PPS - Zavod za matematiku
Download
Report
Transcript PPS - Zavod za matematiku
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
ZAVOD ZA MATEMATIKU
Jednodimenzijska toplinska jednadžba
Matea Kovač
Ivica Gusić, red. prof. dr. sc.
Miroslav Jerković, dr. sc.
Zagreb, Rujan 2012.
UVOD
TEORETSKI DIO
PREGLEDNI DIO
REZULTATI
ZAKLJUČAK
UVOD
Toplina je energija koja prelazi sa jednog
tijela na drugo, ona je dio unutarnje
energije tijela koja prelazi s tijela (sustava)
više temperature na tijelo niže
temperature. Kada se temperature
izjednače, toplina je jednaka nuli.
Q c uV
Toplinska jednadžba za tok topline kroz objekt se
rješava u dva koraka.
L- duljina štapa
Δx- duljina malog dijela
U- mali dio štapa
U prvom koraku je određena brzina promjene topline u
vremenu
b
dQ
dt
c
a
u
t
Sdx
U drugom koraku je dobivena jednadžba za tok topline kroz
mali dio U
dQ
dt
b
C
a
u
2
x
2
Sdx
Te dvije jednadžbe za tok topline u i van malog dijela U
možemo izjednačiti budući da obje predstavljaju modele toka
topline kroz štap
b
c
a
u
t
b
Sdx C
a
u
2
x
2
Sdx
Time dobijemo toplinsku jednadžbu koja se još naziva i
difuzijskom jednadžbom
u
t
u
2
k
x
2
0
Oblik jednadžbe pisan indeksnom notacijom
u t ku xx
k- koficijent
difuzivnosti
TEORETSKI DIO
Problemi početnih graničnih uvjeta
Za rješavanje diferencijalne toplinske jednadžbe potrebno je
postaviti određene početne uvjete.
Potrebno je definirati temperaturu svake točke niz štap u
vremenu t=0 funkcijom koja se naziva inicijalna
temperaturna distribucija.
Zatim se definiraju granični uvjeti u točkama 0 i L
u (0, t ) 0
i
u ( L , t ) TL
za sve
t 0
Kombinacijom toplinske jed. s početnim graničnim uvjetima
dobiva se općenita formula toplinske jed. IBV problema
u t ( x , t ) ku xx ( x , t )
za
0 x L
u ( x, 0) u0 ( x)
za
0 x L
u (0, t ) T 0
i
u ( L, t) TL
i
za
t 0
t 0
Rješavanje toplinske diferencijalne
jednadžbe
Za štap izrađen od homogenih materijala duljine L = 2 i k =
0,05, inicijalnu temperaturnu distribuciju od u(x, 0)=0 i
granične uvjete u(0,t)=0 i u(2,t)=100 za t>0 dobivamo
problem početnih graničnih uvjeta određen sustavom
u t ( x , t ) 0, 2 u xx ( x , t )
za
0 x2
u ( x , 0) 0
i
0 x2
u (0, t ) 0
i
u (2, t ) 100
za
i
t0
t0
Budući da je toplinska jednadžba linearna moguće je pronaći
linearnu kombinaciju dvaju rješenja, prvo od tih rješenja je
rješenje za stanje mirovanja us(x)
T L T0
us ( x)
x T 0 50 x
L
Rješenje koje zadovoljava granične uvjete i jedino nema
vrijednost nula, ali ne zadovoljava početne uvjete
v( x, t )
n kt
2
b e
L
n
n 1
2
n x
sin
L
Potrebno je pronaći koeficijente bn koji zadovoljavaju
početne uvjete. Primjenom početnih uvjeta dobijemo
u ( x , 0)
n 1
b n sin
n
x
L
Ovaj postupak je posebna vrsta Fourierovog reda, a naziva
se razvoj sinus reda unutar polu-raspona, pri čemu se bn
računa jednadžbom
n x
n 100
b n v o ( x ) sin
dx ( 1)
L 0
n
L
2
L
Uvrštavanjem koeficijenta bn u rješenje dobijemo potpuno
rješenje IBV problema, jednadžbu
v( x, t )
100
( 1)
n 1
n
0 ,05 n t
2
e
2
sin n x
n
Temperatura unutar štapa određena je jednadžbom
u ( x, t ) u s ( x) v( x, t )
odnosno
u ( x , t ) 50 x
100
n 1
( 1)
n
n
0 ,05 n t
2
e
2
sin n x
PREGLEDNI DIO
Za grafički prikaz rješenja korišten je integrirani solver
parcijalnih diferencijalnih jednadžbi programskog paketa
Matlab- pdepe.
Pdepe funkcija unutar programskog paketa Matlab ima
slijedeću sintaksu
sol = pdepe(m,@pdex,@pdexic,@pdexbc,x,t).
Prva varijabla funkcije pdepe označena slovom m predstavlja
simetriju problema i može poprimiti 3 vrijednosti; 0-plošna,
1-cilindrična, 2-sferična.
Sljedeće u nizu varijabli su podfunkcije @pdex, @pdexic,
@pdexbc.
Pomoću podfunkcije @pdex računaju se komponente
parcijalne diferencijalne jednadžbe.
Kako bi funkcija bila u mogućnosti interpretirati parcijalnu
diferencijalnu jednadžbu, jednadžba mora biti u obliku izraza
u u
u
u
m
m
c x, t, u ,
x
x
f
x
,
t
,
u
,
s
x
,
t
,
u
,
x t
x
x
x
Pri tome c predstavlja dijagonalnu matricu, f se naziva termin
fluksa, a s izvorni termin.
Članovi c, s i f određeni su izrazima
u
c x, t, u ,
1
x
u
u
f x, t, u ,
0,
05
x
x
u
s x, t, u ,
0
x
Funkcija ima sljedeću sintaksu
function [c,f,s] = pdex(x,t,u,DuDx)
c = 1/0.05;
f = DuDx;
s = 0;
Sljedeća podfunkcija je @pdexic koja evaluira početne
uvjete diferencijalne jednadžbe.
Budući da je inicijalna temperaturna distribucija ovog
primjera u0(x)= 0, funkcija ima sljedeći oblik:
function u0 = pdexic(x)
u0 = 0;
@pdexbc je funkcija koja evaluira granične uvjete. Općeniti
oblik graničnih uvjeta određen je izrazom
u
p ( x, t, u ) q ( x, t ) f x, t, u
x
Zatim je potrebno pronaći vrijednosti pl i ql koje su
vrijednosti za lijeve granične uvjete, te vrijednosti pr i qr
koje su vrijednosti pri desnim graničnim uvjetima
u (0, t ) 0
u (2, t ) 0
u
x
u
x
(0, t ) 0
(2, t ) 100
Prva jednadžba daje pl=ul , a druga daje pr=ur-100 i qr=0.
Funkcija pdexbc unutar .m datoteke upisuje se na sljedeći
način:
function [p1,q1,pr,qr] = pdexbc(x1,u1,xr,ur,t)
p1 = u1;
q1 = 0;
pr= ur-100;qr = 0;
Varijabla x predstavlja vektor koji odgovara duljini štapa tako
da su vrijednosti x u intervalu .
Potrebno je >3 elementa unutar vektora x kako bi ga funkcija
pdepe mogla evaluirati.
Vremenski vektor t, vektor je koji sadrži točke u vremenu pri
kojima se evaluira temperatura štapa. Kao i vektor x također
mora sadržavati >3 elementa.
Upravljačka funkcija programa povezuje sve prethodno opisane
podfunkcije, a izvršava pdepe funkciju i iscrtava grafičke prikaze
rješenja.
function pde
close all
m = 0;
x = linspace(0,2,40);
t = linspace(0,15,20);
sol = pdepe(m,@pdex,@pdexic,@pdexbc,x,t);
u = sol(:,:,1);
surf(x,t,u)
xlabel('Položaj(x)')
ylabel('Vrijeme(t)')
zlabel('Temperatura(u)')
figure
y=50*x;
plot(x,y,'r:')
hold on
plot(x,u(1,:))
plot(x,u(2,:))
plot(x,u(3,:))
plot(x,u(4,:))
plot(x,u(5,:))
plot(x,u(6,:))
plot(x,u(7,:))
plot(x,u(8,:))
plot(x,u(9,:))
plot(x,u(10,:))
plot(x,u(11,:))
plot(x,u(12,:))
xlabel('Položaj')
ylabel('u(x,3)')
legend('Temperatura stanja u mirovanju')
function [c,f,s] = pdex (x,t,u,DuDx);
c = 1/0.05;
f = DuDx;
s = 0;
function u0 = pdexic(x);
u0 = 0;
function [p1,q1,pr,qr]=pdexbc(x1,u1,xr,ur,t);
p1 = u1;
q1 = 0;
pr = ur-100;
qr = 0;
REZULTATI
Na grafičkom prikazu skupa rješenja primjera vidljivo je kako skup
rješenja konvergira prema stanju mirovanja od s povećanjem
vremena.
Na grafičkom prikazu mreže rješenja vidljivo je kako temperatura
ostaje nepromijenjena na krajnjim točkama za Dirichletove uvjete.
ZAKLJUČAK
Jednodimenzijska toplinska jednadžba, diferencijalna je
jednadžba čija rješenja opisuju prijenos toplinu niz
jednodimenzijsko tijelo u vremenu.
Pronalazi mnoštvo primjena, od motora do strukturalne
mehanike, a posjeduje i veliku primjenu unutar polja
biologije, unutar kojega je poznata i kao difuzijska
jednadžba.
Jedna od najznačajnijih primjena toplinske jednadžbe
je proučavanje prijenosa topline kroz metalni štap u
ovisnosti o vremenu, položaju, kao i svojstvima
materijala štapa.
HVALA NA PAŽNJI!