Transcript Kvadratická funkce - Mendelova střední škola, Nový Jičín, po

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420
Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín
NÁZEV MATERIÁLU:
Kvadratická funkce
Autor: Mgr. Břetislav Macek
Rok vydání: 2013
Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály
jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv
další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko.
Kvadratická funkce
Osnova
a)
b)
c)
d)
e)
f)
pojem kvadratická funkce
graf a vlastnosti
vrchol grafu kvadratické funkce a jeho určení
působení koeficientu kvadratické funkce na graf
ukázkové příklady
příklady na procvičení včetně řešení
Kvadratická funkce
• předpis kvadratické funkce
f:y = ax2 + bx + c , kde koeficienty a,b,c R, a ≠ 0
ax2 – kvadratický člen
bx – lineární člen
c – absolutní člen
pozn.: pokud by se a = 0 nejde o kvadratickou funkci, ale o lineární
• definiční obor D(f) = R (pokud není jinak zadáno)
• obor hodnot H(f) – závisí na fci a definičním oboru
Graf a vlastnosti
• grafem kvadratické funkce je parabola
• tvar paraboly závisí na koeficientu a
a>0
a<0
• minimum x maximum
(ve které hodnotě má funkce nejvyšší x
nejnižší bod; určuje se na ose x; např. x = 2)
• omezenost zdola x shora (ve které hodnotě je funkce zeshora x
•
zezdola omezená; určuje se na ose y; např. y = -3)
monotónnost (graf kvadratické funkce má dvě monotónnosti; někde
graf roste a jinde klesá; bodem, kde se mění monotónnost je vrchol grafu)
Vrchol grafu a jeho určení
• vrchol grafu kvadratické funkce označujeme  V
• je to bod, ve kterém se láme monotónnost na
opačnou
• souřadnice vrcholu lze určit:
a) pomocí vztahů:
b) úpravou na čtverec: f:y = (x + m)2 + n  V = [-m; n]
Působení koeficientu a ve funkci
funkce f: y = ax2
koeficient a:
rozšiřuje či zužuje graf
Působení koeficientu b ve funkci
funkce f: y = ax2 + bx
koeficient b:
graf vždy prochází středem
soustavy os [ 0; 0]
Působení koeficientu c ve funkci
funkce f: y = ax2 + c
koeficient c:
vrchol grafu se vždy pohybuje
po ose y
Ukázkový příklad:
Sestrojte graf a určete vlastnosti funkce f: y = -x2 + 3x.
a = - 1; b = 3; c = 0
určíme koeficienty a, b, c
vyřešíme souřadnice vrcholu
V
x
-1
0
3/2
3
4
y
-4
0
9/4
0
-4
sestrojíme tabulku – minimálně 3 body
Ukázkový příklad:
Vlastnosti:
maximum: x = 3/2
omezenost shora: y = 9/4
monotónnost:
- rostoucí
- klesající
Příklady na procvičení
př. 1: Sestrojte graf a určete vlastnosti funkce
f: y = 2x2 + 3
Řešení
př. 2: Sestrojte graf a určete vlastnosti funkce
f: y = x2 – 2x – 6
Řešení
přeskočit
Příklad č.1:
Sestrojte graf a určete vlastnosti funkce f: y = 2x2 + 3.
x
-2
-1
0
1
2
y
11
5
3
5
11
Příklad č.1:
Vlastnosti:
minimum: x = 0
omezenost zdola: y = 3
monotónnost:
- rostoucí
- klesající
zpět
Příklad č.2:
Sestrojte graf a určete vlastnosti funkce f: y = x2 – 2x – 6 .
x
-2
-1
1
1
2
y
11
5
-7
5
11
Příklad č.2:
Vlastnosti:
minimum: x = 1
omezenost zdola: y = - 7
monotónnost:
- rostoucí
- klesající
zpět
Shrnutí
• předpis kvadratické funkce – f: y = ax2 + bx + c
• graf kvadratické funkce – parabola
- tvar závisí na koeficientu a
• vrchol grafu kvadratické funkce
- vzorcem
- úpravou na čtverec
• vlastnosti kvadratické funkce
- maximum x minimum
- omezenost shora x zdola
- monotónnost rostoucí x klesající
Zdroje
• HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z
matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání.
Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro
střední školy. ISBN 80-7196-318-6