Slide 1

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 2

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 3

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 4

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 5

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 6

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 7

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 8

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 9

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 10

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 11

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 12

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 13

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.


Slide 14

3. FUNKCIJE
3.1. ZADAVANJE FUNKCIJE.
PODRUČJE DEFINICIJE

Funkcije

Pojam funkcije
B

A
a

a→1

1

b

3
c

4
2

Funkcije

b→2
c→3

Pojam funkcije
B

A

f(x) = y

x – argument

f

y – vrijednost

y

x

f:A→B
A - domena
B - kodomena

Funkcije

Pojam funkcije
Pridruživanje elemenata skupa A
elementima skupa B, takvo da se
svakom elementu x skupa A pridruži
točno jedan element y skupa B,
nazivamo preslikavanje ili funkcija f
iz skupa A u skup B.

Funkcije

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

NE.
Broju 5 nije
pridruženo
niti jedno
slovo.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m

5

k
7

d
Funkcije

DA.
Više
elemenata
može se
preslikati u
jedan.

Pojam funkcije
Da li je na slici prikazana funkcija?

3

m
z

5

k
7

d
Funkcije

NE.

Broju 5 su
pridružena
dva slova.

Zadavanje funkcije
Funkcija f zadana je:
 Domenom (područjem definicije) Df
 Kodomenom (područjem vrijednosti) Rf


Zakonom pridruživanja x→f(x)




Formulom
Tablicom
Grafom
Funkcije

Zadavanje funkcije
Funkcija kojoj su domena i kodomena
skup realnih brojeva (ili njegov
podskup) naziva se realna funkcija
realne varijable.

Funkcije

Graf funkcije
Graf Γf funkcije f je skup svih točaka
(x,f(x)) ravnine, gdje je x є Df .
Možemo pisati:
Γf = {(x,y) : xєDf, y=f(x)}.

Funkcije

Graf funkcije
y

x

Funkcije

Graf funkcije
Kada krivulja u ravnini predstavlja graf
neke funkcije?
Vertikalni test: Krivulja u ravnini
predstavlja graf neke funkcije ako
svaki vertikalni pravac siječe krivulju u
najviše jednoj točki.
Funkcije

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

NE.

x

Funkcije

Postoje
vertikalni pravci
koji krivulju
sijeku u više
točaka.

Graf funkcije
Da li krivulja predstavlja graf funkcije?
y

DA.

x

Funkcije

Svaki vertikalni
pravac siječe
krivulju u
najviše jednoj
točki.