Slide 1

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 2

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 3

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 4

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 5

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 6

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 7

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 8

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 9

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 10

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 11

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 12

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 13

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 14

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 15

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 16

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 17

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 18

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 19

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 20

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 21

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 22

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 23

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ


Slide 24

KVADRATNA FUNKCIJA
Katarina Blažić 4.c

ŠTO JE TO KVADRATNA FUNKCIJA?
 Kvadratna

funkcija ili polinom drugog stupnja je
realna funkcija zadana formulom:
Linearni koeficijent

f ( x )  ax  bx  c
2

Slobodni član

Vodeći koeficijent

a, b i c su realni brojevi, a  0.
 Da biste mogli naučiti nešto više o kvadratnoj
funkciji prvo se trebate upoznati sa kvadratnom
jednadžbom.
 Koeficijenti

KVADRATNA JEDNADŽBA
 To

je jednadžba oblika:

ax  bx  c  0
2

 Kao

i kod kvadratne funkcije glavni koeficijent ne
smije biti jednak 0.
 Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje ili
korijen kvadratne jednadžbe.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
1) b=0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  c  0
2

ax   c
2

x 
2

c
a



Ova jednadžba ima 2 rješenja. Ako su a i c
suprotnih predznaka , rješenja su realni bojevi
suprotnih predznaka, u protivnom rješenja su
imaginarni brojevi suprotnih predznaka.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
2) b  0, c=0
2
 Jednadžba glasi:
ax  bx  0
x ( ax  b )  0
x1  0

ax 2  b  0
ax 2   b
x2  

 Oba rješenja

b
a

jednadžbe su realni brojevi.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
3)b=0, c=0
 Jednadžba glasi:

ax  0
2

x1  x 2  0

 Jednadžba

ima dvostruko rješenje x=0.

ODREĐIVANJE RJEŠENJA KVADRATNE
JEDNADŽBE
4) b  0, c  0
 Jednadžba glasi:

ax  bx  c  0
2

 Rješenja

jednadžbe se određuju po formuli:

x1 , 2 

b

b  4 ac
2

2a

DISKRIMINANTA KVADRATNE
JEDNADŽBE
 Diskriminanta

kvadratne jednadžbe ax 2  bx  c  0

je broj :

D  b  4 ac
2

 Ako

je D>0, jednadžba ima 2 realna rješenja.
 Ako je D=0, jednadžba ima 1 dvostruko realno
rješenje
 Ako je D<0, jednadžba ima 2 kompleksno
konjugirana rješenja.

PONOVITE ŠTO STE NAUČILI:
1. Smije li glavni koeficijent
kvadratne funkcije biti 0?

A) Da
 B) Ne


2. Ako je diskriminanta
kvadratne jednadžbe D=13
koliko rješenja ima
jednadžba?

A) 0
 B) 1
 C) 2


GRAF KVADRATNE FUNKCIJE
 Graf

kvadratne funkcije je parabola.
 Da bismo nacrtali graf moramo odrediti tjeme
parabole (mjesto gdje se ona previja) i njene
nultočke (točke u kojoj graf funkcije siječe ili dira
x-os).

ODREĐIVANJE TJEMENA FUNKCIJE
 Koordinate

formuli:

tjemena T(x,y) se određuju pio

b 4 ac  b
T ( ,
a
4a

2

)

Primjer 1. Koje su koordinate tjemena funkcije
2
f ( x)  x  2 x  2 ?
A) (-2,1)
VIDI RJEŠENJE!
B) (2,1)

ODREĐIVANJE NULTOČAKA FUNKCIJE
 Nultočke određujemo tako da

funkcije f(x)
izjednačimo s nulom. Tako dobivamo kvadratnu
jednadžbu. Rješenja tako dobivene kvadratne
jednadžbe su tražene nultočke. Prisjeti se
određivanja rješenja kvadratne jednadžbe.

 Primjer

2. Koje su nultočke funkcije f ( x )  x 2  2 x ?
A) 0 i 1
B) 1 i 2
VIDI RJEŠENJE!
C) 0 i 2

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je glavni koeficijent (a)
veći od 0 , otvor parabole je
prema gore

Ako je glavni koeficijent (a)
manji od 0 , otvor parabole
je prema dolje

GRAF KVADRATNE FUNKCIJE - PARABOLA
Ako je D>0
parabola i x-os
imaju 2 točke
zajedničke

Ako je D=0
parabola i x-os
imaju 1 točku
zajedničku

Ako je D<0
parabola i x-os
nemaju
nijednu
zajedničku
točku

MINIMUM I MAKSIMUM KVADRATNE
FUNKCIJE
funkcija f ( x )  ax 2  bx  c
ekstrem u tučki s apcisom

 Kvadratna

x0  
 Vrijednost ekstrema

je a<0 .

.

2a

iznosi:
y0 

 Ekstrem

b

ima

4 ac  b

2

.

4a

je minimum ako je a>0 , maksimum ako

VRIJEME JE DA NACRTAMO GRAF
KVADRATNE FUNKCIJE!
 Pr.






f ( x )  2 x  20 x  48
2

Glavni koeficijent (a=2) je veći od 0. To znači da je
otvor parabole prema gore.
Diskriminanta (D=16) je veća od nule, odnosno
parabola i x-os imaju 2 zajedničke točke.
Nultočke funkcije su : x1=4 i x2=6 .
Tjeme ima koordinate T(5,-2) .

f ( x )  2 x  20 x  48
2

y

x1

x2
T(5,-2)

x

SADA JE VRIJEME DA PROVJERITE JE LI
VAM OVA PREZENTACIJA BILA KORISNA
I JESTE LI IŠTA NAUČILI

1.

2.

Koje su nultočke
jednadžbe
2x2+x-3=0 ?

2. Je li funkcija
f(x)=-2x2-2x-3
kao ekstem ima
minimum ili
maksimum?



A)(-3/2,1)



A)minimum



B)(-4,7)



B)maksimum

3. Ako je
diskriminanta
kvadratne funkcije
jednaka o, koliko
nultočaka ima ta
funkcija??

4. Graf polinoma
drugog stupnja je:



A)0



A)parabola



B)1



B)hiperbola



C)2



C)elipsa

5. Koja je od
navedenih funkcija
kvadratna?

6. Vrijednost funkcije
f(x)=x2-4x+3 za x=-1
iznosi:



A) f(x)=3x2+8x-1



A)6



B) f(x)=2



B)8



C) f(x)=x3+2



D) f(x)=2x-1

7. Kako iz graf kvadratne funkcije kada je glavni
koeficijent manji od 0 a diskriminanta veće od 0?

8. Koja od sljedećih
funkcija ima
minimum?

9. Koja od navedenih
kvadratnih funkcija
ima tjeme u ishodištu?



A) f(x)=-5+3x-2x2



A) f(x)=3(x-1)2+4



B) f(x)=-3x2-7x



B) f(x)=3(x-1)2



C) f(x)=-2(x+1)2+4



C) f(x)=-2x2



D) f(x)=-7x+3x2



D) f(x)=-2x2+1

KRAJ