Transcript Solitoni osnovni pojmovi Bojan Đuričković PMF - Fizika, Sarajevo Fojnica, 23. januar 2004. Šta su solitoni?    soliton = solitary wave (osamljeni val) lokalizirani valovi koji neograničeno zadržavaju.

Solitoni
osnovni pojmovi
Bojan Đuričković
PMF - Fizika, Sarajevo
Fojnica, 23. januar 2004.
Šta su solitoni?



soliton = solitary wave (osamljeni val)
lokalizirani valovi koji neograničeno
zadržavaju oblik
rješenja nelinearnih diferencijalnih
jednadžbi


nelinearnost kompenzira disperziju
pri sudarima prolaze jedan kroz drugog


asimptotski zadržavaju brzinu i oblik
u toku raspršenja dolazi do pomaka u fazi
Istorija solitona

John Scott Russell, 1834. godine


D. J. Korteweg i G. de Vries, 1895. godine


prvi matematički model: KdV jednadžba
1960-te godine


opazio solitonski val na kanalu
numeričkim proračunima pomoću računara
pronađene nove jednadžbe sa solitonskim
rješenjima
Danas se primjenjuju u:


teoriji struna (string theory)
optičkim valovodima
Solitonske jednadžbe






Korteweg – de Vries
Sinus-Gordon
Boussinesq
nelinearna Schrödingerova jednadžba
Hirota
Born-Infeld
Korteweg – de Vries
jednadžba
u
u  u
6u  3  0
t
x x
3


nelinearna (srednji član)
trećeg stepena
Gdje se javlja KdV jednadžba

Modeli konkretnih fizikalnih sistema:








jonsko-akustični valovi u plazmi
magnetohidrodinamički valovi u plazmi
anharmonična rešetka
longitudinalni disperzivni valovi u elastičnom štapu
valovi pritiska u tečno-plinovitim smjesama
rotirajući tok niz cijev
termički pobuđeni paketi fonona u
niskotemperaturnim nelinearnim kristalima
Proizlazi iz Sturm-Liouvilleovog problema
Solitonsko rješenje
KdV jednadžbe
u  x  ct  
c
x  ct 

2 cosh  c


2
2
u
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-10
-5
0.4
4
2
t 0
-2
5
10
u
0.2
-4
-10
-5
0
x
5
0
10
Svojstva solitonskog rješenja
KdV jednadžbe
u  x  ct  
c
x  ct 

2 cosh  c


2
2


amplituda proporcionalna brzini i određena
jednadžbom
širina obrnuto proporcionalna korjenu brzine
Nelinearna superpozicija
Multipletska rješenja

Linearna superpozicija ne vrijedi




jednadžba nelinearna
rješenje + rješenje nije rješenje
Dublet = rješenje koje opisuje dva solitona
Nelinearna superpozicija



matematički postupak dobivanja multipleta višeg
reda iz multipleta nižeg reda
bitno drugačija svojstva od linearne
nije zatvorena na fizikalno prihvatljiva rješenja
Dubletsko rješenje
KdV jednadžbe
1
1
 1
1

2  c1  c2   cosech 2 
c2  x  c2 t   c1 sech 2 
c1  x  c1t  
2
 2
2

2
u d  x, t   
1

1

c1 tanh 2 
c1  x  c1t   c2 coth 
c2  x  c2 t 
2

2

4
2
t
4
0
2
-2
0
-4
2
-2
1.5
u 1
-4
0.5
0
-15
-10
0
x
10
-10
-5
0
5
10
15
Tripletsko rješenje
KdV jednadžbe
1
0.8
u0.6
0.4
0.2
0
-20
4
2
0
-10
-2
0
x
t
4
2
0
-2
-4
-4
10
20
-20
-10
0
10
20
Opširnije...

http://solitoni.bojan.info




animacije i ilustracije
analitički izrazi
Mathematica kod
dalje reference