Transcript Solitonska rješenja Korteweg-de Vries jednačine diplomski rad Bojan Đuričković mentor: Prof. dr. Kenan Suruliz kandidat: Sarajevo, 6.

Solitonska rješenja
Korteweg-de Vries jednačine
diplomski rad
Bojan Đuričković
mentor: Prof. dr. Kenan Suruliz
kandidat:
Sarajevo, 6. decembar 2004
Sadržaj
Korteweg-de Vries (KdV) jednačina
1.


2.
3.
Balans nelinearnosti i disperzije
Veza sa Sturm-Liouvilleovim problemom
Egzaktna solitonska rješenja
Numerička rješenja
2
Korteweg-de Vries jednačina
u
u  u
u  3  0
t
x x
3




Nelinearna disperzivna jednačina
Model valova na plitkoj vodi (solitoni, Russell, 1834)
Solitonska rješenja
Boussinesq (1877), Korteweg & de Vries (1895)
3
Balans nelinearnosti i disperzije



Nelinearnost: uzrokuje lomljenje valova
Disperzija: uzrokuje širenje valnog paketa
U KdV jednačini:


nelinearnost i disperzija se kompenziraju
solitonska rješenja neograničeno zadržavaju oblik
4
Gdje se javlja KdV jednačina

Modeli konkretnih fizikalnih sistema:









valovi na plitkoj vodi
jonsko-akustični valovi u plazmi
magnetohidrodinamički valovi u plazmi
anharmonična rešetka
longitudinalni disperzivni valovi u elastičnom štapu
valovi pritiska u tečno-plinovitim smjesama
rotirajući tok niz cijev
termički pobuđeni paketi fonona u niskotemperaturnim
nelinearnim kristalima
Sturm-Liouvilleov problem

izospektralna deformacija Schroedingerovog operatora
5
Sturm-Liouvilleova jednačina

Schroedingerova jedn. = spec. slučaj S-L jednačine
d2y
    U  x   y  0, a  x  b
2
dx
zadani rubni uvjeti y (a), y (b)
6
Sturm-Liouvilleov problem
Ly   y
d2
L   2  U  x
dx
a xb
zadani rubni uvjeti y (a), y (b)



S-L problem: za dane rubne uvjete i dani potencijal,
naći svojstvene vrijednosti i njima pripadne svojstvene
funkcije
Općenito rješenja y postoje samo za određene vrijednosti    j
Skup svih takvih vrijednosti = spektar
7
Izospektralne deformacije
Schroedingerovog operatora



Mijenjajući potencijal U(x) općenito se mijenja
spektar     j 
Izospektralna deformacija = transformacija
potencijala koja ostavlja spektar invarijantnim
Uz rubne uvjete jednake nuli u
beskonačnosti, uspostavlja se veza sa KdV
jednačinom (...)
8
Veza KdV i Schroedingerove jednačine

KdV jednačina je izospektralna deformacija
Schroedingerovog operatora:


Ako potencijal U(x,t) zadovoljava KdV jednačinu,
onda se promjenom potencijala sa parametrom t
ne mijenja spektar.
Svojstvene vrijednosti Schroedingerovog
operatora predstavljaju prve integrale KdV
jednačine
9
Sadržaj
Korteweg-de Vries (KdV) jednačina
Egzaktna solitonska rješenja KdV
1.
2.



3.
Solitonsko rješenje
Dvosolitonsko rješenje
Trosolitonsko rješenje
Numerička rješenja KdV
10
Pojam solitona



soliton = engl. solitary wave (osamljeni val) + “on”
(zbog nekih čestičnih svojstava)
lokalizirani poremećaji (valni paketi, pulsevi)
koji neograničeno zadržavaju oblik
pri sudarima prolaze jedan kroz drugog
uz nelinearnu interakciju



asimptotski zadržavaju brzinu i oblik
pri rasijanju dolazi do pomaka u fazi
rješenja nelinearnih disperzivnih jednačina

nelinearnost kompenzira disperziju
11
Solitonsko rješenje KdV jednačine
u  x, t  
3c
 c

cosh 
 x  ct 
 2

2

dobija se direktnom integracijom


rubni uvjeti: nula u beskonačnosti (uvjet lokaliziranosti)
sech2 oblik se ravnomjerno translatira
bez promjene oblika (soliton)
12
Solitonsko rješenje: animacija
13
Svojstva solitonskog rješenja
u
3
u  x, t  
3c
2.5
 c

cosh 
 x  ct 
 2

2
2
1.5
1
0.5
-10



-5
5
10
amplituda proporcionalna brzini
amplituda obrnuto proporcionalna kvadratu širine
soliton se kreće u pozitivnom smjeru x-osi
14
Višesolitonska rješenja KdV jedn.



Jednačina nelinearna, princip linearne superpozicije
ne vrijedi
Višesolitonska rješenja = rješenja koja asimptotski
teže linearnoj superpoziciji više solitona
Nelinearnost dolazi do izražaja za vrijeme interakcije



narušenje linearne superpozicije
fazni pomak
Metode nalaženja višesolitonskih rješenja:


Bargmannovi potencijali
Backlundov transformat
15
Dvosolitonsko rješenje

 c2

 c1

2
2
3 c1  c2  c2 cosech 
x  c2t   c1 sech 
x  c1t  


 2

 2
 

u  x, t   
2


 c1

 c2

 c1 tanh 
 x  c1t   c2 coth  2  x  c2t  
2



 

16
Dvosolitonsko rješenje: animacija
17
Dvosolitonsko rješenje: animacija (2)
18
Dvosolitonsko rješenje: 3-dim x-t prikaz
4
2
t
0
-2
-4
6
4
u
2
0
-10
0
10
x
19
Dvosolitonsko rješenje: konturni x-t prikaz
4
2
0
-2
-4
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Trosolitonsko rješenje: analitički izraz

izraz dobijen u Mathematici, pomoću Backlundove
transformacije:
3 c1 Sech
2
1
2
c1
c1
2
c1 t x
c2
2
72
c2
2
1
72
3 c2 Csch
c2
2
1
6 c2 Coth
c2
c2 t x
2
c1
c3
1
72
3 c1 Sech
c1
2
2
2
1
6 c1 Tanh
c1
c1 t x
2
c1
c2
1
72
6 c2 Coth
c2
2
2
2
c1
c3
1
72
6 c1 Tanh
2
2
2
c3
2
2
2
1
c2 t x
3 c1 Sech
c1
c1 t x
2
1
6 c1 Tanh
c1
c1 t x
^2
2
2
2
1
c1 t x
3 c3 Sech
c3
c3 t x
2
1
6 c3 Tanh
c3
c3 t x
^2
2
1
c2 t x
6 c1 Tanh
c1
c1 t x
2
1
c1
c1 t x
6 c3 Tanh
c3
c3 t x
2
^2
21
Trosolitonsko rješenje: animacija
22
Trosolitonsko rješenje: 3-dim x-t prikaz
6
u
4
5
2
0
0
-20
t
-10
0
x
-5
10
20
23
Trosolitonsko rješenje: konturni x-t prikaz
6
4
2
0
-2
-4
-6
-20
-10
0
10
20
24
Sadržaj
Korteweg-de Vries (KdV) jednačina
Egzaktna solitonska rješenja
Numerička rješenja
1.
2.
3.



Raspad gausijana na solitone
Rasijanje dva solitona
Odstupanje od linearne superpozicije dva
solitona
25
Numerička metoda

Implicitna:



Spektralna:


izraz za naredni vremenski korak je implicitan
iterativno rješenje
derivacije se računaju u k-prostoru
Prvi pokušaj bio sa eksplicitnom metodom i
šemom konačnih razlika


potreban tako sitan vremenski korak da se svakih
10.000 koraka jedva primjeti pomak
akumulacija greške
26
Raspad gausijana na solitone: početni uvjet

Pogledajmo numeričko rješenje KdV jednačine sa
gausijanom kao početnim uvjetom:
e
2 x  x0 
2
, x0  10, x  0, 40
27
Raspad gausijana na solitone: animacija
28
Raspad gausijana na solitone: animacija 2
29
Raspad gausijana na solitone: animacija 3
30
Interakcija dva solitona: početni uvjet


Uzmimo dva sech2 oblika koji su razmaknuti u t = 0
Kako vrijeme teče, očekuje se odstupanje od sume
dva sech2 oblika
 c1

 c2

2
3c1 sech 
x  x1   3c2 sech 
x  x2 


 2

 2

2
c1  2,56
x1  5
c2  1,0
x2  20
x  0, 50
31
Interakcija dva solitona: animacija
32
Odstupanje od linearne superpozicije
dva solitona: početni uvjet

Uzmimo kao početni uvjet dva solitona iz
prethodnog primjera, s tim da se oni u početnom
trenutku preklapaju:
 c1

 c2

2
3c1 sech 
x  x1   3c2 sech 
x  x2 


 2

 2

2
c1  2,56
x1  5
c2  1,0
x2  20
x  0, 50
33
Odstupanje od linearne superpozicije
dva solitona: animacija (1)
34
Odstupanje od linearne superpozicije
dva solitona: animacija (2)
35
Odstupanje od linearne superpozicije
dva solitona: animacija (3)
36
Zaključci





Solitonska rješenja asimptotski zadržavaju oblik i
brzinu
Dvosolitonsko rješenje brzo (već pri malim
udaljenostima) konvergira linearnoj superpoziciji dva
solitona
Pri proizvoljnim početnim uvjetima, osim solitonskih
oblika koji putuju na desno, javljaju se i putujući
valovi koji se šire na suprotnu stranu
Gausijan se raspada na dva solitona
Nelinearni efekti su najizraženiji kada su solitoni
superimponirani
37