2
g
g
R R
h
2
g
g R R
h
2
Zadatak 1:
Kolika je akceleracija slobodnog pada na asteroidu polumjera 5 km i gustoće 5500 kg m -3 ?
Rješenje:
R =
5 km = 5·10 3 m
=
5 500 kg m -3
g =
?
mg
G m a m R
2
g
G
V R
2
G
4 3
R
2
R
3
g
4 3
GR
4 3 6 , 67 10 11 m 3 kg 1 s 2 5000 m 5500 kg m 3
g =
7,7·10 -3 m s -2
Zadatak 2:
Na koju visinu moramo podignuti tijelo da bi mu se težina smanjila upola? Poznat je polumjer Zemlje (6,4 ·10 6 m ).
Rješenje:
R =
6,4·10 6 m
h =
?
F g
1 2
F g G
(
R m Z
R
1
h m h
1 (
R
h
) 2 ) 2 1 2
G m Z m R
2 1 2
R
2 1 2
R R
h
2
R h
h h
6 , 4
R
10 6 2
R
2 m
R
1 2
h =
2,65·10 6 m 1
Sateliti
v
Prva kozmička brzina
F cp = F g
Na Zemlji:
mv
2
R
G Mm R
2
v
G M R mv
2
mg R v
gR v
9 , 81 m s -2 6 , 4 10 6 m
v
7,9 km s -1 Druga kozmička brzina
v
2
gR v
11 km s -1
Putanje
Primjer:
Koliko je od Zemljine površine udaljen satelit koji kruži u ekvatorijalnoj ravnini tako da se uvijek nalazi iznad istog mjesta na Zemlji (geostacionarni satelit)? Ophodno
G
vrijeme geostacionarnog satelita jednako je periodu rotacije Zemlje.
Rješenje:
G mm Z R
2
T =
24 h = 86400 s
R
h
3
GT
4 2
m Z
2
mg R =
6,4 ·10 6 m
h =
?
R
h
3
gR
4 2
T
2 2
Gm Z = gR 2 F g = F cp h
3
gR
2
T
4 2 2
R
m s R
m Z h
2 4 2 (
R
h
)
m s T
2 3 9 , 81 m s -2 ( 6 , 4 10 6 m ) 2 4 2 ( 86400 s ) 2 6 , 4 10 6 m
Gm s m Z T 2 =
4
2 (R + h) 3 m s h =
3,6·10 7 m
Zadatak 1:
Izračunajte masu Sunca uzimajući da je udaljenost Zemlje od Sunca 1,5 10 11 m.
Rješenje:
r =
1,5 ·10 11 m
m S =
?
F g = F cp G m S m Z r
2 4 2
rm Z T
2
m S
4 2
r
3
GT
2 4 2 ( 1 , 5 10 11 m ) 3 6 , 67 10 11 m 3 kg 1 s 2 ( 365 24 3600 s ) 2
m S =
2 10 30 kg
Zadatak 2:
Kojom se brzinom giba satelit na visini 420 km iznad površine Zemlje? Za polumjer Zemlje uzmite 6 400 km. Poznata je još akceleracija slobodnog pada na površini Zemlje (
g =
9,81 m s -2 ).
Rješenje:
h =
420 km = 420 ·10 3 m
R =
6400 km = 6400·10 3 m
g =
9,81 m s -2
G mm Z R
2
Gm Z = gR 2 mg v =
?
F cp = F g v
Gm Z R
h
R gR
2
h
2
m s R
v h
G
m s R
m Z h
2
v
R g R
h
6400 10 3 m
v =
7,7 10 3 m s -1 9,81m s -2 6400 10 3 m 420 10 3 m