Slide 1

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 2

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 3

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 4

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 5

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 6

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 7

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 8

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 9

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 10

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 11

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 12

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 13

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 14

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 15

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 16

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 17

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 18

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 19

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 20

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.


Slide 21

ELIPSA
U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak
• Ako je žarište (fokus) F(–4, 0) , te zbroj male i
velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse
i nacrtaj je.

Rješenje 1.:
• 9x2+25y2=225

2. zadatak:
• Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi
točkama: A(3 , 2 ) i B ( –4, 3/2). I nacrtaj je .

Rješenje 2:
• x2+4y2=25

3. zadatak
• Na elipsi 9x2+25y2=225 nađi onu točku čija je
apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na
negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3.
• Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e2=a2-b2
• Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu
točke na kružnici ako je x = –4
• Rješenje je : T (–4 , ± 9/5)

4. Zadatak
• U elipsu x2+4y2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu
površinu.

Rješenje 4
• Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju
vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica)
• Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem
• Dijagonale su y =± x
Rješenje su točke: ( 2 5 , 2 5 ) ( 2 5 , 2 5 )
pa je površina P = 16/5

5. Zadatak:
• Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u
fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu
elipse: x2+4y2=36.

Rješenje 5
• Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√3

6. Zadatak
• Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom
pravca x – 2y+6=0 i elipse x2+2y2=36.

Rješenje 6.
• Točke presjeka su ( –6, 0) i ( 2 , 4 )
• Dužina je 4 √5

7. Zadatak
• Nađi jednadžbe tangente i normale u točki
D(3, y<0) elipse 9x2+25y2=225.

Rješenje 7.
• D(3,– 12 /5)
• Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u
9xx1+25yy1=225 i 9x-20y-75=0 je tangenta
• kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je
100x-45y+192=0

8. Zadatak

• Nađi tangente elipse 9x2+25y2=225
kojima je odsječak na y osi l = 5 .

Rješenje 8
• Uvjetom dodira: a2k2+b2=l2 dobiva se k=±4/5
• Tangente su: ±4x+5y-25=0

9. Zadatak
Nađi m u jednadžbi elipse
mx2+16y2=192 ako je tangenta
x+4y-16=0.

Rješenje 9.
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak)
• Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su
opisane elipsi x2+2y2=6. A onda površinu tog
kvadrata.

Rješenje 10.
• Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu
upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice),
elipsu smjestimo u koordinatni sustav
• Uvjetom dodira a2k2+b2=l2 i zaključkom da su
stranice kvadrata pod kutovima prema osima
450 onda je k = ± 1
• l =±3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3
• P = 18 kv.jed.