3. FUNKCIJE 3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE. PODRUČJE DEFINICIJE Funkcije Pojam funkcije B A a a→1 b c 2 Funkcije b→2 c→3 Pojam funkcije B A f(x) = y x – argument f y – vrijednost y x f:A→B A - domena B - kodomena Funkcije Pojam funkcije Pridruživanje elemenata skupa.
Download ReportTranscript 3. FUNKCIJE 3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE. PODRUČJE DEFINICIJE Funkcije Pojam funkcije B A a a→1 b c 2 Funkcije b→2 c→3 Pojam funkcije B A f(x) = y x – argument f y – vrijednost y x f:A→B A - domena B - kodomena Funkcije Pojam funkcije Pridruživanje elemenata skupa.
Slide 1
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 2
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 3
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 4
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 5
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 6
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 7
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 8
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 9
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 10
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 11
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 12
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 13
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 14
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 2
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 3
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 4
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 5
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 6
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 7
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 8
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 9
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 10
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 11
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 12
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 13
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.
Slide 14
3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE
Funkcije
Pojam funkcije
B
A
a
a→1
1
b
3
c
4
2
Funkcije
b→2
c→3
Pojam funkcije
B
A
f(x) = y
x – argument
f
y – vrijednost
y
x
f:A→B
A - domena
B - kodomena
Funkcije
Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.
Funkcije
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
5
k
7
d
Funkcije
DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.
Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?
3
m
z
5
k
7
d
Funkcije
NE.
Broju 5 su
pridružena
dva slova.
Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
Domenom (područjem definicije) Df
Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf
Zakonom pridruživanja x→f(x)
Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije
Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.
Funkcije
Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.
Funkcije
Graf funkcije
y
x
Funkcije
Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
NE.
x
Funkcije
Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.
Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y
DA.
x
Funkcije
Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.