Transcript KVADRATICKÁ FUNKCIA

KVADRATICKÁ
FUNKCIA
Mgr. Jozef Vozár 2007
Definícia
Kvadratickou funkciou budeme nazývať
každú funkciu určenú vzťahom:
f: y = ax2 + bx + c
kde a,b,c sú z R a okrem toho a<>0.
Grafom kvadratickej funkcie je parabola.
Tvary kvadratickej funkcie
f: y = x2
x
x2
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
2
Graf f: y = x2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Funkcia f: y = ax2
a=2
Funkcia f: y = ax2
a=2
a=3
Funkcia f: y = ax2
a=2
a=3
a=4
Funkcia f: y = ax2
a =-2
Funkcia f: y = ax2
a=-2
a=-3
Funkcia f: y = ax2
a=-2
a=-3
a=-4
Graf f: y = (x – B)2
A=2
B=1
Graf f: y = A(x – B)2
A=2
B=1
B = -2
Graf f: y = A(x – B)2 + C
B = -2
C=-3
Vplyv koeficientov na tvar grafu
f: y = 2( x + 2)2 – 3
f: y = A( x + B)2 + C
A – má vplyv na „rýchlosť“ rastu funkcie
B - posúva graf po osi x ( + vľavo, - vpravo)
C - posúva graf po osi y ( + hore, - dole)
Vplyv koeficientov na tvar grafu
Úprava na úplný štvorec
Úplným štvorcom voláme výraz
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
alebo
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Úprava na úplný štvorec - príklady
x2 – 4x + 4
x2 – 2.2x + 4 = (x – 2)2
x2 – 5x + 9
x2 – 2.2,5x + 2,52 - 6,25 + 9 =
= (x – 2,5)2 +2,75
Úprava na úplný štvorec - príklady
2x2 – 5x +12
2(x2 - 5/2x + 6) =
=2(x – 2.5/4x + 25/16 – 25/16 + 6) =
2((x – 5/4)2 – 25/16 + 96/16)=
= 2 (x – 5/4)2 – 71/8
Úprava na úplný štvorec všeobecne
ax2 + bx + c
a(x2 + b/ax + c/a)=
= a(x2 + 2.b/2a.x + (b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a)=
a((x + b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a))=
= a((x + b/2a)2 + (b2 -4ac)/4a2)=
= a(x + b/2a)2 + (b2 - 4ac)/4a
Diskriminant
Výraz:
D = b2 - 4ac
nazývame diskriminat
( z lat. discriminare – rozlišovať)
Využitie pri kvadratickej funkcii
ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + (b2 - 4ac)/4a
ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + D/4a
Takto je možné nakresliť graf kvadratickej
funkcie
f: y = ax2 + bx + c
Nakresli graf funkcie
f: y = 3x2 + 4x + 5
f: y = 3(x + 2/3)2 + 11/3
A=3
B = 2/3 - doľava
C = 11/3 - hore
Základná fcia
Základná fcia f:y=x2
Posunutie po osiach
Vlastnosti
Na grafe sa dá rozoznať výrazný bod –
extrém funkcie ak a> 0 - minimum
a< 0 – maximum
Hodnotu výrazu
ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + D/4a
určuje výraz v zátvorke.
Takže ak a>0 je najmenšia hodnota výrazu
D/4a a to je vtedy ak x = -b/2a.
Vrchol paraboly
Ak a<0 potom najväčšia hodnota výrazu je
ak x = -b/2a a je D/4a.
Toto sú vlastne extrémy.
Bod v ktorom je extrém sa nazýva vrchol
paraboly. Podľa predchádzajúcich
výpočtov má teda súradnice:
V[-b/2a ; D/4a] = [-b/2a ; (b2 - 4ac) /4a]